Основы теории принятая статистических решений 1051 54 страница

На практике подавляющее большинство контуров ФАПЧ имеет второй порядок. Это объясняется тем, что контур второго порядка можно спроектировать безусловно устойчивым [5]. Безусловно устойчивые контуры всегда будут пытаться отследить входной сигнал. Никакие входные условия не приведут к тому, что контур будет реа­гировать на изменения входа в ненадлежащем направлении. Контуры второго порядка отследят последствия скачка частоты (доплеровского смещения); кроме того, они от­носительно просто анализируются, поскольку аналитические выражения, полученные для контуров первого порядка, являются хорошей аппроксимацией для контуров вто­рого порядка. Контуры третьего порядка применяются в некоторых специальных об­ластях, например некоторые навигационные приемники систем GPS (Global Position­ing System — глобальная система навигации и определения положения) и некоторые

авиационные приемники. В то же время характеристики таких контуров относительно сложно определить, кроме того, контуры третьего и более высоких порядков являются только условно устойчивыми. Если же вследствие динамики сигнала для когерентной демодуляции потребуются контуры третьего и более высоких порядков, то вместо этого используется некогерентная демодуляция.

10.2.1.2. Производительность при шуме

При анализе стационарного состояния в предыдущем разделе подразумевалось, что входной сигнал не зашумлен. В некоторых случаях это может быть справедливо, но в общем случае анализа связи воздействие шума все же следует учитывать.

Вернемся к нормированному входному сигналу, приведенному в формуле (10.1) и изображенному на рис. 10.1. При включении нормированного узкополосного аддитив­ного гауссового шума n(t) выражение для входного сигнала принимает следующий вид:

r{t) = cos (cot/ + 0) + n(t). (10.18)

Здесь входной сдвиг фазы 0 пока считаем константой. Предполагается, что процесс шума n{t) является узкополосным гауссовым процессом с нулевым средним и его можно разложить по квадратурным составляющим несущей [6].

n(t) = n_c(t) cos со/ + n_s{t) sin С0(/ (10.19)

Здесь n_c(t) и n_s(t) — случайные, независимые между собой, гауссовы процессы с нуле­вым средним. Теперь выход детектора фазы можно записать следующим образом (см. уравнение (10.3)):

e(t) = x(t)r(t) = sin (0 - 0) + п_с(t) cos d + n_s(t) sin 0 + 2(j)

+ (слагаемые с частотой, равной удвоенной несущей частоте).

Как и выше, контурный фильтр отсекает члены с частотой, равной удвоенной несу­щей. Обозначим второй и третий члены уравнения (10.20) следующим образом:

n'(t) = п_с (t) cos 0 + n_s (t) sin 0. (10.21)

Легко доказать, что дисперсия n'(t) равна дисперсии n(t). Далее эта дисперсия обозна­чается как о².

Рассмотрим автокорреляционную функцию от n(t)

R(t_l,t₂) = E{n'(t_l)n’(t₂)} =

= Е{и_с (?i)и_с (r₂) }cos² 0+Е{ n_s (?j)n_s (t₂)} sin² 0 + (10.22)

+ №{л_с (*i К (t₂)} + Е{и_{ (?!)п_с (t₂)}] sin 0 cos 0,

где E{ } обозначает математическое ожидание. Перекрестные произведения в правой части уравнения (10.22) равны нулю, поскольку п_с и n_s взаимно независимы и имеют нулевые средние [6]. Если принять предположения о стационарности процесса в ши­роком смысле [7], получим

R(i) = R_c(t) cos² 0 + R_s(x)sin² 0,

где х = t_x-1₂. Если применить преобразование Фурье к обеим частям уравне­ния (10.21), то спектральную плотность мощности л'(0 можно будет записать в сле­дующем виде:

С(со) =»)] =

= G_c(со) cos² 0 + G,(со) sin² 0. ⁽¹⁰-²⁴⁾

Здесь G_c и G_s — Фурье-образы R_c и R_s. Из уравнения (10.19) видно, что спеюры G_c и G_s составлены из смещенных версий спеюра исходного процесса шума n(t). Таким об­разом, вследствие выбранной структуры [8],

G,(co) = G_c(co) = С„(спо - со) + С„(спо + со),

где G„(co) — спектральная плотность исходного широкополосного процесса шума n(t). Уравнение (10.24) можно переписать следующим образом:

G(co) = G„(cno - со) + G„(cno + со). (10.25)

Для частного случая белого шума имеем G„(co) = NJ2 Вт/Гц, где N₀ — односторонняя спектральная плотность белого шума. Следовательно, из уравнения (10.25) для этого важного частного случая получаем следующее:

G(co) = N₀. (10.26)

Важность полученного результата состоит в том, что для того же приближения малых углов, которое было принято в предыдущем разделе, спектральная плотность фазы ГУН, Gg, связана со спектральной плотностью процесса шума через передаточную

функцию контура (уравнение (10.6)). Иными словами,

С_ё(со) = С(со)|Я(со)|², (10.27)

где G(co) выражено в формуле (10.25), а Н(со) определено в (10.6). Таким образом, дис­персия выходной фазы равна

СКЭ

₀|₌_L jG(co)|tf(co)f<*o. (10.28)

-во

Для частного случая белого шума

о|=-^ J|tf(co)|²Ao. (10.29)

«во

Интеграл в уравнении (10.29) (ненормированный на частоту) называется двусторонней полосой контура W_L. Односторонняя полоса контура обозначается как B_L. Определяются эти величины следующим образом:

оо

Следовательно, если процесс шума является белым и, кроме того, принято приближе­ние малых углов (другими словами, контур успешно отслеживает входную фазу), дис­персия фазы дается следующим выражением:

о\=2 N₀B_l. (10.31)

Дисперсия фазы — это мера неустойчивой синхронизации на выходе генератора, управляемого напряжением, вследствие шума на входе. Уравнения (10.31) и (10.7) описывают один из множества компромиссов в теории связи. Очевидно, что величину

а\ хотелось бы сделать как можно меньше; при данном уровне шума это подразуме-

о

вает меньшую полосу контура B_L, а из уравнения (10.30) следует более узкая функция Н((о). В то же время из уравнения (10.7) можно сделать вывод, чем.уже эффективная полоса #(со), тем хуже способность контура к отслеживанию изменения фазы посту­пающего сигнала 0(со). Следовательно, при проектировании контура должен дости­гаться определенный баланс между параметрами, связанными с шумом, и желаемой реакцией на изменения входной фазы. Перед разработчиком стоит задача: разработать контур, который бы надлежащим образом реагировал на изменения входного сигнала, но при этом не был бы слишком чувствителен к кажущимся изменениям, которые на самом деле являются следствиями процесса шума.

10.2.1.3. Анализ нелинейного контура

Обсуждение контура ФАПЧ, приведенное в предыдущих разделах, основывалось на линеаризованной модели контура ФАПЧ. Схематически эта модель показана на рис. 10.2. В данной модели использовано приближение малых углов.

sin (0 - 0) = 0 - 0 ' (10.32)

nV)   Рис. 10.2. Схема линеаризованной модели контура ФАПЧ

Данное приближение справедливо, когда контур синхронизирован и функционирует желаемым образом (т.е. с небольшими рассогласованиями по фазе). Очевидно, эти ус­ловия формируют только часть общей картины. Полный анализ производительности контура ФАПЧ должен исходить из предположения, что уравнение (10.32) справедли­во не всегда. Когда приближение малых углов становится неточным, подходящей мо­делью является изображенная на рис. 10.3. С помощью формул (10.4), (10.20) и (10.21) и рис. 10.3 модель можно описать следующим дифференциальным уравнением:

4t®W] = ^Kof (О * «п [0(0 - 0(f)] + K₀f(t) * n\t).

at

  Рис. 10.3. Схема нелинейной модели контура ФАПЧ

Здесь, как и ранее, знак * обозначает операцию свертки. Несмотря на значительные усилия исследователей, общее решение данного дифференциального уравнения не удается найти на протяжении многих лет. Впрочем, Витерби (Viterbi) [8] вывел анали­тическое решение для одного важного частного случая.

Рассмотрим следующий случай. Пусть входная фаза 0(0, которая, вообще-то, является функцией времени, равна константе 0. Определим теперь новую фазовую переменную

ф(г) = [0 — 0(/)] по модулю 2л. (10.34)

Поскольку 0 — это константа, уравнение (10.33) можно переписать следующим образом:

4-[ф(г)] = K₀f(t) * sin ф(0 + K₀f(t) * л'(f). (10.35)

at

Поскольку из уравнения (10.35) ф(/) является функцией случайного процесса л'(f), са­ма ф(г) также есть случайным процессом. Так как фаза ф(/) определена по модулю 2л, можно показать [5], что ф(/) стационарна в пределе, по завершении всех переходных процессов (т.е. 0 — константа). Витерби [8] определил, что для контура ФАПЧ пер­вого порядка (т.е. контурный фильтр — это просто цепь короткого замыкания, или, что эквивалентно, /(г) = 6(/)) функция плотности вероятности ф имеет следующий вид:

р(Ф) = ^ехР (Р ^cos Ф?- для I ф| < л. (10.36)

2л/₀(р)

Здесь р=1/о| (см. уравнение (10.31)) — нормированное (на энергию единичного

сигнала) отношение сигнал/шум контура, а /₀(р) — модифицированная функция Бес­селя первого рода нулевого порядка, взятая в точке р. Дисперсию фазы по модулю 2л теперь можно вычислить с использованием уравнения (10.36). Полученное значение дисперсии фазы будет точным для контуров первого порядка и весьма хорошим при­ближением для многих контуров второго порядка [5]. В работе [9] было показано, что это выражение также справедливо для контуров высоких порядков при несколько ви­доизмененном определении р.

Замена переменной с фазы, которая может принимать любое действительное зна­чение, на фазу по модулю 2л приводит к необходимости введения понятия проскаль­зывания цикла контура. Проскальзывание цикла происходит, когда величина исход­ного рассогласования по фазе |0 - 0(/)| превышает 2л радиан. Это приводит к внезап­ному изменению значения ф (уравнение (10.34)) с 2л на 0. Данное явление можно рассматривать как мгновенную потерю синхронизации с практически немедленным

ее восстановлением. Статистика проскальзываний цикла может быть таким же важ­ным показателем производительности контура ФАПЧ, как и дисперсия фазы — осо­бенно при низких отношениях сигнал/шум в контуре, когда проскальзывание цикла может происходить довольно часто.

Витерби, используя выражения, полученные для распределения фаз, вывел [8] вы­ражения для среднего времени до первого проскальзывания цикла Т_т, отсчитываемого от некоторого произвольного эталонного времени.

^Гт = ^П2~Р~ (10.37)

zn_L

При больших р это выражение можно приближенно записать следующим образом;

_<10.₃₈₎

^4ilL

Как и для функции плотности вероятности в уравнении (10.36), полученные результаты выведены для контуров первого порядка, но они являются полезной аппроксимацией для контуров второго порядка и описывают верхнюю границу производительности циклов второго порядка при средних и больших отношениях сигнал/шум в контуре. Кроме того, компьютерное моделирование и лабораторные измерения [5] показывают, что время Т ме­жду проскальзываниями цикла имеет экспоненциальное распределение.

Р(Т) = 1 - ехр (10.39)

Иными словами, вероятность того, что в течение промежутка времени Т при нулевом текущем рассогласовании по фазе произойдет проскальзывание цикла, описывается выражением (10.39).

10.2.1.4. Схемы подавления несущей

До настоящего момента при обсуждении контуров ФАПЧ предполагалось, что входная несущая — это достаточно устойчивая синусоида с некоторой известной средней положительной энергией. В системе связи с фазовой модуляцией несущая частота будет переносить положительную энергию, если дисперсия фазы несущей, вследствие модуляции, меньше л/2 радиан. В этом случае говорят, что в системе име­ется остаточная составляющая несущей. Все обсуждение разработки контуров ФАПЧ, приведенное выше, применимо непосредственно к этой остаточной составляющей. Диаграмма сигнального пространства для системы бинарной фазовой модуляции с ос­таточной составляющей несущей показана на рис. 10.4 для угла модуляции у < к/2. Одно время подобным образом разрабатывалось большинство систем с фазовой моду­ляцией. В то же время остаточная составляющая несущей является в некотором смыс­ле бесполезно растрачиваемой энергией — энергия на остаточной несущей использу­ется не для передачи информации, а только для передачи самой несущей. Поэтому большинство современных систем фазовой модуляции являются системами с подав­лением несущей. Это означает, что на несущей частоте не имеется никакой средней передаваемой энергии. Вся передаваемая энергия уходит на модуляцию. К сожале­нию, это означает, что не существует сигнала, составляющего основу для отслежива­ния с помощью простого контура ФАПЧ, показанного на рис. 10.1.

Остаточный компонент несущей

Сигнал "О”

Сигнал ”1”

Компонент сигнала для"О"

Компонент сигнала для"Г

Рис. 10.4. Бинарная фазовая модуляция с остаточной несущей Рассмотрим в качестве примера сигнал с модуляцией BPSK

tit) = m(t) sin (city + 0) + n(t),

где m(t) с равной вероятностью равен ±1. Данный пример — это передача с подавле­нием несущей; средняя энергия на угловой частоте соо равна нулю. Графически это представлено на рис. 10.4, где у = к/2. Из рисунка видно, что в данном случае верти­кальный компонент несущей исчезает. Для отслеживания и синхронизации фазы не­сущей последствия модуляции необходимо устранить. Это можно сделать путем воз­ведения сигнала в квадрат.

r*(t) = m²(t) sin²(Cty + 0) + n²{t) + 2n(t)m(t) sin (City + 0) =

= 1/2 - 1/2 cos (2 City + 20) + n\t) + 2n(t)m(t) sin (city + 0)

Выше использовано m²(t) = 1. Второй член в правой части уравнения (10.41) зависит от несущей (от удвоенной частоты несущей) и может быть отслежен с помощью про­стого контура ФАПЧ, показанного на рис. 10.1. Соответствующая схема показана на рис. 10.5. При возведении входного сигнала с подавленной несущей в квадрат полу­чаемый компонент, зависящий от удвоенной несущей, можно выделить и отследить с помощью стандартного контура ФАПЧ. Изучение уравнения (10.41) позволяет пред­сказать некоторые потенциальные проблемы такой схемы. Одна из них — это просто удвоение всех фазовых углов. Следовательно, фазовый шум и случайное смещение фазы также удваиваются, и дисперсия фазовой ошибки (связанная с возведенным в квадрат фазовым шумом) в 4 раза больше по сравнению с исходным сигналом. Этот удваивающийся угол нейтрализуется схемой деления на 2 на выходе ГУН и, следова­тельно, не влияет непосредственно на точность выходного сигнала контура, исполь­зуемого для демодуляции данных. В то же время эта большая внутренняя дисперсия приведет к тому, что контур ФАПЧ потребует для поддержания фазовой синхрониза­ции на 6 дБ большего отношения сигнал/шум, чем система с остаточной несущей. Кроме того, вследствие взаимной корреляции между шумом и сигналом в уравне­нии (10.41) теперь существует два эффективных члена шума, который мешает работе контура. Для сред или контуров с низким отношением сигнал/шум данные два члена шума еще больше снизят номинальное отношение сигнал/шум по сравнению с ис­ходным немодулированным сигналом. Эти дополнительные потери, обусловленные произведениями сигнал-шум и шум-шум, называются потерями вследствие возведения в квадрат и обозначаются S_L. Гарднер (Gardner) [5] показал, что если входной процесс шума я(г) является узкополосным гауссовым шумом с шириной полосы В„ то потери вследствие возведения в квадрат ограничены сверху следующей величиной:

< • >² —^F(“>

x(f)

Генератор, y(t) управляемый -*— напряжением

-2

К демодулятору/детектору

информации

Рис. 10.5. Схема контура возведения в квадрат

Si < 1 + NqB,.

Здесь, как и выше, N₀ — односторонняя спектральная плотность мощности предвари­тельно фильтрованного нормированного процесса белого гауссового шума. Уравне­ние (10.42) представляет собой верхнюю границу, поскольку подразумевается, что ширина полосы фильтра В, достаточно велика для неискаженной передачи сигнала. В реальных системах (как показано в [10]) потери вследствие возведения в квадрат можно устранить за счет некоторого искажения сигнала.

Поскольку нормирование в уравнении (10.42) выполняется относительно мощно­сти сигнала, второе слагаемое пропорционально отношению сигнал/шум.

Здесь р, — отношение сигнал/шум на входе фильтра. Для больших отношений сиг­нал/шум в контуре выходную дисперсию фазы можно записать следующим образом:

(10.44)

Видим, что главный член в правой части уравнения (10.44) идентичен главному члену в уравнении (10.31), дисперсии фазы стандартного контура ФАПЧ. Кроме того, для больших входных отношений сигнал/шум второй член в выражении для потерь вслед­ствие возведения в квадрат исчезает и остается только дисперсия фазы стандартного контура ФАПЧ.

Еще одна потенциальная серьезная проблема, связанная преимущественно с конту­рами подавления несущей, — это ложная синхронизация, которая может затруднить син­хронизацию и восстановление синхронизации фазы несущей. Взаимодействие инфор­мационного потока с нелинейностями контура (особенно схемы возведения в квадрат) и контурными фильтрами будет порождать боковые полосы в спектре, поступающем на вход детектора фазы. Эти боковые полосы могут содержать компоненты с устойчивыми частотами. Необходимо следить, чтобы эти устойчивые компоненты не захватывались контуром слежения. Если контур захватит подобную частоту, может создаться впечатле­ние, что он функционирует нормально; управляющий сигнал ГУН y(t) будет небольшим, но выход ГУН будет смещен по частоте от истинной несущей. Описанная ситуация на­зывается ложной синхронизацией. Контур отслеживает компонент боковой полосы час­тот, а контурный фильтр отфильтровывает действительную несущую. Эта проблема до­
вольно часто определяет нижний предел полосы контурных фильтров. Поскольку фильтры контуров остаточных несущих содержат меньше нелинейных компонентов, ложная синхронизация не является для них серьезной проблемой.

10.2.1.5. Синфазно-квадратурные схемы

Важной разновидностью контуров подавления несущей является синфазно­квадратурная схема (Costas loop), схематически изображенная на рис. 10.6. Эта схема важ­на, поскольку она позволяет избежать применения устройства возведения в квадрат, реа­лизация которого на несущих частотах может быть затруднительной. Вместо этого в кон­тур вводится умножитель и относительно простые фильтры нижних частот. Хотя внешне схемы на рис. 10.5 и 10.6 достаточно различны, можно показать [5], что их теоретические производительности равны. Основной проблемой реализации синфазно-квадратурных схем является то, что для получения теоретической оптимальной производительности два фильтра нижних частот должны быть идеально согласованы. Этого можно достичь в лю­бой аналоговой аппаратной реализации. Если фильтры реализуются цифровым образом, то проблем с поддержанием их согласованности не возникнет, но разработчик сталкивается с обычными проблемами разработки схем, оперирующих дискретными данными. Таким об­разом, решение о том, какой контур использовать — классический (рис. 10.5) или синфаз­но-квадратурный (рис. 10.6), — эквивалентно выбору между сложностью реализации уст­ройства возведения в квадрат и сложностью реализации идеально согласованных фильтров. Это проектное решение будет зависеть от параметров и требований конкретной прини­мающей системы, поэтому универсального совета мы дать не можем.

  Рис. 10 6. Синфазно-квадратурная схема

10.2.1.6. Схемы подавления несущей высших порядков

Двоичная фазовая манипуляция (binary phase-shift keying — BPSK) — это не един­ственная модуляция с подавлением несущей. Фактически, если предположить, что ап­риорно все сигналы равновероятны, любая модуляция, средняя амплитуда которой, ус­редненная по сигнальному множеству, равна нулю, не будет иметь средней энергии на передаваемой несущей. Возможно, самой распространенной недвоичной модуля­цией с подавлением несущей является квадратурная фазовая манипуляция (quadrature phase-shift keying — QPSK). При возведении сигнала QPSK в квадрат результат выгля­дит подобно сигналу BPSK. Следовательно, для равновероятных сигналов QPSK не­сущая по-прежнему подавляется. В то же время повторное возведение сигнала в квад-

par — что равносильно возведению исходного сигнала в четвертую степень — дает член, где частота несущего компонента в 4 раза больше частоты переданной несущей. Как и при двоичной модуляции, пропускание входного сигнала через устройство воз­ведения в степень дает перекрестные произведения шума и сигнала и вводит эквива­лент “потерь вследствие возведения в квадрат”. Если предположить, что ширина по­лосы шумов достаточна для пропускания сигнала без искажения, потери в контурах возведения в четвертую степень будут ограничены сверху следующей величиной [5]:

S_L<1 + — + — + —. (10.45)

Как и в схеме возведения в квадрат, при значительных входных отношениях сиг­нал/шум р, из уравнения (10.45) видно, что дополнительные члены потерь исчезают и производительность данного контура сравнивается с производительностью обычного контура. Как и для контуров второго порядка, существуют синфазно-квадратурные схе­мы, эквивалентные контурам четвертого порядка [5, 14, 15], реализация которых может иметь определенные аппаратные преимущества. Впрочем, их теоретическая производи­тельность аналогична производительности обычных контуров четвертого порядка.

Пример 10.5. Границы потерь вследствие возведения в квадрат

Сравните верхние границы потерь вследствие возведения в квадрат S_L, приведенные в урав­нениях (10.42) и (10.45) для контуров второго и четвертого порядков. Входное отношение сигнал/шум р, считать равным 10 дБ.

Решете

Из уравнений (10.42>—(10.44) для схемы возведения в квадрат получаем следующий результат.

S, = 1 + — = 1,05 = 0,2 дБ.

2_Р.

Из уравнения (10.45) для контура возведения в четвертую степень получаем следующее:

S_L= 1 + 0,9 + 0,06 + 0,0015 = 1,9615 = 2,9 дБ.

Следовательно, если входного отношения сигнал/шум, равного 10 дБ, достаточно для под­держивания небольших потерь в контуре возведения в квадрат, то же отношение может приводить к значительным потерям в контуре возведения в четвертую степень.

10.2.1.7. Начальная синхронизация

Ранее при обсуждении большинства вопросов предполагалось, что контур ФАПЧ изна­чально синхронизирован. Это оправдано, если рассогласование по фазе |0 - 0| мало. В то же время иногда контур должен приобретать синхронизацию, т.е. его нужно синхронизи­ровать. Принудительная синхронизация может выполняться с помощью внешних схем или сигналов либо посредством автосинхронизации [5].

По сути, синхронизация — это нелинейная операция; следовательно, общий ее анализ затруднителен. Впрочем, некоторые интуитивно приемлемые результаты мож­но получить при рассмотрении свободного от шумов контура первого порядка. По­добный контур изображен на рис. 10.3, где n'(t) = 0 (отсутствие шумов) и F(со) = 1 (первый порядок). Запишем входную фазу

и выходную фазу

о

где со, и Шо — угловая частота входного и выходного сигналов. Следовательно, рассо­гласование по фазе дается следующим выражением:

е(0 = 9(0 - 0(0 =

(10.47)

о

Дифференцируя обе части предыдущего выражения и полагая Дсо = со,- - ооо, получаем следующее:

— = Дсо - К₀ sin е.

dt

Здесь для простоты записи опущен аргумент (время) функции e(t). Данное дифферен­циальное уравнение описывает поведение свободного от шумов контура ФАПЧ пер­вого порядка. Условие синхронизации записывается следующим образом:

(10.49)

Уравнение (10.49) является необходимым, но не достаточным условием фазовой син­хронизации. Это можно проверить, изучив диаграмму фазовой плоскости на рис. 10.7. На данном рисунке отображены результаты деления обеих частей уравнения (10.48) на К₀. Сначала рассмотрим точку а. Если рассогласование по фазе приведет к небольшо­му смещению точки, описывающей состояние контура, вправо или влево от а, знак производной обеспечит смещение фазовой ошибки е к точке а. Следовательно, точка а — это устойчивая точка системы; точка, где можно получить фазовую синхрониза­цию и где эта синхронизация будет поддерживаться. Рассмотрим теперь точку Ь. Если рассогласование по фазе е находится точно в точке Ь, уравнение (10.49) будет удовле­творено. В то же время, если е несколько сместится от точки Ь, то знак производной обусловит дальнейшее смещение от Ь. Следовательно, Ь — точка, где уравне­ние (10.49) удовлетворяется, но решение не является устойчивым.

Время, необходимое контуру для синхронизации, может быть важным параметром при проектировании системы. Изучая уравнение (10.48), можно видеть, что требова­ния уравнения (10.49) к фазовой синхронизации не могут удовлетворяться, если не выполнейо следующее условие:

(10.50)

Это объясняется тем, что максимальная амплитуда синусоидальной функции получается при аргументе, равном единице. Этот диапазон разности частот -К₀ < Дсо <К₀ иногда на­зывают диапазоном синхронизации контура. Предполагая, что условие (10.50) удовле­творяется для времени, требуемого для синхронизации контура, Гарднер [5] предложил

эвристическую величину Ъ/К₀ секунд. Реальные значения из уравнения (10.47) можно получить аналитически (для однозначно определенных наборов начальных условий) или с помощью компьютерного моделирования. Из графика на рис. 10.7 видно, что необхо­димое время сильно меняется как функция первоначального рассогласования по фазе. Для значений е, близких к точке Ь, управляющий фактор (deldt)IK₀ будет очень мал. По­этому в наихудшем случае фазовая ошибка будет долго находится в окрестности точки Ь. Это явление называется зависанием конечного цикла [16] и может представлять серьез­ную проблему в системах с автосинхронизацией.

de/dt Ко  

Возможно, важнейшим операционным различием контуров первого и высших по­рядков является способность последних “выскакивать” из разностей частот, не вхо­дящих в диапазон синхронизации. Контур первого порядка с рассогласованием часто­ты, превышающим частоты диапазона синхронизации, будет стремиться к нужному диапазону, но никогда это не будет происходить быстро. Почему? Контуры второго и высших порядков могут входить в синхронизацию вследствие их более сложных фазо­вых характеристик. (Читателям, интересующимся этим вопросом, можно посоветовать работы [5, 8, 9, 17-19].)

Изучение автосинхронизации для контуров ФАПЧ представляет преимущественно ака­демический интерес. Гарднер [5] утверждает, что контуры автосинхронизации, дающие требуемый результат за разумное время, могут создаваться только при весьма благоприят­ных условиях. К сожалению, на практике такие условия встречаются крайне редко.

Принудительная синхронизация — это перенос рабочей точки контура в область фазового пространства, где предположительно находится область синхронизации, по­средством некоторого внешнего направляющего сигнала. Это является наиболее рас­пространенным методом получения синхронизации. Внешняя помощь может быть реализована путем простой подачи линейного изменения напряжения на вход ГУН. Этот направляющий сигнал приведет к тому, что выходная частота ГУН будет линей­но изменяться во времени. Как показывалось ранее (уравнение (10.17)), схемы с кон­турными фильтрами, знаменатели передаточных функций которых не содержат мно­жителя to, не смогут отследить линейное изменение частоты с конечным рассогласо­ванием по фазе. Следовательно, если поиск частоты должен реализовываться на контуре первого или второго порядка без этой особенности передаточной функции,

скорость изменения частоты должна быть достаточно малой, чтобы после синхрони­зации контура наличие синхронизации по фазе могло быть обнаружено и поисковый сигнал был удален до того, как он выведет контур из синхронизации. Для контуров, содержащих в £>(ш) множитель ко, удалять поисковый сигнал не обязательно, по­скольку (по крайней мере, теоретически) контур сможет отследить линейное измене­ние частоты. В любом случае частота сканирования не должна быть слишком боль­шой, иначе контур будет проскакивать мимо точки синхронизации так быстро, что ее будет невозможно достичь. Для контура второго порядка с передаточной функции (см. уравнение (10.6))

Дата добавления: 2015-10-28