Основы теории принятая статистических решений 1051 48 страница

9 7 Оппрпрлрнмр пя^пябпткя м ппРик’Я гмптрм ммгЬпгтпм f'RO'SW
рис. 9.6 видно, что модуляция MFSK вполне подходит для снижения требуемого знаЬ чения EiJN₀ за счет увеличения полосы пропускания.

Здесь важно подчеркнуть, что в уравнениях (9.18) и (9.19) для MPSK, а также в уравнениях (9.20) и (9.21) для MFSK и всех рабочих точек, показанных на рис. 9.6, предполагается фильтрация по Найквисту (идеальная прямоугольная). На практике такие фильтры нереализуемы. Для реальных каналов и сигналов требуемая полоса пропускания должна быть больше, чтобы учитывать реализуемость фильтров.

Во всех последующих примерах будут рассматриваться радиоканалы с аддитивным белым гауссовым шумом (additive white Gaussian noise — AWGN), не имеющие иных факторов ухудшения качества сигнала. Для простоты выбор типа модуляции будет ог­раничен схемами с постоянной огибающей — MPSK или некогерентная ортогональная MFSK. Таким образом, если в системах без кодирования ограничена полоса пропус­кания, выбирается схема MPSK, а если у канала ограничена мощность, применяется MFSK. Отметим, что при рассмотрении кодирования с коррекцией ошибок выбор типа модуляции не так прост, поскольку существуют методы кодирования [9], которые по­зволяют более эффективно выбрать компромисс между полосой пропускания и мощ­ностью, чем схемы Л/-арной модуляции.

Следует сказать, что в общем случае М-арную передачу сигналов можно рассмат­ривать как процедуру кодирования формы сигнала. Иными словами, если вместо дво­ичной выбрана М-арная модуляция, по сути, сигналы двоичной формы заменяются сигналами лучшей формы — лучшей или с точки зрения эффективности использова­ния полосы (MPSK), или с точки зрения требуемой мощности (MFSK). Хотя передачу ортогональных сигналов MFSK можно рассматривать как систему с кодированием (ее можно представить как код Рида-Мюллера [10]), мы будем применять термин система с кодированием только к традиционным кодам коррекции ошибок, исполь­зующим избыточность, таким как блочные или сверточные коды.

9.7.4. Требования к передаче сигналов MPSK и MFSK

Основное соотношение между скоростью передачи символов (или сигналов) R_s и ско­ростью передачи битов R выражено в уравнении (9.16) и имеет следующий вид:

*.=-*— log ₂ М

На основе этого соотношения и уравнений (9.18)—(9.21) для скорости передачи дан­ных R = 9600 бит/с была составлена табл. 9.1 [11]. В этой таблице сведены данные о скорости передачи символов, минимальной полосе пропускания по Найквисту, эф­фективности использования полосы частот для MPSK и некогерентной ортогональной MFSK при М= 2, 4, 8, 16 и 32. В табл. 9.1 также для каждого М показаны значения E,/N₀, необходимые для получения вероятности ошибки 10“⁵ для MPSK и MFSK. Эти значения E,JN₀ в таблице были получены исходя из соотношений, которые будут пред­ставлены далее, и соответствуют компромиссам, показанным на рис. 9.6. С ростом М передача сигналов MPSK позволяет более эффективно использовать полосу частот за счет увеличения E,JN₀, в то время как передача сигналов MFSK позволяет снизить Ef//V₀ за счет расширения полосы пропускания. В следующих трех разделах будут под­робно рассмотрены примеры из табл. 9.1.

ГЛЯКЯ Q Кпмпплммггм ппм игпппк^ппямии мппипа! 1мм и Ь'ппмпгтянма

Таблица 9.1. Скорость передачи символов, минимальная полоса по Найквисту, эффективность использования полосы и требуемое E^No/vta схем MPSK и некогерентной ортогональной MFSK при скорости передачи данных 9600 бит/с

М к R R_s MPSK MPSK MPSK Некогерентная op- MFSK MFSK (бит/с) (символ/с) Минималь- R/W E₆/N₀ (дБ) тогональная MFSK R/yy E₆/N₀ (дБ) ная полоса p _ jq s Минимальная полоса p _ (Гц) ' <^Г«)

						9,6		1/2	13,4
						9,6		1/2	10,6
						13,0		1/3	9,1
						17,5		1/4	8,1
						22,4		5/32	7,4

9.7.5. Система с ограниченной полосой пропускания без кодирования

Рассмотрим радиоканал с шумом AWGN и ограниченной полосой пропускания W= 4000 Гц. Пусть ограничения линии связи (мощность передатчика, коэффициент усиления антенны, потери в канале и т. д.) приводят к тому, что отношение мощно­сти принятого сигнала к спектральной плотности мощности шума (PJN₀) равно 53 дБГц. Допустим, требуемое значение скорости передачи информации R равно 9600 бит/с, а требуемая вероятность появления битовой ошибки Р_в не должна превы­шать 10“⁵. Задача — выбрать схему модуляции, которая сможет удовлетворить требуе­мым рабочим характеристикам. В общем случае может потребоваться схема кодирова­ния с коррекцией ошибок, если ни одна из доступных схем модуляции не может удовлетворить всем требованиям. Тем не менее в данном примере (как показывается далее) кодирование с коррекцией ошибок не понадобится.

Для любой цифровой системы связи соотношение между принимаемой мощно­стью и спектральной плотностью мощности шума (PJN₀), а также принимаемой энергией одного бита и спектральной плотностью мощности шума (E,/N₀) приведено в формуле (5.20,в) и имеет следующий вид:

Рг ^ЕЬ

R. (9.22)

N₀ N о

Выразив из этого соотношения E,JN₀ в децибелах, получаем следующее:

—(дБ) =—(дБГц)-Я(дБбит/с) = (⁹-²³)

А'о

= 53 дБГц - (10 х Jg 9600) дБбит/с = 13,2 дБ (или 20,89).

Поскольку необходимая скорость передачи данных 9600 бит/с значительно больше, чем доступная полоса пропускания, составляющая 4000 Гц, канал можно считать каналом с ог­раниченной полосой пропускания. Следовательно, в качестве схемы модуляции выбираем MPSK. Напомним, что при выборе возможной схемы модуляции было решено ограни­читься модуляциями с постоянной огибающей; без такого ограничения можно найти тип модуляции с еще большей эффективностью использования полосы частот. Вычислим да­лее минимально допустимое значение М, при котором символьная скорость передачи дан­ных не превышает доступной полосы пропускания 4000 Гц. Из табл. 9.1 видно, что наи­меньшим значением М, удовлетворяющим этим требованиям, является М = 8. Следующая

Q "7 Пппапапоииа па'ЗпоЛлтм м ппаи^а плртаи* мигЬппппй г'Па'ЭМ ^ 565

задача — выяснить, удовлетворяется ли требование к вероятности появления битовой ошибки Р_в < 10“⁵ при использовании 8-уровневой PSK или потребуется дополнительно вводить схему кодирования с коррекцией ошибок. Из табл. 9.1 видно, что 8-уровневая PSK удовлетворяет всем требованиям, поскольку отношение EtJN₀ для 8-уровневой PSK меньше принятого EiJN₀, выраженного в (9.23). Тем не менее, представим, что табл. 9.1 нет. Пока­жем, как определить, нужно ли кодирование с коррекцией ошибок.

На рис. 9.8 показана блок-схема простого модулятора/демодулятора (модема), в которой отображены функциональные элементы разработки. В модуляторе в ходе преобразования битов данных в символы выходная скорость передачи символов равна R_s, т.е. в (log₂ М) раз меньше входной скорости передачи битов R, как видно из урав­нения (9.16). Аналогично на входе демодулятора отношение энергии символа к спек­тральной плотности мощности шума EJN₀ в (log₂ М) больше E,/N₀, поскольку каждый символ состоит из (log₂ М) бит. Поскольку EJN₀ больше E,JN_Q в столько же раз, во сколько R_s меньше R, формулу (9.22) можно переписать следующим образом:

lY

символов/с

1одг М

М-арный

демодулятор

(I)

P_s = f[P_E(M)]

Рис. 9.8. Схема простого модулятора/демодулятора (модема) без канального кодирования

За каждый интервал T_s демодулятор принимает сигнал (в данном случае — один из М = 8 возможных сдвигов фаз). Вероятность Р^М) возникновения в демодуляторе символьной ошибки довольно точно описывается следующим приближенным выражением [12]:

Здесь Q(x) — это гауссов интеграл ошибок, который был определен в выражении (3.43).

Q(x) =

На рис. 9.8 и на всех последующих рисунках для обозначения некоторой функцио­нальной зависимости вероятности от х будет использоваться не явное выражение, а обобщенная запись fix).

ГпЯяЯ Q Кпмпглпммг'г'ь.! ппм мг'ппги-.'эппаимм клпп\/па1 ihm м к’Ппмпгшаима

Как правило, для описания эффективности связи (по фактору мощности) или досто­верности передачи в цифровых системах их выражают через EJN₀ в децибелах. Такое упот­ребление EJN₀ является распространенной практикой. Тем не менее напомним, что на входе демодулятора/детектора нет битов, имеются только сигналы, которым присвоено би­товое значение. Следовательно, принимаемое значение E,JN_Q представляет собой пропор­циональное распределение энергии принимаемых битов по сигналам. Более точное (но громоздкое) название — энергия эффективного бита на N₀. Для выражения Р^М) из урав­нения (9.25) сначала нужно получить выражение для отношения энергии символа к спек­тральной плотности мощности шума, EJN₀. Поскольку (из выражения (9.23)) EJN₀ = 13,2 дБ (или 20,89) и каждый символ образуется (log₂ М) битами, при М= 8 получаем следующее:

= (log₂ М)^- = 3 х 20,89 = 62,67. N₀ N₀

Подставляя выражение (9.26) в (9.25), получаем вероятность появления символьной ошибки Р_Е = 2,2 х 10~⁵. Чтобы этот результат перевести в вероятность появления бито­вой ошибки, нужно воспользоваться соотношением между вероятностью появления битовой ошибки Р_в и вероятностью появления символьной ошибки Р_Е для многофаз­ной передачи сигналов [10]. Итак,

(9.27)

Это является довольно хорошей аппроксимацией, если для отображения битов в сим­волы применяется код Грея [12]. Последняя формула дает Р_в = 1,3 х 10^-6, что вполне удовлетворяет требованиям к вероятности появления битовых ошибок. Таким обра­зом, в приведенном примере кодирование с коррекцией ошибок не потребовалось и 8-уровневая PSK удовлетворяет требованиям канала с ограниченной полосой пропус­кания (что и было предсказано при изучении значений EJN₀ в табл. 9.1).

9.7.6. Система с ограниченной мощностью без кодирования

Рассмотрим теперь систему, где требуется такая же скорость передачи данных и такая же вероятность появления битовой ошибки, как и в случае, описанном в разделе 9.7.5. Однако в данном примере доступная полоса пропускания W пусть будет равна 45 кГц, а доступное PJN₀ — 48 дБГц. Как и ранее, задача — выбор схемы модуляции или мо­дуляции/кодирования, которая смогла бы удовлетворить техническим требованиям. В данном случае кодирования с коррекцией ошибок снова не потребуется.

Очевидно, что в этом примере канал не имеет ограничений на полосу пропускания, так как имеющихся 45 кГц полосы более чем достаточно для обеспечения требуемой скорости передачи данных 9600 бит/с. Из уравнения (9.23) получаем принимаемое EJN₀.

-^-(дБ) = 48 дБГц - (10xlg9600) дБбит/с = 8,2 дБ (или 6,61) No

Поскольку полоса пропускания избыточна, а для получения нужной вероятности битовой ошибки доступно сравнительно небольшое E^N₀, канал можно назвать каналом с ограни­ченной мощностью. Следовательно, в качестве схемы модуляции выбирается MFSK. Для экономии мощности далее необходимо подобрать максимальное М, при котором мини­мальная полоса пропускания MFSK не будет превышать доступные 45 кГц. Следуя табл. 9.1, можно видеть, что это возможно при М -16. Следующая задача — выяснить,

Q7 Пппрлрпоимр пяопяйптга и пнрикя гиптрм ии(Ьппвой СВЯЗИ

можно ли удовлетворить требованию Р_в < КГ⁵ с помощью лишь 16-уровневой FSK, без привлечения какого-либо кодирования с коррекцией ошибок. Подобно рассмотренному ранее случаю, из табл. 9.1 видно, что 16-уровневая FSK может удовлетворить требовани­ям, поскольку требуемое EJN₀, взятое для 16-уровневой FSK, меньше полученного из уравнения (9.28). Тем не менее мы получим данный результат, не обращаясь к табл. 9.1. Покажем, как определить, нужно ли кодирование с, коррекцией ошибок.

Как и ранее, блочная диаграмма на рис. 9,8 отображает соотношение между скоростью передачи символов R_s и скоростью передачи битов R и между EJN₀ и £V/V₀; эти соотноше­ния аналогичны полученным в предыдущем примере системы с ограниченной полосой. В данном случае демодулятор 16-уровневой схемы FSK принимает сигнал (одну из 16 воз­можных частот) за интервал T_s. При некогерентной MFSK вероятность возникновения в демодуляторе символьной ошибки аппроксимируется следующим выражением [13]:

(9.29)

Для вычисления Р^М) из формулы (9.29) требуется, как и в предыдущем примере, найти EJN₀. Подставляя выражение (9.28) в (9.26) при М = 16, получаем следующее:

= (log, М)-^- = 4 х 6,61 = 26,44. N о

Далее формулу (9.30) подставляем в (9.29), что дает вероятность появления символь­ной ошибки Р_Е= 1,4 х 10“⁵. Для преобразования этой величины в вероятность появле­ния битовой ошибки Р_в нужно воспользоваться соотношением между Р_в и Р_Е для пе­редачи ортогональных сигналов [13], которое имеет следующий вид:

Из последней формулы получаем, что Р_в = 7,3 х КГ⁶; это вполне удовлетворяет требуемой вероятности появления битовых ошибок. Таким образом, с помощью 16-уровневой FSK можно удовлетворить требованиям спецификации данного канала с ограниченной мощностью, не используя дополнительно никакого кодирования с коррекцией оши­бок (что и было предсказано при изучении значений Et/N₀ в табл. 9.1).

9.7.7. Система с ограниченной мощностью и полосой пропускания с кодированием

В этом примере начальные параметры будут такими же, как и в предыдущем примере сис­темы с ограниченной полосой пропускания (раздел 9.7.5), а именно W = 4000 Гц, P/N₀ = 53 дБГц и R = 9600 бит/с, за одним исключением. В данном случае предполагается, что вероятность появления битовой ошибки должна быть не больше ЮЛ Поскольку полоса пропускания составляет 4000 Гц, а из уравнения (9.23) находим E_tJN₀ = 13,2 дБ, то из табл. 9.1 ясно, что данная система ограничена и по полосе пропускания и по доступной мощности (для удовлетворения требованиям к полосе пропускания можно использовать 8-уровневую схему PSK; но имеющихся 13,2 дБ отношения EJN₀ совсем не достаточно для обеспечения требуемой вероятности появления битовой ошибки 10"⁹). При таких малых значениях Р_в, системы, изображенной на рис. 9.8, явно недостаточно, значит, надо по­
смотреть, какое повышение производительности сможет дать кодирование с коррекцией ошибок (в пределах доступной полосы пропускания). В общем случае можно использовать сверточный или блочный код. Для упрощения будем применять блочный код. Коды Бо- уза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose, Chaudhuri, Hocquenghem — ВСН, БХЧ) образуют боль­шой класс мощных циклических (блочных) кодов коррекции ошибок [14]. В данном при­мере выберем из семейства кодов один конкретный. Рассмотрим табл. 9.2, где приведены некоторые коды БХЧ, определяемые параметрами п, к и t. Здесь к — количество информа­ционных битов, которые код преобразует в более длинные блоки из п кодовых битов (их также называют канальными битами или канальными символами), at — максимальное число неправильных канальных битов, поддающихся исправлению, в блоке размером п бит. Степень кодирования кода определяется как отношение к/п; а величина, обратная данной, является мерой избыточности кода.

Таблица 9.2. Коды БХЧ (неполный перечень)

п	к	t
-

Поскольку ограничения системы аналогичны использованным в разделе 9.7.5, удовлетворить требования к полосе пропускания можно с помощью 8-уровневой схе­мы PSK. Тем не менее для снижения вероятности появления ошибки до Р_в < 10'⁹ придется воспользоваться кодом коррекции ошибок. При выборе оптимального кода из табл. 9.2 нужно иметь в виду следующее.

1. Выходная вероятность появления битовой ошибки в комбинированной системе модуляции/кодирования должна удовлетворять системным требованиям досто­верности передачи.

2. Степень кодирования кода не должна требовать увеличения полосы пропускания до значения, большего доступного.

3. Код должен быть максимально простым. Вообще, чем короче код, тем проще его реализовать.

Минимальная полоса пропускания для 8-уровневой схемы PSK без кодирования составля­ет 3200 Гц (см. табл. 9.1), а доступная полоса пропускания канала — 4000 Гц. Следователь­но, полосу пропускания некодированного сигнала можно увеличить не более чем в 1,25 раза (или расширить на 25%). Таким образом, самым первым шагом в данном (упрощенном) примере выбора кода будет отбрасывание тех кодов из табл. 9.2, которые потребуют расширения полосы пропускания более чем на 25%. В результате мы получим набор кодов, “совместимых” с полосой пропускания (табл. 9.3). В этой таблице добавлены два столбца, которые обозначены как “эффективность кодирования”, G, причем эта вели­чина определяется следующим образом:

^w,-(t) ^(дБ>- ⁽⁹'^з2)

^и некодированное ^и кодированное

Таблица 9.3. Коды БХЧ, “совместимые” с полосой пропускания

и	к	t	Эффективность кодирования, G (дБ) Рв = 10^ Рв = 10-^9
			1,8	2,0
			1,8	2,2
			2,6	3,2
			1,7	2,2
			2,6	3,4
			3,1	4,0

Из уравнения (9.32) эффективность кодирования можно описать как меру снижения вели­чины требуемого EJN₀ (в децибелах), которую нужно обеспечить с помощью свойств кода, касающихся обнаружения и исправления ошибок. Эффективность кодирования зависит от типа модуляции и вероятности возникновения битовых ошибок. В табл. 9.3 эффектив­ность кодирования G рассчитана для значений Р_в = 10“⁵ и Р_в = КГ⁹. При модуляции MPSK, G относительно независима от значения М. Следовательно, при конкретной вероятности возникновения битовой ошибки данный код будет иметь приблизительно равную эффек­тивность с любой модуляцией MPSK. Эффективность кодирования в табл. 9.3 рассчитана согласно процедуре, описываемой в разделе 9.7.7.1.

На рис. 9.9 изображена блок-схема, включающая кодер и модулятор/демодулятор (модем). Если сравнить рис. 9.9 и 9.8, то видно, что введение блоков кодера/декодера влечет за собой дополнительные преобразования. На рис. 9.9 в блоке кодер/модулятор показано, как преобразовывается скорость передачи: из R (бит/с) в R_c (канальных бит/с), а затем в R_s (символ/с).

  Pc = f[PE(M)] Рис. 9.9. Схема модема с канальным кодированием

Предполагается, что рассматриваемая система связи является системой реального вре­мени, а значит, в ней недопустимы задержки при передаче сообщений. Следовательно, скорость передачи канальных битов R_c должна превышать битовую скорость передачи дан­ных R в nlk раз. Более того, каждый передаваемый символ образован (log₂ М) канальными битами, так что символьная скорость передачи R_s меньше R_c в (log2 М) раз. Для систем с мо­дуляцией и кодированием преобразования скорости имеют следующий вид:

(9.33)

R,

R'=-

log₂ М

В блоке демодулятор/декодер, показанном на рис. 9.9, преобразования энергии битов данных, энергии канальных битов и энергии символов связаны теми же множителя­ми, что и преобразования скоростей, показанные в выражениях (9.33) и (9.34). По­скольку при преобразовании кодирования к информационных битов заменяются п канальными битами, отношение энергии канального бита к спектральной плотности мощности шума, E,JN₀, — это результат умножения E,JN₀ на коэффициент kin. Кроме того, поскольку каждый передаваемый символ состоит из (log₂ М) канальных битов, EJN₀, необходимое в (9.25) для получения Р_Е, вычисляется путем умножения EJN₀ на коэффициент (log₂ М). Для систем, содержащих одновременно и модуляцию, и коди­рование, преобразования отношений энергии к спектральной плотности мощности шума будут следующими:

Следовательно, исходя из уравнений (9.33)—(9.36), можно обобщить выражение для PJN_q в уравнении (9.24).

(9.37)

Как и ранее, канал связи описывается величиной E^Nq, выражаемой в децибелах. Тем не менее на входе демодулятора/детектора нет ни информационных, ни канальных би­тов. Есть только сигналы (символы передачи), которым присваивается битовое зна­чение, а следовательно, их можно описывать через пропорциональное распределение энергии по битам. Из формулы (9.37) видно, что додетекторная точка приемника — это удобная опорная точка, в которой можно соотнести эффективную энергию и эф­фективную скорость различных параметров. Слово “эффективный” используется по­тому, что единственные сигналы в додетекторной точке — это импульсы, которые мы называем символами. Конечно, эти символы связаны с канальными битами, которые, в свою очередь, связаны с информационными битами. Чтобы подчеркнуть тот мо­мент, что уравнение (9.37) весьма удобно при учете системных ресурсов, рассмотрим систему, в которой поток некоторого числа битов, например 273 бит, настолько часто появляется в виде отдельного блока, что этой группе присваивается собственное имя; все это идет отдельной “порцией”. Инженеры делают это постоянно, например во­семь бит называют байтом. Как только мы определили новый объект, его сразу можно связать с параметрами уравнения (9.37), поскольку PJN₀ — это теперь энергия блока на N₀, умноженная на скорость передачи блока. Нечто подобное будет использовано в главе 12, где расширение формулы (9.37) будет применяться к элементарным сигна­лам расширенного спектра.

Поскольку значения PJN_Q и R равны 53 дБГц и 9600 бит/с, (по аналогии с преды­дущим случаем) из уравнения (9.23) находим, что принятое EJN₀ = 13,2 дБ. Отметим, что принимаемое EJN₀ фиксированно и не зависит от параметров кода п и к, а также от параметра модуляции М. Как было установлено при изучении табл. 9.3, для иде­ального кода, удовлетворяющего всем требованиям, можно итеративно повторить рас­четы, представленные на рис. 9.9. Полезно запрограммировать на ПК (или калькуля­торе) следующие четыре шага как функцию от п, к и t. Шаг первый начинается с под­становки уравнения (9.35) в (9.36).

(9.38)

(9.39)

Выражение (9.39) — это аппроксимация (для М-арной PSK) вероятности символьной ошибки Р_Е, которая уже приводилась в формуле (9.25). На каждом интервале передачи символа демодулятор принимает решение относительно значения символа и подает на декодер последовательность канальных битов, представляющую этот символ. Если на демодуляторе канальные биты квантуются на два уровня, обозначаемых 1 и 0, говорят,
что демодулятор принимает жесткое решение (hard decision). Если выход демодулятора квантуется более чем на два уровня — демодулятор принимает мягкое решение (soft de­cision). В этом разделе предполагается принятие жестких решений.

Теперь, когда в системе присутствует блок декодера, вероятность появления ошиб­ки в канальном бите вне демодулятора и на декодере будем обозначать как р_с, а веро­ятность появления ошибки в бите вне декодера, как и ранее, будем обозначать через Р_в (вероятность ошибки в декодированном бите). Для р_с уравнение (9.27) можно пе­реписать следующим образом:

(9.40)

Третий шаг связывает вероятность появления ошибки в канальном бите с вероятно­стью появления ошибки в символе вне демодулятора (предполагается использование кода Грея, как это было в уравнении (9.27)).

В системах связи реального времени, использующих традиционные схемы кодиро­вания, при фиксированном значении PJN₀ величина EJN₀ с кодированием всегда бу­дет меньше величины EJN₀ без кодирования. Поскольку при кодировании демодуля­тор принимает сигнал с меньшим EJN₀, он делает больше ошибок! Тем не менее при использовании кодирования достоверность передачи зависит от характеристик не только демодулятора, но и декодера. Следовательно, для повышения достоверности передачи при кодировании декодер должен осуществлять коррекцию ошибок так, что­бы перекрывать слабую производительность демодулятора. Итоговая вероятность ошибки в декодированном бите Р_в на выходе зависит от конкретного кода, декодера и вероятности появления ошибки в канальном бите р_с. Эту зависимость можно аппрок­симировать следующим выражением [15]:

(9.41)

На четвертом шаге t — это наибольшее число канальных битов, которые код способен ис­править в блоке размером п бит. Исходя из уравнений (9.38)—(9.41), определяющих четыре упомянутых выше шага, декодированную вероятность появления битовой ошибки Р_в можно рассчитать как функцию п, km для всех кодов, представленных в табл. 9.3. Нужная позиция таблицы, удовлетворяющая установленным требованиям к вероятности возникно­вения ошибки с наибольшей возможной степенью кодирования и наименьшим п, — это код с коррекцией двойных ошибок (63, 51). Ниже приводятся соответствующие расчеты.

Шаг 1

где М= 8, а принятое EiJN₀ = 13,2 дБ (или 20,89).

Шаг 2

Шаг 3

На четвертом шаге способность кода к исправлению битовых ошибок равна t = 2. Для получения Р_в на четвертом шаге, учитываются только первые два члена суммы в урав­нении (9.41), так как остальные слагаемые дают пренебрежимо малый вклад при ма­лых значениях р_с или при разумно большом EJN_Q. Важно отметить, что при выполне­нии этих расчетов на компьютере стоит (на всякий случай) всегда учитывать все сла­гаемые в формуле (9.41), так как приближенное решение может сильно отличаться от правильного при малых значениях E,JN₀. Теперь, когда мы выбрали код (63, 51), рас­считаем скорость передачи данных в канальных битах R_c и скорость передачи симво­лов R_s с помощью уравнений (9.33) и (9.34), при М= 8.

Дата добавления: 2015-10-28