Основы теории принятая статистических решений 1051 51 страница

Некодированный шестнадцатеричный Сигнал QAM

а) 6) в)

Рис. 9.21. Увеличение размера множества сигнала для решетчатого кодирования

9.10.2. Кодирование ТСМ

9.10.2.1. Разбиение Унгербоека

Пусть приемник использует мягкую схему принятия решений, так что подходящей будет евклидова метрика расстояния. Для максимизации просвета (измеряемого по Евк­лиду) Унгербоек [31] предложил отображение кода в сигнал, следующее из последова­
тельного разбиения множества модулирующих сигналов на подмножества с возрастаю­щими минимальными расстояниями do< d_x< d₂... между элементами подмножеств. Эта идея продемонстрирована на рис. 9.22 для сигнального множества 8-PSK. На рис. 9.22 исходное множество сигнала обозначено через А₀, а отдельные сигналы последовательно пронумерованы от 0 до 7. Если средняя мощность сигнала (квадрат амплитуды) выбрана равной единице, то расстояние d₀ между любыми двумя соседними сигналами, очевид­но, равно 2 sin (я/8) = 0,765. На первом уровне разбиения получаются подмножества В₀ и В\, где расстояние между соседними сигналами равно d_x = л/2. На следующем уровне образуются подмножества с С₀ по С₃, где расстояние между соседними сигналами равно уже d₂ = 2. Структуру простых кодов (до восьми состояний) можно определить эвристи­чески. В первую очередь выбирается подходящая решетчатая структура, что можно сде­лать, не задумываясь о конкретном кодере. ТСМ относится к классу методов кодирова­ния формой сигнала, поскольку для описания этой концепции требуется только подхо­дящая решетка и набор модулирующих сигналов; даже не нужно вводить понятие битов. Сигналы из расширенного множества М'= 2* ^{+ 1} сигналов присваиваются переходам в решетке таким образом, чтобы максимизировать просвет (напомним, используется евк­лидово расстояние). При рассмотрении сверточных кодов в главе 7, переходы в решетке кодера (отражающие поведение цепи кодирования) помечались кодовыми битами. Для схемы ТСМ переходы в решетке помечаются модулирующими сигналами. Некодиро- ванный набор сигналов 4-PSK будет служить эталоном для кодированного набора 8-PSK. Этот эталонный набор, как показано на рис. 9.23, имеет тривиальную решетча­тую диаграмму с одним состоянием и четырьмя параллельными переходами. Эта решет­ка тривиальна, поскольку решетка с одним состоянием означает, что в системе отсутст­вует память. Нет никаких ограничений или препятствий, чтобы в течение любого про­межутка времени могли быть переданы сигналы 4-PSK; поэтому для такого некодированного случая оптимальный детектор просто независимо принимает ближай­шие решения для каждого полученного зашумленного сигнала 4-PSK.

9.10.2.2. Отображение сигналов на переходы решетки

Унгербоек разработал эвристический набор правил [31] назначения сигналам соот­ветствующих ветвей переходов решетки для получения эффективности кодирования, который позволяет сделать адекватный выбор состояний решетки. Правила построе­ния решетки и разбиения множества сигнала (для модуляции 8-PSK) можно кратко изложить следующим образом.

1. Если за один интервал модуляции кодируется к бит, решетка должна разрешать для каждого состояния 2* возможных перехода в последующее состояние.

2. Между парой состояний может существовать более одного перехода.

3. Все сигналы должны появляться с равной частотой и обладать высокой регуляр­ностью и симметрией.

4. Переходы с одинаковым исходным состоянием присваиваются сигналам либо из подмножества В₀, либо В\ — их смешение недопустимо.

5. Переходы с одинаковым конечным состоянием присваиваются сигналам либо из

¹ подмножества В₀, либо В_{ — их смешение недопустимо.

6. Параллельные переходы присваиваются сигналам либо из подмножества С₀, либо С_ь либо С_г, либо С₃ — их смешение недопустимо.

еО 1П Рапютиотпа |/ппмплв>зииа CkQQ

г

Рис. 9.22. Разбиение Унгербоека набора сигналов 8-PSK

Сигнальное пространство

Номер сигнала

Рис. 9.23. Некодированное множество сигналов 4-PSK и его решетчатая диаграмма с одним состоянием

Правила гарантируют, что код, построенный таким образом, будет иметь регулярную структуру и просвет, всегда превышающий минимальное расстояние между точками сиг­нала исходной некодированной модуляции. На рис. 9.24 показано возможное отображение кода в сигнал с использованием решетки с четырьмя состояниями с параллельными путя­ми. Присвоение сигналу кода производится посредством изучения разбитого пространства сигналов (рис. 9.22), решетчатой диаграммы, показанной на рис. 9.24, и правил, перечис­ленных выше. На переходах решетки написаны номера сигналов, присвоенных этим пере­ходам согласно правилам разбиения. Отметим, что для модуляции 8-PSK присвоение сиг­нала осуществлялось согласно правилу!: имеется £+1=3 кодовых бита, следовательно

Г пета Q Игмитппммппи.! ппм Mnnnnk'jnnauMM Mnnv/nai imm м к’ппмпппянмв

к=2 информационных бита, а на входе и выходе каждого состояния имеется 2²=4 перехо­да. Присвоение сигналов осуществлялось согласно правилу 6, поскольку каждой паре па­раллельных переходов был присвоен сигнал одного из наборов С₀, С_ь С₂ или С₃. Кроме того, присвоение согласуется с правилами 4 и 5, поскольку четырем ветвям, выходящим в состояние (или покидающим состояние), были присвоены сигналы из набора В₀ или В\. На рис. 9.24 состояния решетки различаются согласно типам сигналов, которые могут появиться на переходах, покидающих это состояние. Таким образом, состояния можно обозначить с помощью подмножеств сигнала как состояние С₀С, или С₂С₃ либо (другой возможный способ обозначения с помощью номеров сигнала) как состояние 0426, 1537 и т.д. На рис. 9.24 показаны обе системы обозначений. Из этого присвоения модулирующих сигналов переходам в решетке согласно правилам разбиения следует спецификация ре­шетчатого кодера. Отметим, что окончательное присвоение битов кода сигналу (отображение кодового слова в переход) можно теперь выполнить произвольно. Хотя мо­жет показаться несколько странным, что теперь можно безнаказанно присваивать биты переходам в решетке и сигналам, стоит напомнить, что схемы кодера еще не существует. Следовательно, еще нет битов и переходы в решетке могут иметь только тот смысл, кото­рый для них выберем мы. Каковы же последствия такого произвольного присвоения? Выбор различных отображений кодовых слов в переходы отразится на структуре кодера. Следова­тельно, если повезет, будет реализована схема кодера, выходные биты которого будут соот­ветствовать способу, которым осуществлялось их присваивание переходам между состоя­ниями. В противном случае такое конструктивное решение реализовать будет сложно. При некотором выборе способа присвоения кодовых слов конструкция кодера будет проще, в то время как другой выбор может обусловить громоздкость его конструкции.

Состояние
Со	с,
Сг	Сз
1 5
с,	Со
Сз	с2
	1 5

Решетка, аналогичная показанной на рис. 9.24, вскоре будет исследована в контек­сте детектирования и декодирования, чтобы проверить, обеспечивается ли эффектив­ность кодирования при учете в процессе кодирования правил Унгербоека.

9.10.3. Декодирование ТСМ

9.10.3.1. Ошибочное событие и просвет

Задача сверточного декодера заключается в определении пути, пройденного сообщени­ем в кодирующей решетке. Если все входные последовательности сообщений равноверо­ятны, декодером с минимальной вероятностью появления ошибки будет декодер, сравни­вающий условные вероятности P(Z|U^<m)) (где Z — полученная последовательность сигналов,
a l/^m) — одна из возможных переданных последовательностей сигналов) и выбирающий максимальную. Этот критерий принятия решений, известный как критерий максимального

правдоподобия, описан в разделе 7.3.1. Нахождение последовательности U^{Ы), которая мак-

симизирует Р(7\\У^т)), эквивалентно нахождению последовательности Ц^, которая наиболее похожа на Z. Поскольку декодер, работающий по принципу максимального правдоподо­бия, выберет такой путь по решетке, которому будет соответствовать последовательность U^, находящаяся на минимальном расстоянии от полученной последовательности Z, за­дача определения максимального правдоподобия будет идентична задаче нахождения са­мого короткого расстояния по решетчатой диаграмме.

Поскольку сверточный код — это групповой (или линейный) код, набор расстояний, которые нужно проверить, не зависит от того, какая последовательность выбрана в качест­ве проверочной. Вследствие этого, не теряя общности, в качестве проверочной можно вы­брать последовательность, целиком состоящую из нулей, показанную на рис. 9.25 пунк­тирной линией. В предположении, что была передана нулевая последовательность, оши­бочное событие определяется как отклонение от нулевого пути с последующим возвратом на этот путь. Ошибочные события начинаются и заканчиваются состоянием а и не воз­вращаются в это состояние нигде в промежуточной области. На рис. 9.25 показано оши­бочное сообщение в решетчатом коде, т.е. на рисунке изображена переданная нулевая по­следовательность, помеченная как U=..., U_u U₂, f/₃,..., и альтернативная последователь­ность, помеченная как V =..., V_h V₂, V₃,.... Видно, что альтернативная последовательность сначала отклоняется, а затем снова сливается с переданной последовательностью. Если предположить, что осуществляется мягкое декодирование, сообщение принимается оши­бочно тогда, когда полученные символы ближе (евклидово расстояние) к некоторой воз­можной последовательности V, чем к реальной переданной последовательности U. Из этого следует, что коды для сигналов многоуровневой/фазовой модуляции должны стро­иться таким образом, чтобы достигать максимального евклидова просвета; чем больше просвет, тем меньше вероятность ошибки. Следовательно, присвоение сигналов переходам решетки в кодере таким образом, чтобы максимизировать евклидов просвет (см. раз­дел 9.10.2), — это ключ к оптимизации решетчатых кодов.

9.10.3.2. Эффективность кодирования

Рассмотрим мягкую схему принятия решений, декодирование по принципу мак­симального правдоподобия, единичную среднюю мощность сигнала и гауссово рас­пределение шума с дисперсией о² на размерность. В этом случае нижний предел ве­роятности ошибочного события можно выразить через просвет^[32].

(9.55)

где £?(•) — гауссов интеграл ошибок, определенный в формуле (3.43). Использование термина “ошибочное событие” (error event) вместо “битовая ошибка” (bit-error) объ­ясняется тем, что ошибка может распространяться на более чем один бит. При боль­шом значении отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) предел в уравне­нии (9.55) асимптотически точен. Асимптотическая эффективность кодирования G в децибелах относительно некоторой некодированной эталонной системы с аналогич­ными средней мощностью сигнала и дисперсией шума выражается как отношение расстояний или квадратов расстояний и записывается в следующем виде:,

b= to •

c = 01 •

d= 11 •

Условные обозначения

Ошибка происходит, если принятый символ ближе к V, чем к U

Рис. 9.25. Пример ошибочного события

или С(дБ) = 10 х lg —j

d-r

где d/Vid^— евклидов просвет кодированной системы и некодированной эталонной системы. Отметим, что для больших значений SNR и данной вероятности появления ошибки формула (9.56) дает те же результаты, что и выражение для эффективности кодирования (6.19), повторно приведенное ниже.

(9.57)

Здесь (E_b/N₀)_u и (£j/JV₀)_t являются требуемыми ErfN₀ (в децибелах) для некодированной и кодированной систем. Следует помнить, что эффективность кодирования, выра­женная в виде (9.56), дает ту же информацию (при больших значениях SNR), что и более привычное выражение для повышения достоверности передачи (9.57). По сути, формула (9.56) резюмирует основную задачу кода ТСМ. Эта задача — добиться про­света, превышающего минимальное расстояние между некодированными модули­рующими сигналами (при той же скорости передачи информации, ширине полосы частот и мощности).

9.10.3.3. Эффективность кодирования для схемы 8-PSK при использовании

решетки с четырьмя состояниями

Вычислим теперь эффективность кодирования для решетки с четырьмя состоя­ниями в схеме 8-PSK, разработанной согласно правилам кодирования из разде­ла 9.10.2.2. Решетка на рис. 9.24 теперь будет исследоваться в контексте процедуры Декодирования. Сначала в качестве настроечной выбирается нулевая последователь­ность. Иными словами, предполагается, что передатчик отправил последовательность, содержащую только копии сигнала номер 0. Чтобы продемонстрировать преимущест­ва такой системы ТСМ (используя алгоритм декодирования Витерби), нужно пока-

зать, что самый простой способ совершения ошибки в кодированной системе сложнее самого простого способа совершения ошибки в некодированной системе. Необходимо изучить всевозможные отклонения от верного пути с последующим слиянием с вер­ным путем (нулевой последовательностью) и найти тот, который имеет минимальное евк­лидово расстояние до правильного пути. Рассмотрим сначала возможный путь ошибочного события (рис. 9.24), который затемнен и помечен номерами сигнала 2, 1,2. Квадрат рас­стояния до нулевого пути вычисляется как сумма квадратов отдельных расстояний между сигналами 2 и 0; 1 и 0; и 2 и 0. Отдельные расстояния берутся из диаграммы разбиения на рис. 9.22, в результате чего получаем следующее:

d² = d\+dl+d\=2 + 0,585 + 2 = 4,585

(9.58)

В уравнении (9.58) евклидово расстояние d получается точно так же, как и результи­рующий вектор в евклидовом пространстве, т.е. как квадратный корень из суммы квад­ратов отдельных компонентов (расстояний). На рис. 9.24 есть путь с отклонением и по­вторным слиянием, который имеет евклидово расстояние, меньшее d = 2,2. Это затенен­ное ошибочное событие (помеченное как сигнал 4) происходит, если (при использовании декодирования Витерби) вместо правильного пути, связанного с сигна­лом 0, выживает параллельный. Может возникнуть вопрос: если декодер выбирает па­раллельный путь (т.е. последующее состояние одинаково в обоих случаях), будет ли это в действительности серьезной ошибкой. Если параллельный путь — это неправильно выбранный путь (это все-таки путь с отклонением и повторным слиянием, даже если он занимает только один промежуток времени), то позже, когда будут введены схемы коде­ров и биты, выживший сигнал 4 даст в результате неверное значение бита. Расстояние от пути сигнала 4 до пути сигнала 0 равно, как видно из рис. 9.22, d = 2. Это расстояние меньше, чем расстояние для любого другого ошибочного события (можете проверить!); поэтому евклидов просвет для этой кодированной системы равен d_f= 2. Минимальное евклидово расстояние для набора некодированных эталонных сигналов на рис. 9.23 рав­но d_3T =л/2. Теперь для вычисления асимптотической эффективности кодирования следует воспользоваться уравнением (9.56), что даст следующее:

(9.59)

9.10.4. Другие решетчатые коды

9.10.4.1. Параллельные пути

Если число состояний меньше размера набора кодированных сигналов М\ решет­чатая диаграмма требует параллельных путей. Следовательно, решетка с четырьмя со­стояниями для модуляции 8-PSK требует наличия параллельных путей. Чтобы лучше понять причины этого, обратимся еще раз к первому правилу Унгербоека: если за один интервал модуляции кодируется к бит, решетка должна разрешать для каждого состоя­ния 2* возможных перехода в последующее состояние. Для рассматриваемого случая 8- PSK каждый сигнал представляет к+ 1=3 кодовых бит или к-2 бит данных. Поэтом^
из первого правила следует наличие 2* = 2² = 4 переходов в каждое последующее со­стояние. На первый взгляд решетка с четырьмя состояниями без параллельных путей может удовлетворить такому условию, если реализовать полностью замкнутую ре­шетку (каждое состояние связано со всеми последующими состояниями). Однако попробуйте нарисовать полностью замкнутую решетку с четырьмя состояниями без параллельных путей, удовлетворяя при этом правилам 4 и 5 для системы 8-PSK. Это невозможно! Нарушение правил приведет к результатам, близким к оптимальным. В следующем разделе показана решетка с восемью состояниями для схемы 8-PSK (количество состояний уже не меньше М'), где могут быть соблюдены все правила разбиения без требования наличия параллельных путей.

9.10.4.2. Решетка с восемью состояниями

После экспериментирования с использованием различных структур решетки и присвоением канальных сигналов, в качестве оптимального для восьми состояний был выбран код 8-PSK, показанный на рис. 9.26 [31]. Путь ошибочного события с минимальным расстоянием до нулевого пути помечен номерами сигналов 6, 7, 6. По­скольку здесь отсутствуют параллельные пути, ограничивающие евклидов просвет,

квадрат этого просвета равен dj = df + d% + df = 4,585, где расстояния d₀ и d\ получены

из рис. 9.22. Асимптотическая эффективность кодирования системы ТСМ с восемью состояниями относительно эталонной системы 4-PSK равна следующему:

С(дБ) = 10х lg

эт > декодированная 4-PSK

Подобным образом можно показать, что решетчатая структура с шестнадцатью со­стояниями для кодированного множества 8-PSK дает эффективность кодирования

4,1 дБ, по сравнению с некодированной схемой 4-PSK [31]. Если состояний меньше восьми, дополнительная эффективность кодирования может быть получена путем вве­дения асимметрии в множество модулирующих сигналов [33].

Состояние

0 4 2 6 15 3 7 40 6 2 517 3 26 0 4 37 15 6240 73 5 1

Рис. 9.26. Решетчатая диаграмма с восьмью состояниями для кода 8-PSK

9.10.4.3. Решетчатое кодирование для схемы QAM

Метод разбиения набора сигналов можно применять и к другим типам модуляции. Рассмотрим использование кодированной схемы 16-QAM с тремя информационными
битами на интервал модуляции, где в качестве эталонной системы выбрана некодирован- ная 8-PSK. Для нормированного пространства 16-QAM выберем среднее значение квадра­та амплитуды набора сигналов, равное единице, что дает d₀ = 2/лЯо. На рис. 9.27 по­казано разбиение сигналов 16-QAM на подмножества с возрастающими расстояниями между элементами (d₀ < d\< d₂< d₃). Кодовая система 16-QAM с восемью состояния­ми, полученная путем разбиения набора согласно описанной ранее процедуре, пока­зана на рис. 9.28 [31]. Путь ошибочной комбинации с минимальным расстоянием обозначен как D₆, D₅, D₂. Хотя при использовании схемы ТСМ имеется эффектив­ность кодирования, при декодировании расширенного пространства сигнала сущест­вует потенциальная неопределенность фазы, которая может серьезно ухудшить досто­верность передачи. Вей (Wei) [34] применил концепцию дифференциального кодиро­вания к методам ТСМ; полученные при этом коды не зависят от поворотов элементарных сигналов на углы 90°, 180° и 270°.

Д) = 16-QAM

I I I I- d₀ = 2/ VTO = 0,632

D₀

• 0*0 о • о •

• 0*0 0*0 о • о • • о •

С₀ / \ С_г С, / \ С₃

*0*0

О О О О

• 0*0

Do Н 04 О! М Об о, Н Ds Da Н D₇

• ООО 00*0 ОООО ОООО ООО* 0*00 оооо оооо

ОООО ОООО 0*00 ООО* ОООО ОООО 00*0 «^о о о

00*0 «ООО ОООО ОООО 0*00 ООО* ОООО о\о О, _ IT,

ОООО ОООО ООО* 0*00 ОООО ОООО * О О О О о * О 3 ^— О 2

Рис. 9.27. Разбиение Унгербоека сигналов 16-QAM

d₂ = <2d,

Состояние
Do	d4	d2	De
D,	Ds	D3	d7
d4	Do	De	d2
Ds	D,	d7	Ds
	D6	Do	d4
D3	Dy	D,	Ds
De	d2	d4	Do
Dr	D3	Ds	D,

Вкратце можно сказать, что решетчатое кодирование в каналах с ограниченной! полосой включает больший алфавит сигналов (т.е. М-арные схемы РАМ, PSK или^: QAM) для компенсации избыточности, которая вводится при кодировании; таким об-¹
разом, ширина полосы частот канала не возрастает. Даже если увеличение размера набора сигналов уменьшает минимальное расстояние между сигналами, евклидов про­свет между разрешенными кодовыми последовательностями превышает величину, необ­ходимую для компенсации этого уменьшения. В результате полная эффективность ко­дирования равна от 3 до 6 дБ без какого-либо расширения полосы частот [6, 31]. В сле­дующем разделе эти идеи будут дополнительно проиллюстрированы на примере.

9.10.5. Пример решетчатого кодирования

В предыдущем разделе обсуждалось отображение сигналов в переходы решетки безотноси­тельно к конечному отображению канальных символов (кодовых битов или кодовых слов) в переходы решетки. В этом разделе пример решетчатого кодирования начнется с рассмот­рения точного определения структуры кодера. Структура кодера автоматически определяет решетчатую диаграмму и присвоение кодовых слов переходам решетки. Следовательно, в этом примере, если сигналы присвоены переходам решетки (а значит, подразумевающим­ся кодовым словам), уже нет возможности произвольно присваивать кодовые слова сигна­лам, как это делалось ранее при отсутствии схемы кодера.

Рассмотрим кодер, использующий сверточный код со степенью кодирования 2/3 для передачи двух бит информации за один интервал модуляции. Пример подобного кодера показан на рис. 9.29. Степень кодирования 2/3 достигается путем передачи без изменения одного бита из каждой пары битов исходной последовательности и коди­рования второго бита двумя кодовыми битами (выполняется кодером со степенью ко­дирования 1/2 и длиной кодового ограничения К= 3). Как показано на рисунке, биты из входной последовательности попадают в сдвиговый регистр только через один (т₂, /и₄,...). Может возникнуть вопрос: насколько может быть хорошей такая система, если пре­имущества, определяемые избыточностью, получают только 50% бит. Напомним при­мер с волшебником, который определял, что некоторые биты довольно уязвимы и по­этому они присваивались модулирующим сигналам с наилучшими пространственны­ми характеристиками, в то время как другие считались устойчивыми и присваивались сигналам с худшими пространственными характеристиками. Модуляция и кодирова­ние происходят одновременно; якобы “некодированные” не будут забыты, они выиг­рают от присвоения наилучших сигналов. Следует подчеркнуть, что кодирование и декодирование в схеме ТСМ происходит преимущественно на сигнальном уровне (в нашем первом описании ТСМ о каком-либо кодере не упоминалось), тогда как в тра­диционном коде с исправлением ошибок кодирование и декодирование происходит только на битовом уровне.

Решетчатая диаграмма на рис. 9.30 описывает схему кодера с рис. 9.29. Как и в главе 7, названия состояний соответствуют содержимому крайних правых К- 1=2 разрядов регистра сдвига. Параллельные переходы на решетке (рис. 9.30) обусловлены некодированными битами; некодированный бит представляется крайним левым би­том каждого перехода решетки. В каждом состоянии начинается четыре перехода. Для каждого состояния имеется два верхних перехода — от пары входных информацион­ных битов (т\т₂ равны 00 и 10); два нижних перехода проистекают от пары 01 и 11. На рис. 9.30 показана решетчатая структура, подобная показанной на рис. 9.24, за ис­ключением того, что каждый переход на рис. 9.30 обозначен назначенным ему кодо­вым словом. Стоит повторить, что схема кодера определяет, какие кодовые слова по­являются на переходах решетки; разработчик системы только присваивает сигналы переходам. Следовательно, когда уже имеется схема (поведение которой описывается

решеткой), любой сигнал, присвоенный переходу в решетке, автоматически становит­ся носителем кодового слова, которое соответствует этому переходу.

Первый

информационный

бит

Второй информационный бит

т, о-

-о (Si Первый кодированный бит

Рис. 9.29. Сверточный кодер со степенью кодирования 2/3

согласно правилам разбиения Унгербоека (рис. 9.32). Изучение этих правил может привести к такому же присвоению номеров сигналов переходам решетки, как пока­зано на рис. 9.24. Подобное присвоение сигналов, а также кодовые слова, присво­енные схемой кодера, показаны на рис. 9.30. Наиболее несопоставимая пара сигна­лов (с расстоянием d₂ = 8) была присвоена наиболее уязвимым (в плане появления ошибок) параллельным переходам. Кроме того, как следует из правил Унгербоека, сигналы со следующим наибольшим расстоянием (di = 4) были присвоены перехо­дам, выходящим или входящим в одно и то же состояние. Для удобства на рис. 9.31, а показано также присвоение кодовых слов сигналам (результат отобра­жения сигналов в переходы решетки).

Набор сигналов в 8-ричной модуляции РАМ 101 111 110 100 7 6 5 4	001 011 010 3 2 1	000 — Кодовое ^и и слово 0 -«— Номер Щ ГМРНЯПЯ
-7 -5 -3 -1	1 3 5	7 -ч— Евклидово
а)		расстояние
Набор сигналов в 4-ричной модуляции РАМ
3 2		0 — Номер 0 гигияпя
-3 -1		3 -*— Евклидово
б)		расстояние
Рис. 9.31. Множества сигналов:	а) кодированная 8-ричная РАМ;
б) некодированная 4-ричная РАМ
А0
7 6 5 4	3 2 10	-*— Номер сигнала
-7 -5 -3 -1	13 5 7	-*— Евклидово
		.. расстояние Оо = 2
У
Во	е,
6 4 2 0	7 5	3 1
-5-13 7	-7 -3	1 5 * Lid, =4
V		\
Со с,	Сг	Оз
4 0 6 2 -- 1------ -- ----- * 1. „Л. _	5 1 7 Л.1»	1.

-1 7 -5 3 -3 5 -7 1 " I—- с1г = 8

100 ООО 111 011 110 010 101 001-*- Представление

кодовым словом

На рис. 9.24 путь ошибочного события, помеченный номерами сигналов 2, 1, 2, — это путь с минимальным расстоянием для нашего примера модуляции 8-РАМ. Расстояние до нулевого пути вычисляется с использованием формулы (9.58). В этом примере, если взять отдельные расстояния с рис. 9.32, d_f вычисляется следующим образом:

Дата добавления: 2015-10-28