Основы теории принятая статистических решений 1051 44 страница

Уравнение (8.71) можно переписать для мягкого выхода в момент времени к с ну­левой начальной установкой априорного LLR L(d_k). Это делается на основе предполо­жения о равной вероятности информационных битов. Следовательно,

(8.114)

где L(d_k) — мягкий выход декодера, a L_c(x_k) — LLR канального измерения, получае­мый из отношения функций правдоподобия p(x_k\d_t = /'), связанных с моделью дискрет-  

мации. Это внешние сведения, получаемые декодером и не зависящие от входных данных х_к декодера. В идеале L,(x_k) и L_e(d_k) искажаются некоррелированным шумом,

а следовательно, L_e(d_k) может использоваться как новое наблюдение d_t другим деко­дером для образования итеративного процесса. Основным принципом передачи ин­формации обратно на другой декодер является то, что декодер никогда не следует за­полнять собственными данными (иначе искажения на входе и выходе будут сильно коррелировать).

Для гауссового канала в уравнении (8.114) при описании канального LLR L_c(x_t) ис­пользовался натуральный логарифм, как и в уравнении (8.77). Уравнение (8.77,в) можно переписать следующим образом:

(8.115)

Оба декодера, DEC1 и DEC2, используют модифицированный алгоритм Бала [26]. Ес­ли данные L\(d_k) и у_к, подаваемые на вход декодера DEC2 (рис. 8.27), являются статисти­чески независимыми, то LLR L, (d_k) на выходе декодера DEC2 можно переписать как

L₂(d_k) = f[L_l(d_k)]+L_e2(d_k)

при

(8.117)

£

₍где /[■] используется для выражения функциональной зависимости. Внешние сведе-

лия ^Le2 (d_k) вне декодера DEC2 являются функцией последовательности

{L\{d_k)\_n^_k. Поскольку Li(d_k) зависит от наблюдения R?, внешние сведения

L_el (d_k) коррелируют с наблюдениями х_к и у,*. Тем не менее, чем больше значение

|и-&|, тем меньше коррелируют Щ<И_к) и наблюдениях* и y_lt. Вследствие чередования

выходов декодеров DEC1 и DEC2, внешние сведения Кг Сd_k) слабо коррелируют с наблюдениями х_к и у_и. Поэтому можно совместно использовать их для декодирования битов d_k [17]. На рис. 8.27 показана процедура подачи параметра z_k - L_el(d_k) на де­кодер DEC1 как эффект разнесения в итеративном процессе. Вообще, L_el(d_k) имеет

тот же знак, что и d_k. Следовательно, L_el (d_k) может увеличить соответствующее LLR

и, значит, повысить надежность каждого декодированного бита данных.

Контур обратной связи

Хк

Ук

Демультиплексор

Рис. 8.27. Схема декодера с обратной связью

Подробное описание алгоритма вычисления LLR L(d_k) апостериорной вероятности

каждого бита данных было представлено несколькими авторами [17, 18, 30]. В работах [27—31] были высказаны предположения относительно снижения конструктивной слож­ности алгоритмов. Приемлемый подход к представлению процесса, дающего значения апостериорной вероятности для каждого информационного бита, состоит в реализации оценки максимально правдоподобной последовательности, или алгоритма Витерби, и вычислении ее по двум направлениям блоков кодовых битов. Если осуществлять такой двунаправленный алгоритм Витерби по схеме раздвижных окон — получатся метрики, связанные с предшествующими и последующими состояниями. В результате получим апостериорную вероятность для каждого бита данных, имеющегося в блоке. Итак, деко­дирование турбокодов можно оценить как в два раза более сложное, чем декодирование одного из составных кодов с помощью алгоритма Витерби.

8.4.5.2. Достоверность передачи при турбокодировании

В [17] приведены результаты моделирования методом Монте-Карло кодера со сте­пенью кодирования 1/2, К = 5, построенного на генераторах Gj = {11111} и, G₂ = {10001}, при параллельном соединении и использовании устройства чередова­ния с массивом 256 х 256. Был использован модифицированный алгоритм Бала и‘ блок, длиной 65536 бит. После 18 итераций декодирования вероятность появления¹' ошибки в бите Р_в была меньше 10^-5 при EJN₀ = 0,7 дБ. Характер снижения вероятно-’

сти появления ошибки при увеличении числа итераций можно увидеть на рис. 8.28.,

Заметьте, что достигается предел Шеннона -1,6 дБ. Требуемая ширина полосы про­пускания приближается к бесконечности, а емкость (степень кодирования кода) при­ближается к нулю. Поэтому предел Шеннона является интересной границей с теоре­тической точки зрения, но не является практической целью. Для двоичной модуляции несколько авторов использовали в качестве практического предела Шеннона значения Р_в = 1(Г⁵ и EjJN₀ = 0,2 дБ для кода со степенью кодирования 1/2. Таким образом, при параллельном соединении сверточных кодов RSC и декодировании с обратной свя­зью, достоверность передачи турбокода при Р_в = 10~⁵ находится в 0,5 дБ от (практического) предела Шеннона. Существует класс кодов, в которых, вместо парал­лельного, используется последовательное соединение чередуемых компонентов. Пред­полагается, что последовательное соединение кодов может дать характеристики [28], превышающие аналоги при параллельном соединении.

  Еь/No (дБ) Рис. 8.28. Вероятность появления битовой ошибки как функция Eb/N₀ и количества итераций. (Источник: Вег- гои С., Glavieux A. and Thitimajshima P. “Near Shannon Limit Error-Correcting Coding and Decoding: Turbo Codes". IEEE Proc. of Int’l Conf. on Communications, Geneva, Swit­zerland, May, 1993 (ICC ’93), pp. 1064-1070.)

8.4.6. Алгоритм MAP

Процесс декодирования турбокода начинается с формирования апостериорных вероят­ностей (a posteriori probability — АРР) для всех информационных битов, которые затем используются для изменения значений информационных битов в соответствии с принципом максимума апостериорной (maximum a posteriori — МАР) вероятности ин­формационного бита. В ходе приема искаженной последовательности кодированных битов осуществляется схема принятия решений, основанная на значениях апостери­орных вероятностей, и алгоритм МАР для определения наиболее вероятного инфор­

мационного бита, который должен быть передан за время прохождения бита. Здесь имеется отличие от алгоритма Витерби, в котором апостериорная вероятность для ка­ждого бита данных не существует. Вместо этого в алгоритме Витерби находится наи­более вероятная последовательность, которая могла быть передана. Но в реализации обоих алгоритмов, впрочем, имеется сходство (см. раздел 8.4.6.3). Если декодирован­ное Р_в мало, существует незначительное различие в производительности между алго­ритмами МАР и Витерби с мягким выходом (soft-output Viterbi algorithm — SOVA). Более того, при высоких значениях Р_в и низких значениях E,JN₀ алгоритм МАР пре­восходит алгоритм SOVA на 0,5 дБ и более [30, 31]. Это может оказаться очень важ­ным для турбокодов, поскольку первая итерация декодирования может давать доволь­но высокую вероятность ошибки. Алгоритм МАР основывается на той же идее, что и алгоритм Витерби, — обработка блоков кодовых битов в двух направлениях. Как только такое двунаправленное вычисление даст состояние и метрики ветвей блока, можно начинать расчет апостериорной вероятности и МАР для каждого бита данных в блоке. Здесь предлагается алгоритм МАР декодирования для систематических свер­точных кодов; полагается, что используется канал AWGN, как указано Питробоном [30]. Расчет начинается с отношения значений апостериорных вероятностей, извест­ных как отношения функций правдоподобия A(d_k), или их логарифмов, L(d_k), на­зываемых логарифмическими отношениями функций правдоподобия (log-likelihood ratio — LLR), как было показано в уравнении (8.110).

(8.118,а)

И

(8.118,6)

Здесь X‘f (совокупная вероятность того, что d_t = i и S_k = m, при условии, что при­нята кодовая последовательность R_x, получаемая с момента к= 1 в течение некото­рого времени N) определяется уравнением (8.108) и повторно приводится ниже.

X'_k^m = P{d_k= i, S_k=m\R?},

где R_x представляет искаженную последовательность кодированных битов, передавае-

мую по каналу, демодулированную и поданную на декодер согласно мягкой схеме ре_г шений. В действительности, алгоритм МАР требует, чтобы последовательность на выхо-

де демодулятора подавалась на декодер по одному блоку из N бит за такт. Пусть R_Xt имеет следующий вид: {

R? ={R\-^l,R_k,R^N_k+l}. (8.120)

Чтобы упростить применение теоремы Байеса, уравнение (8.119) переписывается с использованием букв А, В, С и D. Таким образом, уравнение (8.119) примет следую­щий вид:

Х'_к^т = P{d_k =i,S_k =/n|«f ~^l,R_k,R_k+l). (8.121)

A 'TC D

Вспомним, что теорема Байеса гласит следующее:

_Р(А\В CD) - ^ПА' ^B'^C'^{D) Р}^^А'^С'

' ’ Р(В, С, D) Р(В, С, D)

Р{В\А, С, Р)Р(Р\А, С)Р(А, С) '

Р{В, С, D)

Отсюда, в приложении теоремы к уравнению (8.121), получается следующее:

Х'_к^т = P(R*~^l\d_k - i, S_k =m,R_k^N)P(R_k^N_+l\d_k =i,S_k =m,R_k)x xP(d_k=i,S_k=m,R_k)IP(Rf),

причем R_k = {R_k, Rj?_+l}. Уравнение (8.123) можно переписать, выделяя вероятност­ный член, вносящий вклад Х’_к^т. В следующем разделе три множителя в правой части

уравнения (8.123) будут определены и описаны как прямая метрика состояния, обрат­ная метрика состояния и метрика ветви.

8.4.6.1. Метрики состояний и метрика ветви

Первый множитель в правой части уравнения (8.123) является прямой метрикой со­стояния для момента к и состояния т и обозначается а™. Таким образом, для / = 1,0

Несущественно Несущественно

Р&\-'\ d^=i. ^sk=m, RГ) = P(R^k_l-ⁱ(S_t=m)) = a^m_t (8.124)

Следует отметить, что d_k = i и R_k обозначены как несущественные, поскольку

предположение о том, что S_k-m, подразумевает, что на события до момента к не влияют измерения после момента к. Другими словами, будущее не оказывает влияния

,на прошлое; таким образом, P(R^k~^l) не зависит от того, что d_t = i и последователь­ность равна R_k. В то же время, поскольку кодер обладает памятью, состояние кодера

S_t = m основывается на прошлом, а значит, этот член является значимым и его следует оставить в выражении. Очевидно, что форма уравнения (8.124) является понятной,

поскольку представляет прямую метрику состояния а_к для момента к как вероят­ность того, что прошлая последовательность зависит только от теперешнего состоя­ния, вызванного этой последовательностью и ничем более. В этом сверточном кодере нетрудно узнать уже упоминавшийся в главе 7 Марковский процесс.

Точно так же второй сомножитель в правой части уравнения (8.123) представляет собой обратную метрику состояния р™ для момента времени к и состояния т, опре­деляемую следующим выражением:

def

P{R^N_{k + l}\dk =i,S_k = m,R_k) = P(R?₊₁\S_k=f(i,m)) = ${%^т).

Здесь Д/, т) — это следующее состояние, определяемое входом i и состоянием т, а Р{+’Г⁾ ~ обратная метрика состояния в момент к+1 и состояния f(i, т). Ясно, что

уравнение (8.125) удовлетворяется, поскольку обратная метрика состояния |3™₊₁ в бу­дущий момент времени к + 1 представлена как вероятность будущей последовательно­сти,'которая зависит от состояния (в будущий момент к+ 1), которое, в свою очередь, является функцией входного бита и состояния (в текущий момент к). Это уже знако­мое основное определение конечного автомата (см. раздел 7.2.2).

Третий сомножитель в правой части уравнения (8.123) представляет собой метрику

ветви (в состоянии т, в момент времени к), которая обозначается &_к^т. Таким обра­зом, можно записать следующее:

def.

P(d_k = i, S_k = m,R_k) = 8^,_k^m.

Подстановка уравнений <8.124)—(8.126) в уравнение (8.123) дает следующее, более компактное выражение для совокупной вероятности:

Используя уравнение (8.127), формулу (8.118) можно представить следующим образом:

^ак°к Р* + 1

_m_o, m_R/(0, т)

£_₁^ак°к Р* + 1

Е^а*⁵*^ир*⁽^

Исходя из уравнения (8.124), а“ можно представить как сумму всех возможных переходов из момента к - 1.

°*⁼ £ Z^P(dk -^1=j'^Sk-^1=т'’~ ‘^,5*^{= т) (8Л29)}

т' j = О

Я* ~¹ можно переписать как {R* ~ ²R_k _ j} и, согласно теореме Байеса,

“* ⁼ Е Е ^{- 2|5}* ⁼ -1 = л л* _ О X

m' j = О

х Р(4-_l=j,S_k__l=m',R_k__l\S_k=m) =

= £ P(R\ ~²,S_k_!= b(j, m))P(d_k _, = j, S_k _, = b(J, in), R_k _ i), (8.130,6)

7 = 0

где b(j, m) — это состояние по предыдущей ветви, соответствующей входу j, исходящее об­ратно по времени из состояния т. Уравнение (8.130,6) может заменить уравнение (8.130,а), поскольку сведения о состоянии т и входе j в момент времени к-1 полностью определя­ют путь в состояние S_k-m. Воспользовавшись уравнениями (8.124) и (8.126) для упроще­ния обозначений в уравнении (8.130), можно получить следующее:

< = (^8Л31) i = о

Уравнение (8.131) означает, что новая прямая метрика состояния т в момент к получа­ется из суммирования двух взвешенных метрик состояний в момент к-1. Взвешивание включает метрики ветвей, связанные с переходами, соответствующими информационным битам 1 и 0. На рис. 8.29, а показано применение двух разных типов обозначений для па­раметра а. Запись аиспользуется для обозначения прямой метрики состояния в мо­мент времени к- 1, если имеется два возможных предыдущих состояния (зависящих от того, равно ли j единице или нулю). А запись а™ применяется для обозначения прямой метрики состояния в момент к, если имеется два возможных перехода из предыдущего момента, которые оканчиваются в том же состоянии т в момент к.

<“ ft A Tx/nfir>*r>nui

"j= 1

*+ 1

б) Обратная метрика состояния

,т _ „b(0,m)<.0, b(0, m), „Ь (1, m) _R1,b(1,m) m) _s0, m, nfO.m) c1, m

’■k-O-kl] 'bk-^ ^+ak-1 5*-l^{v 1} ' “PfcV-i o* +P*+i

где b{], m) — прошлое состояние, соответствующее входному у

где Д/, т) — следующее состояние, определяемое входным] и состоянием т

Метрика ветви 8*^гп=< ехр(х„ i/_k + у_к vk ^m]

А/с. #.29. Графическое представление расчета а™ и (3™. (Источник: Piet-

robon S. S. “Implementation and Performance of a Turbo/Map Decoder”. Intl. J. of Satellite Communications, vol. 16, Jan.-Feb., 1998, pp. 23—46.)

8.4.6.3. Расчет обратной метрики состояния

^! Возвращаясь к уравнению (8.125), где = P[R_{k + l}\S_{k+ l} = f(i,m)], имеем

следующее:

РГ = P{Rk\S_k = m) = P(R_k, R?₊,|S* = m).

P™ можно представить как сумму вероятностей всех возможных переходов в момент k+ 1.

^: Е Е ~ }’^к + 1 - ^т'’ ^Rk > ^Rk + ll^/t - ^m)

m' j = 0

Применяя теорему Байеса, получим следующее:

Р* = L L‘I ■^=т’^d* ^{= j}’ ^S* + • ^{= m}'’ ^Л*> ^Х

т j - 0

х />(^ =j,s_{k + l}= in', R_k\S_k = m)

В первом члене правой части уравнения (8.134) S_k = m и d_k=j полностью определя­ют путь, ведущий в S_k+X =f(j, т); следующее состояние будет иметь входу и состояние т. Таким образом, эти условия позволяют заменить S*₊₁ =т' на S_k = т во втором члене уравнения (8.134), что дает следующее:

^; = °. (8.135)

= isrp»"¹

J = 0

Q nLUAO ^лпмпппоимо' иЯГ'Т!-» ^

Уравнение (8.135) показывает, что новая обратная метрика состояния т в момент к, получается путем суммирования двух взвешенных метрик состояния в момент к+ 1. Взвешивание включает метрики ветвей, связанные с переходами, соответствующими информационным битам 1 и 0. На рис. 8.29, б показано применение двух разных ти­пов обозначений для параметра р. Первый тип, запись p£⁽₊^Jj^m>, используется для обо­значения обратной метрики состояния в момент времени к+ 1, если имеется два воз­можных предыдущих состояния (зависящих от того, равно ли j единице или нулю). Второй тип, Р™, применяется для обозначения обратной метрики состояния в момент

к, если имеется два возможных перехода, поступающих в момент к+ 1, которые выхо­дят из того же состояния т в момент времени к. На рис. 8.29 приведены пояснения к вычислениям прямой и обратной метрик.

Алгоритм декодирования МАР подобен алгоритму декодирования Витерби (см. раз­дел 7.3). В алгоритме Витерби метрика ветви прибавляется к метрике состояния. Затем сравнивается и выбирается минимальное расстояние (максимально правдоподобное) для получения следующей метрики состояния. Этот процесс называется сложение, сравнение и выбор (Add-Compare-Select — ACS). В алгоритме МАР выполняется умножение (в лога­рифмическом представлении — сложение) метрик состояния и метрик ветвей. Затем, вме­сто сравнения, осуществляется их суммирование для вычисления следующей прямой (обратной) метрики состояния, как это видно из рис. 8.29. Различия воспринимаются на уровне интуиции. В алгоритме Витерби осуществляется поиск наиболее вероятной после­довательности (пути); следовательно, выполняется постоянное сравнение и отбор, для того чтобы отыскать наилучший путь. В алгоритме МАР выполняется поиск правдоподобного или логарифмически правдоподобного числа (в мягкой схеме); следовательно, за период времени процесс использует все метрики из всех возможных переходов, чтобы получить полную статистическую картину информационных битов в данном периоде времени.

8.4.6.4. Расчет метрики ветви

Сначала обратимся к уравнению (8.126).

s;- = =i.s,=„,*,)= _(8136|

= P(R_k |d_k = i,S_k = m)P(S_k =m\d_k= i)P(d_k = i)

Здесь R_k представляет собой последовательность {x_h y_t}, x_k — это принятые биты дан­ных с шумом, а у_к — принятые контрольные биты с шумом. Поскольку помехи влия­ют на информационные биты и биты контроля четности независимо, текущее состоя­ние не зависит от текущего входа и, следовательно, может быть одним из 2“ состоя­ний, где я) — это число элементов памяти в сверточной кодовой системе. Иными словами, длина кодового ограничения этого кода, К, равняется '0+1. Значит,

P{S = m\d_k =‘) = ф

И

^ъ'к^т = ^pi^xk\^dk = i>S_k =^т)Р(.Ук\^ак ⁼ⁱ’^sk =^т)-р-> (8.137)

Из уравнения (1.25,г) в главе 1, вероятность Р(Х_к = х_к) того, что случайная переменная Х_к примет значение х_к, связана с функцией плотности вероятности р_Хк (х_к) следую­щим образом:

P(X_k =х_к) = p_Xk(x_k)dx_k.

Для упрощения обозначений случайная переменная Х_к, принимающая значение х_к, часто будет называться “случайной переменной х”, которая будет представлять зна­чения х_к и у_к в уравнении (8.137). Таким образом, для канала AWGN, в котором шум имеет нулевое среднее и дисперсию с², при замене вероятностного члена в уравне­нии (8.137) его эквивалентом (функцией плотности вероятности) используется урав­нение (8.138), что дает следующее:

Здесь и_к и v_k представляют переданные биты данных и биты контроля четности (в би­полярной форме), a dx_k и dy_k являются дифференциалами х_к и у_к и далее будут вклю­чаться в постоянную А_к. Следует заметить, что параметр и_к представляет данные, не зависящие от состояния т, поскольку код имеет память. Для того чтобы привести вы­ражение к более простому виду, нужно исключить все члены в числителе и знамена­теле и использовать сокращения; в результате получим следующее:

~Т {^Хк^ик + Ук^к^т)

L(d_k) = Ud_k) + L_c(х_к) + L_e(d_k). (8.141,в)

Здесь п_к =п‘_к1п°_к является входным отношением априорных вероятностей (априорное правдоподобие), а п^е_к — внешним выходным правдоподобием, каждое в момент вре­мени к. В уравнении (8.141,6) член п_к можно считать фактором коррекции (вследствие

кодирования), который меняет входные априорные сведения о битах данных. В турбокоде такие корректировочные члены проходят из одного декодера в другой, чтобы улучшить от­ношение функций правдоподобия для каждого информационного бита и, таким образом, минимизировать вероятность появления ошибок декодирования. Следовательно, процесс

декодирования влечет за собой использование уравнения (8.141,6) для получения за не­сколько итераций Л(d_k). Внешнее правдоподобие п_к, получаемое из конкретной итера­ции, заменяет априорное правдоподобие %_к+х для следующей итерации. Взятие логарифма от A(d_k) в уравнении (8.141,6) дает уравнение (8.141,в), которое показывает те же резуль­таты, что и уравнение (8.71). Они заключаются в том, что итоговые данные L(d_k) (согласно мягкой схеме принятия решений) образуются тремя членами LLR — априорным LLR, LLR канального измерения и внешним LLR.

Алгоритм МАР можно реализовать через отношение функций правдоподобия

A(d_k), как показывает уравнение (8.128,а) или (8.141,в); конструкция станет менее громоздкой за счет устранения операций умножения.

8.4.7. Пример декодирования по алгоритму МАР

На рис. 8.30 изображен пример декодирования по алгоритму МАР. На рис. 8.30, а представлен систематический сверточный кодер с длиной кодового ограничения К = 3 и степенью кодирования 1/2. Входные данные — последовательность d= {1,0,0}, со­ответствующая временам к = 1,2,3. Выходная кодированная битовая последователь­ность образуется путем последовательного взятия одного бита из последовательности и= {1,0,0} вслед за битом контроля четности из последовательности v = {1, 0, 1}. В каждом случае крайний слева бит является самым первым. Таким образом, выходной последовательностью будет 1 10 0 0 1 или ее биполярное представление — +1 +1 -1 -1 -1 +1. На рис. 8.30, б видны результаты искажения последовательностей и и v векто­рами помех п* и n_v, так что теперь они обозначаются как х = и + п* и у = v + n_v. Как по­казано на рис. 8.30, б, входные данные демодулятора, поступающие на декодер в мо­менты к =1,2, 3, имеют значения 1,5; 0,8; 0,5; 0,2; -0,6; 1,2. Также показаны априорные вероятности того, что принятые биты данных будут равны 1 или 0, что обозначается как л¹ и л°. Предполагается, что эти вероятности будут одинаковы для всех к момен­тов времени. В этом примере уже имеется вся необходимая информация для расчета метрик ветвей и метрик состояний и ввода их значений в решетчатую диаграмму декодера, изображенную на рис. 8.30, в. На решетчатой диаграмме каждый пере­ход, возникающий между временами к и к+ 1, соответствует информационному биту d_k, который появляется на входе кодера в момент начала перехода к. В мо­мент времени к кодер находится в некотором состоянии т, а в момент к + 1 он переходит в новое состояние (возможно, такое же). Если использовать такую ре­шетчатую диаграмму для отображения последовательности кодовых битов (представляющих N бит данных), последовательность будет описываться N време­нами переходов и N+ 1 состояниями.

8.4.7.1. Расчет метрик ветвей

Начнем с уравнения (8.140) при п‘_к = 0,5 (в данном примере информационные би­ты считаются равновероятными для любых времен). Для простоты предполагается, что А*= 1 для всех моментов и о² = 1. Таким образом, 5J_t’^m примет следующий вид:

На что похожа основная функция приемника, определяемая уравнением (8.142)? Вы­ражение напоминает корреляционный процесс. В декодере в каждый момент к принима­ется пара данных (х_к, относящееся к битам данных, и у_ь относящееся к контрольным би­там). Метрика ветви рассчитывается путем умножения принятого х_к на каждый первооб­разный сигнал и_к и принятого у_к на каждый первообразный сигнал v_k. Для каждого перехода по решетке величина метрики ветви будет функцией того, насколько согласуются пара данных, принятых с помехами, и кодовые значения битов этого перехода по решетке. При к-1 для вычисления восьми метрик ветвей (переходов из состояний т для всех зна­чений данных i) применяется уравнение (8.142). Для простоты, состояния на решетке обо­значены следующим образом: а =00, b = 10, с = 01, d= 11. Заметьте, что кодированные би­товые значения, и_к, v_k, каждого перехода по решетке указаны над самими переходами, как можно видеть на рис. 8.30, в (только для к- 1), и их можно получить обычным образом, используя структуру кодера (см. раздел 7.2.4.). Для переходов по решетке на рис. 8.30, в оговаривается, что пунктирные и сплошные линии обозначают информационные биты 1 и

0. Расчеты дают такие значения:

5^Г^а = 0,5ехр[(1,5)(1) + (0,8)(1)] = 5,0

₅0,т = а _{= 5}0.т = Ь _{= 0j5exp[(lj5)(}_₁₎ + (₀,8)(-1)] = 0,05

5''ГГ^f = 5‘ГГ ^d = 0,5ехр[(1,5)(1) + (0,8)(-1)] = 1,0

⁵°'ГГ' = 8 °’ГГ ^d = 0,5ехр[(1,5)(-1) + (0,8)(1)] = 0,25

Затем эти расчеты повторяются, с помощью уравнения (8.142), для восьми метрик ветвей в момент к = 2.

5^₂^=я = 5^₂^=й ==0,5ехр[(0,5)(1) + (0,2)(1)] = 1,0 ₅0. т = а ₌ go, m = Ь _{= 0>}5_Схр[(0,5)(-1) ₊ (_0>2)(-1)] = 0,25

= ^k = 2^d = 0,5ехр[(0,5)(1) + (0,2)(-1)] = 0,67 5°'Г₂^{= f} = 5°’Г₂^{= d} = 0,5ехр[(0,5)(-1) + (0,2)(1)] = 0,37 Снова расчеты повторяются для значений восьми метрик ветвей уже в момент к = 3.

5^₃^=я =Sj.’™3 * = 0,5ехр[(-0,6)(1) + (1,2)(1)] = 0,91 5°'Г₃⁼ “ = 5^Г₃^{= 6} = 0,5ехр[(-0,6)(-1) + (1,2)(-1)] = 0,27 5’’Г₃^{= f} = 5['Гз⁼ = 0,5ехр[(-0,6)(1) + (1,2)(-1)] = 0,08 5°’Г₃^{= г} = 5°'Г₃^{= 4} = 0,5ехр[(-0,6)(-1) + (1,2)(1)] = 3,0

8.4.7.2. Расчет метрик состояний

Как только при всех к рассчитаны восемь значений Ь'™, можно вычислить прямые

метрики состояний а.™, воспользовавшись рис. 8.29, 8.30, в и уравнением (8.131), ко­торое повторно приводится ниже.

---

Дата добавления: 2015-10-28