Основы теории принятая статистических решений 1051 52 страница

d² =d\+dl + d\ = 16 + 4 + 16 = 36

или (9.61)

df= 6.

Можно легко убедиться, что для такого типа модуляции параллельный путь (с d = 8) не будет ошибочным путем с минимальным расстоянием (как это было для 8-PSK). Далее для нахождения эталонного расстояния для 4-РАМ из рис. 9.31, б нахо­дим, что dyr = 2. Теперь для этого примера можем вычислить асимптотическую эффек­тивность кодирования, сравнивая квадрат евклидова просвета кодированной системы с евклидовым просветом эталонной системы. Однако тут необходимо убедиться в том, что средняя мощность сигналов в каждом наборе одинакова. В предыдущем примере схемы 8-PSK выбор единичной окружности для кодированной и некодированной сис­тем означал, что средняя мощность сигнала была одинакова в обоих наборах. Однако в этом примере ситуация несколько иная. Следовательно, для вычисления асимптоти­ческой эффективности кодирования требуется нормировать следствие неравенства средней мощности набора сигналов, т.е. видоизменить выражение (9.56) [35]. Соот­ветственно записываем

Ч'^ср

GCnB) = 10xlg

где и S ^ — средняя мощность сигналов в кодированном и эталонном наборах. Расстояние соответствует амплитуде сигнала или напряжению; таким образом, квад­рат расстояния соответствует квадрату напряжения, или мощности. Следовательно, средняя мощность сигнала из множества вычисляется как

d²+d\ +...+d²_M ^scp= ^(9-63)

где d, — евклидово расстояние от центра пространства до /-го сигнала, а М — количе­ство кодовых символов в этом множестве. Для набора сигналов 8-РАМ, показанного на рис. 9.31, а, уравнение (9.63) дает значение 5_ср = 21. Для эталонного набора сигна­лов 4-РАМ, показанного на рис. 9.31, б, уравнение (9.63) дает значение 5^ = 5.

При использовании уравнения (9.62) асимптотическая эффективность кодирова­ния для системы 8-РАМ будет иметь следующий вид:

(36/2 1 4/5

С(дБ) = lOxlg^—_Г7Г-1 = 3,3 (дБ). (9.64)

Увеличивая количество состояний решетки (большая длина кодового ограничения) за счет возрастающей сложности декодирования, можно добиться большей эффектив­ности кодирования. При кодировании сигналов 8-РАМ со степенью кодирования 2/3 решетка с 256 состояниями даст эффективность кодирования, на 5,83 дБ большую от­

носительно набора сигналов 4-РАМ [9]. В этом случае вследствие использования ре­шетчатого кодирования будет иметь место только незначительное увеличение сложно­сти передатчика. Задача декодирования в приемнике становится более сложной, одна­ко использование больших интегральных схем (large scale integrated — LSI, БИС) и сверхскоростных интегральных схем (high-speed integrated circuit — VHSIC, ССИС) делает такой метод кодирования чрезвычайно привлекательным для достижения зна­чительной эффективности кодирования без расширения полосы пропускания.

9.10.6. Многомерное решетчатое кодирование

В разделе 9.9.3 подчеркивалось, что при данной скорости передачи данных передача сигналов в двухмерном пространстве может давать ту же достоверность, что и передача в одномерном пространстве РАМ, но при меньшей средней мощности. Это достигается путем выбора точек сигналов на двухмерной решетке из области с кольцевой, а не пря­моугольной границей. Выполняя подобное при более высоких размерностях, можем ви­деть, что потенциальная экономия энергии приближается к 1,53 дБ при N, стремящемся к бесконечности. В реальных системах при такой многомерной передаче сигналов мож­но достичь экономии энергии (эффективность исправления) порядка 1 дБ относительно одномерной передачи [21, 36, 37]. В стандарте высокоскоростных модемов V.34 опреде­лена 16-мерная модуляция QAM; используемый метод отображения битов в точки про­странства высшей размерности называется отображением оболочки (shell mapping); соот­ветствующая эффективность исправления равна 0,8 дБ [16]. Используя четырех-, вось­ми- и шестнадцатимерное множество сигналов, можно получить некоторые преимущества по сравнению с обычными двухмерными схемами — меньшие двухмер­ные блоки множества, повышение устойчивости к неопределенности фазы, более вы­годные компромиссы между эффективностью кодирования и сложностью реализации. Множество подобных систем представлено и охарактеризовано в работе [36]. (Читателям, заинтересованным в дальнейшем изучении кодовой модуляции, в частности решетчатого кодирования, рекомендуется обратиться к работам [38-46].)

9.11. Резюме

В этой главе объединены некоторые вопросы модуляции и кодирования, рассмотрен­ные в предыдущих главах. Здесь пересмотрены основные задачи разработки системы: получение максимальной скорости передачи информации при одновременном сниже­нии вероятности возникновения ошибки и значения EJN₀, сужении полосы пропус­кания и уменьшении сложности. Компромиссы были изучены эвристически в двух плоскостях: вероятность появления ошибки и эффективность использования полосы частот. Первая явно иллюстрирует компромисс между EJNq и Р_в, плюс неявно ото­бражает расход полосы пропускания. На второй показан компромисс между RIW и Et/N₀ при неявном изображении поведения Р_в. Кроме того, в этой главе описаны ти­пичные шаги, которые предпринимаются при удовлетворении требований к полосе пропускания, мощности и вероятности появления ошибок в системе цифровой связи. • Здесь также рассматриваются некоторые ограничения, которые делают невозможным неограниченное повышение производительности. Согласно критерию Найквиста, по­лосу пропускания нельзя сужать бесконечно. Существует теоретический предел; для передачи R_s символов/с без межсимвольной интерференции нужно задействовать, как минимум, RJ2 Гц полосы пропускания. Теорема Шеннона-Хартли связана с компро­миссом между мощностью и полосой пропускания, а также определяет другое важное ограничение — предел Шеннона. Предел Шеннона, равный -1,6 дБ, — это мини­мальное теоретически возможное значение EJNq, которое (совместно с канальным ко­дированием) необходимо для получения сколь угодно низкой вероятности возникно­вения ошибки в канале AWGN. Более общим ограничением является значение про­пускной способности канала, превышение которой автоматически запрещает безошибочную передачу сигналов. В этой главе также изучены некоторые схемы мо­дуляции с эффективным использованием полосы пропускания, такие как манипуля­ция с минимальным сдвигом (minimum shift keying — MSK), квадратурная амплитуд­ная модуляция (quadrature amplitude modulation — QAM) и решетчатое кодирование. Последний метод позволяет достичь эффективного кодирования без потерь в полосе пропускания.

Литература

1. IEEE Personal Communications. Special Issue on Software Radio, vol. 6, n. 4, August, 1999.

2. Nyquist H. Certain Topic on Telegraph Transmission Theory. Trans. AIEE, vol. 47, April, 1928, pp. 617—644.

3. Shannon С. E. A Mathematical Theory of Communication. BSTJ, vol. 27, 1948, pp. 379—423, 623—657.

4. Shannon С. E. Communication in the Presence of Noise. Proc. IRE, vol. 37, n. 1, January, 1949, pp. 10-21.

5. Bedrosian E. Spectrum Conservation by Efficient Channel Utilization. Rand Corp., Report WN-9275- ARPA, Contract DAHC-15—73—C—0181, Santa Monica, California, October, 1975.

6. Ungerboeck G. Trellis-Coded Modulation with Redundant Signal Sets. Part I and Part II. IEEE Comunications Magazine, vol. 25, February, 1987, pp. 5—21.

7. Hodges M. R. L. The GSM Radio Interface. British Telecom Tech. J., vol. 8, n. 1, January, 1990, pp. 31-43.

8. Anderson J. B. and Sundberg C-E. W. Advances in Constant Envelope Coded Modulation. IEEE Commun., Mag., vol. 29, n. 12, December, 1991, pp. 36—45.

9. Clark G. C. Jr. and Cain J. B. Error Correction Coding for Digital Communications. Plenum Press, New York, 1981.

10. Lindsey W. C. and Simon М. K. Telecommunication Systems Engineering. Prentice-Hall, Englwood Cliffs, NJ, 1973.

11. Sklar B. Defining, Designing, and Evaluating Digital Communication Systems. IEEE Commun. Mag., vol. 31, n. 11, November, 1993, pp. 92—101.

12. Korn I. Digital Communications. Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1985.

13. Viterbi A. J. Principles of Coherent Communications. McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.

14. Lin S. and Costello D. J., Jr. Error Control Coding: Fundamental and Applications. Prentice-Hall, Englwood Cliffs, NJ, 1983.

15. Odenwalder J. P. Error Control Coding Handbook. Linkabit Corporation, San Diego, California, July, 15, 1976.

16. Forney G. D., Jr., et. al. The V.34 High-Speed Modem Standard. IEEE Communications Magazine. December, 1996.

17. Pasupathy S. Minimum Shift Keying: A Spectrally Efficient Modulation. IEEE Commun. Mag., July, 1979, pp. 14-22.

18. Gronemeyer S. A. and McBride A. L. MSK and Offset QPSK Modulation. IEEE Trans. Commun., vol. COM-24, August, 1976, pp. 809-820.

19. Simon М. K. A Generalization of Minimum Shift Keying (MSK) Type Signaling Based Upon Input Data Symbol Pulse Shaping. IEEE Trans. Commun., vol. COM-24, August, 1976, pp. 845—857.

20. Leib H. and Pasupathy S. Inherent Error Control Properties of Minimum Shift Keying. IEEE Communications Mag., vol. 31, n. 1, January, 1993, pp. 52-61.

21. Forney G. D. Jr. et. al. Efficient Modulation for Bandlimited Channels. IEEE J. Selectd Areas in Commun., vol. SAC-2, n. 5, September, 1984, pp. 632—647.

22. Thomas С. М., Weidner M. Y. and Durrani S. H. Digital Amplitude-Phase Keying with M-ary Alphabets. IEEE Trans. Commun., vol. COM-22, n. 2, February, 1974, pp. 168—180.

23. Lucky R. W. and Hancock J. C. On the Optimum Performance of N-ary Systems Having Two Degrees of Freedom. IRE Trans, on Commun. Sys., vol. CS-10, June, 1962, pp. 185—192.

24. Campopiano C. N. and Glazer B. G. A Coherent Digital Amplitude and Phase Modulation Scheme. IRE Trans, on Commun. Sys., vol. CS-10, June, 1962, pp. 90—95.

25. Cahn C. R. Combined Digital Phase and Amplitude Modulation Communication Systems. IRE Trans, on Commun. Tech., September, 1960.

26. Foschini G. J. and Gitlin R. D. Optimization of Two Dimensional Signal Constellations in the Presence of Gaussian Noise. IEEE Trans. Commun., vol. COM-22, n. 1, January, 1974, pp. 23—38.

27. Welti G. R. and Jhong S. L. Digital Transmission with Coherent Four-Dimensional Modulation. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20, n. 4, July, 1974, pp. 497—502.

28. Gersho A. and Lawrence V. B. Multidimensional Signal Constellations for Voice-band Data Transmission. IEEE J. Selected Areas in Commun., vol. SAC-2, n. 5, September, 1984, pp. 687—702.

29. Zetterberg L. H. and Brandstrom H. Codes for Combined Phase and Amplitude Modulated Signals in a Four-Dimensional Space. IEEE Trans. Commun., vol. COM-25, n. 9, September, 1977, pp. 943—950.

30. Wilon S. G., Sleeper H. A. and Stinath N. K. Four-Dimensional Modulation and Coding: An Alternative to Frequency Reuse. IEEE 1984 Int’l. Commun. Conf., pp. 919—923.

31. Ungerboeck G. Channel Coding with Multilevel/Phase Signals. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT- 28, January, 1982, pp. 55-67.

32. Forney G. D. The Veterbi Algorithm. Proceedings of the IEEE, vol. 61, n. 3, March, 1978, pp. 268—278.

33. Divsalar D., Simon М. K. and Yuen J. H. Trellis Coding with Asymmetric Modulations. IEEE Trans. Commun., vol. COM-35, n. 2, February, 1987.

34. Wei J.-F. Rotationally Invariant Convolutional Channel Coding with Expanded Signal Space — Parts I and II. IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC-2, no. 5, September, 1984, pp. 659—686.

35. Thapar H. K. Real-Time Application of Trellis Coding to Highspeed Voiceband Data Transmission. IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC-2, n. 5, September, 1984, pp. 648—658.

36. Wei J.-F. Trellis-Coded Modulation with Multidimensional Constellations. IEEE Trans. Inforantion Theory, vol. IT-33, n. 4, July, 1987, pp. 483—501.

37. Tretter S. A. An Eight-Dimensional 64-State Trellis code for Transmitting 4 Bits Per 2-D Symbol., IEEE J. on Sel. Areas of Commun., vol. 7, n. 9, December, 1989, pp. 1392—1395.

38. Kato S., Morikura M. and Kubota S. Implementation of Coded Modems. IEEE Communications Magazine, vol. 29, n. 12, December, 1991, pp. 88-97.

39. Special Issue on Coded Modulation. IEEE Communication Magazine, vol. 29, n. 12, December, 1991.

40. Biglieri E., et. al. Introduction to Trellis-Coded Modulation with Applicatin. MacMillan, New York, NY, 1991.

41. Edbauer F. Performance of Interleaved Trellis-Code Differential 8-PSK Modulation over Fading Channels. IEEE J. on Selected Areas in Commun., vol. 7, n. 9, December, 1989, pp. 1340—1346.

42. Rimoldi B. Design of Coded CPFSK Modulation Systems for Bandwidth and Energy Efficiency. IEEE Transactions on Communications, vol. 37, n. 9, September, 1989, pp. 897—905.

43. Viterbi A. J., et. al. A Pragmatic Approach to Trellis-Coded Modulation. IEEE Communications Magazine, vol. 27, n. 7, July, 1989, pp. 11-19.

44. Divsalar D. and Simon М. K. The Design of Trellis Coded MPSK for Fading Channels: Performance Criteria. IEEE Trans, on Comm., vol. 36, n. 9, September, 1988, pp. 1004—1012.

45. Divsalar D. and Simon М. K. The Design of Trellis Coded MPSK for Fading Channels: Set Partitioning for Optimum Code Design. IEEE Trans, on Comm., vol. 36, n. 9, September, 1988, pp. 1013-1021.

46. Divsalar D. and Simon М. K. Multiple Trellis Coded Modulation (MTCM). IEEE Trans, on Commun., vol. 36, n. 4, April, 1988, pp. 410-419.

Задачи

9.1. Рассмотрим телефонный канал связи с полосой пропускания 3 кГц. Пусть данный канал можно смоделировать как канал AWGN.

а) Чему равна пропускная способность такой схемы, если SNR равно 30 дБ?

б) Какое минимальное значение SNR требуется для получения скорости передачи дан­ных 4800 бит/с?

в) Повторить расчеты п. б для скорости передачи информации 19 200 бит/с.

9.2. Рассмотрим передачу по телефонному каналу потока данных со скоростью 100 Кбит/с (при полосе пропускания 3 кГц). Можно ли получить безошибочную передачу при SNR, равном 10 дБ? Ответ обоснуйте. Если это невозможно, предложите модификацию систе­мы, которая бы это позволила.

9.3. Рассмотрим источник, который производит шесть сообщений с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/32. Определите среднее информационное содержание сооб­щения (в битах).

9.4. Данный исходный алфавит состоит из 300 слов, из которых 15 появляются с вероятностью 0,06 каждое, а остальные 285 слов — с вероятностью 0,00035 каждое. Если в секунду пере­дается 1000 слов, то какова средняя скорость передачи информации?

9.5. а) Найдите среднюю пропускную способность (в битах за секунду), которая требуется

для передачи черно-белого телевизионного сигнала высокого разрешения со скоро­стью 32 кадра в секунду, если каждый кадр состоит из 2 х 10⁶ элементов изображения и 16 градаций уровня яркости. Все элементы изображения считаются независимыми, и все уровни яркости появляются с одинаковой вероятностью.

б) Для цветного телевидения в описанной выше системе дополнительно вводится 64 от­тенка цвета. Какая дополнительная пропускная способность потребуется в цветной системе по сравнению с черно-белой?

в) Определите требуемую пропускную способность, если 100 возможных комбинаций цвета и яркости появляются с вероятностью 0,003 каждая, 300 комбинаций — с веро­ятностью 0,001 и 624 комбинации — с вероятностью 0,00064.

9.6. Докажите, что энтропия максимальна, когда все выходы источника имеют равную вероятность.

9.7. Рассчитайте неопределенность или неоднозначность сообщения в битах на знак для текстовой передачи с использованием 7-битового кода ASCII. Считайте, что все зна­ки равновероятны и что вследствие шума в канале вероятность ошибки равна 0,01.

9.8. Предполагается, что линия связи с некогерентной FSK имеет максимальную скорость пе­редачи данных 2,4 Кбит/с без ISI в канале с номинальной полосой пропускания 2,4 кГц. Предложите способы повышения скорости передачи данных при следующих системных ограничениях.

а) Ограничена мощность.

б) Ограничена полоса пропускания.

в) Одновременно ограничены и полоса пропускания, и мощность.

9.9. В табл. 39.1 описаны четыре разные линии связи “спутник/наземный терминал”. Для ка­ждой линии связи потери в пространстве составляют 196 дБ, резерв — 0 дБ, случайные потери отсутствуют. Для каждой линии связи укажите рабочую точку на плоскости эф­фективности использования полосы частот, зависимости RIW от EJNo и охарактеризуйте линию согласно одному из следующих описаний: ограниченная полоса пропускания, строго ограниченная полоса пропускания, ограниченная мощность и строго ограниченная мощность. Ответ обоснуйте.

Таблица 39.1. Пропускная способность линии связи для четырех спутниковых линий связи

Спутник Принимающий терминал Максимальная скорость

передачи данных

Большая стационарная станция, 165 Мбит/с диаметр антенны = 30 м G/T= 40,7 дБ/K

Корабль, 100 Кбит/с

диаметр антенны = 4 фута = 50 МГц G/T= 10 дБ/K

Большая стационарная станция, 72 Мбит/с диаметр антенны = 60 футов G/T= 39 дБ/K

Самолет, 500 бит/с

коэффициент усиления антенны = 0 дБ G/T = -30 дБ/К

9.10. Нужно выбрать модуляцию и код коррекции ошибок для системы связи реального времени, работающей с каналом AWGN при доступной полосе пропускания 2400 Гц. EJNq = 14 дБ. Требуемая скорость передачи информации и вероятность битовой ошибки равны 9600 бит/с и 10'⁵. Выбирать можно из двух типов модуляции — неко­герентные ортогональные 8-FSK или 16-QAM при детектировании с использованием согласованных фильтров. При выборе кода также возможны две альтернативы — код БХЧ (127, 92) или сверточный код со степенью кодирования 1/2, дающие эффектив­ность кодирования 5 дБ при вероятности битовой ошибки 10~⁵. Предполагая идеаль­ную фильтрацию, докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требова­ниям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки.

9.11. В условиях задачи 9.10 полоса пропускания расширена до 40 кГц, а доступное ErfNa сни­жено до 7,3 дБ. Выберите подходящие схемы модуляции и кодирования и докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропуска­ния и вероятности ошибки.

9.12. В условиях задачи 9.10 в канале AWGN теперь возможно исчезновение сигнала, которое длится до 1000 мс. Доступная полоса пропускания равна 3400 Гц, a ErfNa равно 10 дБ. Помимо выбора схем модуляции и кодирования теперь требуется разработать устройство чередования (см. раздел 8.2) для борьбы с проблемой исчезновения сигнала. Возможны две альтернативы — блочное устройство чередования 16 х 32 и сверточное 150 х 300. До­кажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки, и продумайте способ борьбы с более длительными исчезновениями сигнала.

9.13. а) Рассмотрим систему связи реального времени, работающую с каналом AWGN, в

которой применяется модуляция 8-PSK и код Грея. Выберите код коррекции оши­бок, который сможет дать вероятность ошибки в декодированном бите не больше 10~⁷, если принимаемое PJN_a равно 70 дБГц, а скорость передачи информации равна 1 Мбит/с. Выбирать можно из следующих кодов: расширенный код Голея (24, 12), код БХЧ (127, 64) или код БХЧ (127, 36). Передаточные функции этих ко­дов показаны на рис. 6.21. Для облегчения процесса выбора считайте, что Р_в = Ю"⁷, а передаточная функция пересекается с осью абсцисс в таких точках: для кода (24, 12) — в точке 3 х 10~³, для кода (127, 64) — в точке 1,3 х 10~², для кода (127, 36) — в точке 3 х 10~².

б) С помощью внешнего вида передаточной функции кода можно интуитивно предста­вить, какой код является лучшим при установленных технических требованиях. Сов­падает ли ваш конечный выбор с первоначальной гипотезой? Не удивил ли вас ответ на п. а? Объясните полученные результаты в контексте двух механизмов, которые проявляются при использовании кодирования с коррекцией ошибок в системе связи реального времени.

в) Какую эффективность кодирования в децибелах обеспечивает код, выбранный вами в п. а?

9.14. Рассмотрим спутниковую систему связи реального времени, работающую с каналом AWGN (возмущаемую периодическим исчезновением сигнала). Вся линия связи описыва­ется следующими требованиями для мобильного передатчика и спутникового приемника на низкой околоземной орбите.

Скорость передачи данных R = 9600 бит/с Доступная полоса пропускания W = 3000 Гц Энергетический резерв линии связи М = 0 дБ (см. раздел 5.6)

Несущая частота /_с = 1,5 ГГц EIRP = 6 дБ

Расстояние между передатчиком и приемником d = 1000 км Добротность спутникового приемника GIT = 30 дБ[1]

Температура принимающей антенны Т\ = 290К

Потери в линии связи между принимающей антенной и приемником L = 3 дБ Коэффициент шума приемника F = 10 дБ Потери вследствие замирания L_f — 20 дБ Прочие потери L„ = 6 дБ

Нужно так выбрать одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональную MFSK), чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохранялась мощность. Для кодирования с коррекцией ошибок выбирается один из кодов БХЧ (127, к), представленных в табл. 9.2, обеспечивающий наибольшую избыточность и при этом удовлетворяющий ограничениям на полосу пропускания. Рас- > считайте вероятность появления ошибки в декодированном бите. Какая эффективность кодирования (если таковая имеется) соответствует предложенному выбору. Подсказка: па-

* раметры стоит вычислять в следующем порядке: EJNo, EJN₀, Р^М), р_с, Р_в. При исполь­зовании уравнения (9.41) для расчета декодированной вероятности появления битовой ошибки низкое значение Еь/No вынуждает учитывать большое количество слагаемых в сумме. Следовательно, очень кстати будет помощь компьютера.

9.15. Требуется, чтобы система связи реального времени поддерживала скорость передачи дан­ных 9600 бит/с при вероятности появления битовой ошибки, не превышающей 10'⁵ с по­лосой пропускания 2700 Гц. PJN₀ до детектирования составляет 54,8 дБГц. Выберите одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональ­ную MFSK) так, чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохраня­лась мощность. Если необходимо применить кодирование с коррекцией ошибок, выби­райте самый простой (самый короткий) код из представленных в табл. 9.3, обеспечиваю­щий требуемую достоверность передачи без превышения необходимой полосы пропускания. Докажите, что ваш выбор удовлетворяет системным требованиям.

9.16. а) При фиксированной вероятности появления ошибок покажите, что связь между размером

алфавита М и требуемой средней мощностью для MPSK и QAM можно представить еле дующим образом:

средняя мощность MPSK ЗЛ/² средняя мощность QAM 2(М - 1)я²

б) Обсудите преимущества одного типа передачи сигналов перед другим.

9.17. Рассмотрим телефонный модем, работающий со скоростью 28,8 Кбит/с и использующий решетчатое кодирование QAM.

а) Рассчитайте эффективность использования полосы частот, считая, что полоса пропус­кания канала равна 3429 Гц.

б) Предполагая, что E_tJN₀ = 10 дБ и в канале присутствует шум AWGN, рассчитайте теоретическую доступную пропускную способность в полосе частот 3429 Гц.

в) Какое значение E_tJN₀ необходимо для получения в полосе 3429 Гц скорости передачи 28,8 Кбит/с?

9.18. На рис. 9.17 показано несколько множеств 16-ричных символов.

а) Для кольцевого множества (5, 11) рассчитайте минимальные радиальные расстояния г, и г₂, если минимальное расстояние между символами должно быть 1.

б) Рассчитайте среднюю мощность сигнала для кольцевого множества (5, 11) и сравните ее со средней мощностью квадратного множества 4x4 (М= 16) (при том же мини­мальном расстоянии между символами).

в) Почему квадратный набор может оказаться более практичным?

9.19. Рассмотрим систему решетчатого кодирования со степенью 2/3 из раздела 9.10.5, которая используется в двоичном симметричном канале (binary symmetric channel — BSC) Исход­ное состояние кодера предполагается равным 00. На выходе BSC принимается последова­тельность Z = (l 1 1001 10101 1 остальные все 0).

а) Найдите максимально правдоподобный путь по решетчатой диаграмме и определите пер­вые 6 декодированных информационных битов. Если появляется петля между двумя сли­вающимися путями, выбирайте верхнюю ветвь, входящую в определенное состояние.

б) Определите, были ли изменены в канале какие-либо биты Z, и если это так, опреде­лите, какие именно.

в) Объясните, как вы решите задачу, если вместо канала BSC дан гауссов канал.

9.20. Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирова­ния (trellis-coded modulation — ТСМ) с 4 состояниями. Степень кодирования 2/3 получа­ется с помощью кодера, конфигурация которого показана на рис. 9.29, где 50% информа­ционных бит поданы на вход сверточного кодера со степенью кодирования 1/2, а остав­шиеся 50% — непосредственно на выход. Кодовая модуляция — 8-РАМ, как показано на верхней части рис. 9 31. Эталонным служит набор сигналов 4-РАМ с амплитудами -16, -1, +1, +16. Не кажется ли вам, что полученный ответ не согласуется с теоремой Шеннона, которая предсказывает предел эффективности кодирования порядка 11—12 дБ? Будет ли кто-либо использовать эталонный набор, который был предложен здесь? Можно заметить, что эффективность кодирования для комбинированной схемы модуляции/кодирования слегка отличается от той, которая имеется в случае одного лишь кодирования Объясните ваши результаты в этом контексте.

9.21. Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирова­ния с 8 состояниями. Кодовая модуляция — 8-PSK, а некодированный эталон — 4-PSK. Решетчатая структура между моментами t_k и t_k+l строится следующим образом: все со­стояния (от верхнего до нижнего) произвольно обозначаются от 1 до 8. Затем состояния 1,

3, 5 и 7 в момент t_k соединяются с состояниями 1—4 в момент f_t+t. Аналогично состояния

2, 4, 6 и 8 в момент t_k соединяются с состояниями 5—8 в момент f_t+i. Нарисуйте три сек­ции (три интервала времени) решетчатой структуры. Сопоставьте ветви и сигналы и Уй­дите кратчайший ошибочный путь.

Вопросы

9.1. Почему связь ширины полосы с эффективностью ее использования одинакова для орто­гональных двоичной и четверичной частотных манипуляций (см. раздел 9.5.1)?

9.2. В схеме модуляции MPSK, эффективность использования полосы частот растет при увели­чении размерности, а в схеме MFSK, наоборот, снижается. Объясните, почему так проис­ходит (см. разделы 9.7.2 и 9.7.3).

9.3. Опишите преобразования скрытой энергии и скоростей при преобразовании информаци­онных битов в канальные биты, затем — в символы и элементарные сигналы (см. раз­дел 9.7.7).

9.4. Резкое увеличение боковых максимумов в спектре MSK на рис. 9.15 показывает, почему схема MSK считается более спектрально эффективной, чем QPSK. Как в таком случае можно объяснить тот факт, что спектр QPSK имеет более узкий основной максимум, чем спектр MSK (см. раздел 9.8.2)?

9.5. В главе 4 было сказано, что двоичная фазовая манипуляция (binary phase shift keying — BPSK) и квадратичная фазовая манипуляция (quaternary phase shift keying — QPSK) имеют одинаковые соотношения для вероятности возникновения битовой ошибки (см. раз­дел 4.8.4). Можно ли утверждать то же самое для М-арной амплитудно-импульсной моду­ляции (М-ary pulse amplitude modulation — М-РАМ) и Л^-арной квадратурной амплитуд­ной модуляции (/V^-QAM), т.е. будут ли эти схемы иметь одинаковую вероятность воз­никновения битовой ошибки (см. раздел 9.8.3.1)?

9.6. Хотя схемы решетчатого кодирования (trellis-coded modulation — ТСМ) не требуют допол­нительной полосы пропускания или мощности, в них все равно присутствует некоторый компромисс. За счет чего достигается эффективное кодирование в ТСМ (см. раздел 9.10)?

9.7. В чем смысл состояния в системе с конечным числом состояний (см. раздел 9.10)?

9.8. Какой избыточности сигнала при применении схемы ТСМ достаточно для получения вы­год кодирования (снижение вероятности появления ошибки или повышение пропускной способности) (см. раздел 9.10.1.1)⁷

9.9. Для схем ТСМ дайте определение понятию асимптотическая эффективность кодирования, и из этого определения объясните, к чему нужно стремиться при построении кода ТСМ (см. раздел 9.10.3.2).

9.10. Когда на решетчатой диаграмме ТСМ нужны параллельные пути для удовлетворения пра­вил разбиения Унгербоека? Чем грозит нарушение этих правил (см. раздел 9.10.4.1)?

ГЛАВА 10

Синхронизация

Морис Эй. Кинг мл. (Maurice A. King, Jr.) The Aerospace Corporation Эль Сегундо, Калифорния

Дата добавления: 2015-10-28