Основы теории принятая статистических решений 1051 28 страница

6.1. Кодирование сигнала и структурированные последовательности

Тему канального кодирования можно условно разделить на два раздела: кодиро­вание (или обработка) сигнала и структурированные последовательности (или структурированная избыточность), как это показано на рис. 6.1. Кодирование сиг­нала означает преобразование сигнала в некий “улучшенный сигнал”, позволяю­щий сделать процесс детектирования менее подверженным ошибкам. Метод структурированных последовательностей — это преобразование последовательно­сти данных в новую, “улучшенную последовательность”, обладающую структур­ной избыточностью (которая вмещает избыточные биты). Эти избыточные разря­ды служат для определения и исправления ошибок. На выходе процедуры кодиро­вания получается закодированный (формой сигнала или структурированной по­следовательностью) сигнал, имеющий лучшие пространственные характеристики, чем некодированный. Итак, сначала рассмотрим некоторые методы кодирования сигнала, а затем, начиная с раздела 6.3, обсудим суть структурированных после­довательностей.

6.1.1. Антиподные и ортогональные сигналы

Антиподные и ортогональные сигналы уже обсуждались ранее, поэтому мы лишь напомним их основные особенности. В примере, приведенном на рис. 6.2, пока­зано аналитическое представление набора синусоидальных антиподных сигналов (s,(/) = -s₂(t) = sin со₀г, 0 < г < 7), а также его векторное и графическое представле­ние. Какие существуют альтернативные определения антиподных сигналов? О та­ких сигналах можно сказать, что они либо являются зеркальными отображениями друг друга, либо один сигнал является отрицательным по отношению к другому, либо они различаются между собой на 180° (противофазные сигналы).

ООО

Знаковое кодирование Дискретизация Квантование Импульсно-кодовая модуляция (РСМ)

Кодирование с предсказанием Блочное кодирование Кодирование переменной длины Синтетическое/ аналитическое кодирование Сжатие без потерь Сжатие с потерями

Сигналы РСМ (коды канала) Без возврата к нулю (NRZ) С возвратом к нулю (RZ) Фазовое кодирование Многоуровневое бинарное кодирование М-арная импульсная модуляция РАМ, PPM, PDM

Оценка последовательности с максимальным правдоподобием (MLSE) Выравнивание с помощью фильтров Трансверсальные эквалайзеры или эквалайзеры с обратной связью по решению

Заданное или адаптивное выравнивание Символьное или фракционное разделение

Полосовая передача Канальное кодирование

Когерентные схемы

Фазовая манипуляция (PSK) Частотная манипуляция (FSK) Амплитудная манипуляция (ASK) Модуляция без разрыва фазы (СРМ)

Смешанные комбинации

Некогерентные схемы

Дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK)

Частотная манипуляция (FSK) Амплитудная манипуляция (ASK) Модуляция без разрыва фазы (СРМ)

Смешанные комбинации

Кодирование формой сигнала

М-арная передача сигнала Антиподные сигналы Ортогональные сигналы Решетчатое кодирование

Структурированные последовател ьности

Блочные коды Сверточные коды Турбокоды

Частотная синхронизация Фазовая синхронизация Символьная синхронизация Кадровая синхронизация Сетевая синхронизация

Частотное разделение (FDM/FDMA) Временное разделение (ТОМДОМА) Кодовое разделение (CDM/CDMA) Пространственное разделение (SDMA) Поляризационное разделение (PDMA)

Метод прямой последовательности Метод скачкообразной перестройки частоты Метод переключения временных интервалов Смешанные комбинации

Блочное Шифрование потока данных

Рис. 6.1. Основные преобразования цифровой связи

Рис 6 2 Пример антиподного набора сигналов

В примере, приведенном на рис. 6.3, показан набор ортогональных сигналов, ко­торые имеют вид импульсов, описывающихся следующими выражениями:

s₁(t)=p(t) 0 < г < Г

Рис. 6.3. Пример двоичного набора ортогональных сигналов

В данном случае pit) — импульс длительностью т = Г/2, где Т — период. В системах связи возможны и другие наборы ортогональных сигналов, например часто используемые sin х и cosх. Любой набор равноэнергетических сигналов s,(t), i = 1, 2,..., М, будет ортонормиро- ванным (ортогональным и нормированным на 1) тогда и только тогда, когда

где z_v является коэффициентом взаимной корреляции (cross-correlation coefficient), а ве­личина Е — энергией сигнала, рыражаемой следующим образом:

I

;= j\f(t)dt.

Из графического представления на рис. 6.3 видно, что s,(t) и s₂(t) не могут взаимодей­ствовать, поскольку они разнесены во времени. Векторное представление показывает, что ортогональные сигналы перпендикулярны (находятся в квадратуре). Посмотрим на другие, альтернативные определения ортогональных сигналов или векторов. Мож­но сказать, например, что скалярное произведение двух разных векторов в ортого­нальном наборе должно быть равно нулю. В двух- и трехмерных декартовых системах координат векторы сигналов можно представить геометрически, как взаимно ортого­нальные друг к другу. Можно также сказать, что один вектор имеет нулевую проек­цию на другой или один сигнал не может взаимодействовать с другим, поскольку они не принадлежат одному и тому же пространству сигналов.

6.1.2. М-арная передача сигналов

При М-арной передаче сигналов процессор за один такт работы принимает к бит дан­ных. После этого он указывает модулятору произвести один из М = 2^к сигналов; част­ным случаем к = 1 является двоичная передача сигнала. Для к > 1 М-арную передачу сигналов можно рассматривать как процедуру кодирования формы сигнала. При орто­гональной передаче сигналов (например, сигналов MFSK) увеличение к приводит к повышению достоверности передачи или уменьшению требуемого E,/N₀ за счет увели­чения полосы пропускания; при неортогональной передаче сигналов (например, сиг­налов MPSK) улучшение эффективности использования полосы пропускания проис­ходит за счет снижения достоверности передачи или возрастания требуемого £,yW₀. Подходящий выбор формы сигнала позволяет найти компромисс между вероятностью ошибки, Еь/No и эффективностью использования полосы пропускания. Более подроб­но такие компромиссы рассмотрены в главе 9.

6.1.3. Кодирование сигнала

Процедура кодирования сигнала состоит в преобразовании набора сигналов (представляющих набор сообщений) в усовершенствованный набор сигналов. Этот улучшенный набор можно использовать для получения более приемлемой величины Р_в, соответствующей исходному набору. Наиболее популярные из кодов сигнала на­зываются ортогональными (orthogonal) и биортогональными кодами (biorthogonal). В процессе кодирования каждый сигнал набора пытаются сделать настолько непохо­жим на другие, насколько это возможно, чтобы для всех пар сигналов коэффициент взаимной корреляции z„ (см. уравнение 6.1) имел наименьшее возможное значение. Строго это условие выполняется тогда, когда сигналы антикоррелируют (z_y = -l); этого можно добиться только в том случае, если в наборе всего два значения (М = 2) и они антиподны друг другу. Вообще, все коэффициенты взаимной корреляции можно сделать равными нулю [1]. В этом случае набор будет ортогональным. Набо­ры антиподных сигналов являются оптимальными в том смысле, что все сигналы максимально удалены друг от друга, как можно видеть на рис. 6.2. Расстояние d

между векторами сигналов определяется как d = 2-/£, где Е — энергия сигнала на интервале Т, как показано в уравнении (6.2). Сравнив пространственные характери­стики ортогональных сигналов с характеристиками антиподных сигналов, приходим к выводу, что о первых можно сказать нечто вроде “довольно хорошо” (при данном уровне энергии сигнала). На рис. 6.3 расстояние между векторами ортогональных

сигналов составляет d = 4lE.

fi 1 Кппиппвянир гигняпя и гтпиюл/пипованные последовательности

Взаимная корреляция между двумя сигналами является мерой расстояния между двумя векторами сигналов. Чем меньше взаимная корреляция, тем больше векто­ры удалены друг от друга. Это можно проверить с помощью рис. 6.2, где анти­подные сигналы (для которых z_y = -1) представлены векторами, наиболее удален­ными друг от друга, и рис. 6.3, где ортогональные сигналы (для которых г_у = 0) представлены векторами, расположенными ближе друг к другу, чем антиподные векторы. Очевидно, что расстояние между одинаковыми сигналами (z,_; = 1) долж­но быть равно нулю.

Условие ортогональности в уравнении 6.1 записано через сигналы s,(t) и s/t), где i,j = 1,

2,...,М (Л/ — количество сигналов в наборе). Каждый сигнал набора {s//)} может содер­жать последовательность импульсов с уровнями +1 или -1, которые представляют двоич­ную 1 или 0. Если выразить набор в таком виде, уравнение (6.1) можно упростить, поло­жив, что {5//)} состоит из ортогональных сигналов тогда и только тогда, когда

_ (количество совпавших цифр) — (количество несовпавших цифр) _ ^ ^

¹¹ общее количество цифр в последовательности

(1 для i = j [О для I Ф j

6.1.3.1. Ортогональные коды

Набор однобитовых данных можно преобразовать с помощью ортогональных кодо- вых_}слов, состоящих из двух разрядов каждое, которые описываются строками пока­занной ниже матрицы Н[.

Набор данных

(6.4,а)

В этом и следующих примерах проверка ортогональности набора кодовых слов произ­водится с помощью уравнения (6.3). Для кодирования набора двухбитовых данных упомянутый выше набор следует расширить по горизонтали и вертикали, что дает матрицу Н₂.

						о"
		н2 =

Набор данных

Набор ортогональных кодовых слов

Н, Н,

Правый нижний квадрант является дополнением к исходному набору кодовых слов. С помощью подобной процедуры можно определить и ортогональный набор Н₃ для на­бора 3-битовых данных.

	^уо									0'
		н3 =

Вообще, для набора ^-битовых данных из матрицы Н*__ь можно построить набор кодовых слов Н* размерностью 2^к х 2^к, который называется матрицей Адамара (Hadamard matrix):

Каждая пара слов в каждом наборе кодовых слов Н_ь Н₂, Н₃,..., Н_ь... содержит одина­ковое количество совпадающих и несовпадающих разрядов [2]. Поэтому, в соответст­вии с уравнением (6.3), z_u =0 (при i Ф j) и каждый из этих наборов ортогонален.

Точно так же, как М-арная передача сигналов с ортогональной модуляцией (такой, как MFSK) понижает Р_в, кодирование информации ортогональным набором сигналов при когерентном детектировании дает абсолютно такой же результат. Для одинако­вых, равноэнергетических ортогональных сигналов вероятность ошибки в кодовом слове (символе), Р_Е, можно оценить сверху, как [2]

Р_Е(М)<(М - 1)6

где размер набора кодовых слов М равен 2^к, а к — это число информационных бит в кодо­вом слове. Функция Q(x) определена в уравнении (3.43), a E_s = кЕ_ь является энергией кодо­вого слова. При фиксированном М с ростом E_t/N₀ оценка становится все более точной; уже для P_t{M) < 1(Г³ уравнение (6.5) является довольно хорошим приближением. Для определе­ния вероятности появления ошибочного бита мы будем использовать связь между Р_в и Р_Е, которая дается уравнением (4.112). Приведем ее повторно:

В результате объединения уравнений (6.5) и (6.6) вероятность появления ошибочного бита можно оценить следующим образом:

Биортогональный набор сигналов, состоящий из М сигналов или кодовых слов, получается из ортогонального набора, состоящего из МП сигналов, путем дополнения последнего отрицанием каждого сигнала:

к-1

*-1.

Например, набор 3-битовых данных можно преобразовать в биортогональный набор кодовых слов следующим образом:

Набор данных Набор ортогональных кодовых слов

			'0
		в3 =

В действительности биортогональный набор состоит из двух ортогональных кодов, та­ких, что для каждого кодового слова в одном наборе имеется антиподное ему слово в другом. Биортогональный набор состоит из комбинации ортогональных и антиподных сигналов. Если использовать коэффициенты z,j, введенные в уравнении (6.1), то био­ртогональные коды можно представить следующим образом:

Одно из преимуществ биортогональных кодов перед ортогональными заклю­чается в том, что при передаче аналогичной информации размер кодового слова биортогональных кодов вдвое меньше размера кодового слова ортогональных ко­дов (сравните строки матрицы В₃ со строками представленной ранее матрицы Н₃). Следовательно, при использовании биортогональных кодов требования к полосе пропускания вдвое слабее, чем при использовании ортогональных кодов. Поскольку антиподные векторы сигналов имеют лучшие пространственные ха­рактеристики, чем ортогональные, не должно удивлять, что биортогональные коды лучше ортогональных. Для одинаковых, равноэнергетических биортого­нальных сигналов вероятность ошибки в кодовом слове (символе) можно оце­нить [2] следующим образом:

При фиксированном М с ростом E,JN_a оценка становится все более точной. Зависи­мость Р_В(М) от Р_Е(М) является довольно сложной, но ее, согласно [2], можно аппрок­симировать следующим образом:

РеШ)

Р_В(М)~

Это приближение становится достаточно хорошим при М > 8. Таким образом, можно записать следующее:

Описанные биортогональные коды значительно снижают Р_в по сравнению с ортого­нальными кодами и требуют только половину полосы пропускания ортогональных кодов.

6.1.3.3. Трансортогональные (симплексные) коды

Код, получаемый из ортогонального ряда путем удаления первого разряда каждого ко­дового слова, называется трансортогональным (transorthogonal), или симплексным (simplex) кодом. Такой код описывается следующими значениями ц/.

(6.11)

С точки зрения минимальной энергии, необходимой для поддержания заданной вероят­ности ошибки, симплексный код эквивалентен равновероятному ортогональному на­бору. Сравнивая достоверность передачи ортогонального, биортогонального и сим­плексного кодов, можно сказать, что симплексный код имеет наименьшее требуемое Ei/N_q для получения определенной частоты появления символьных ошибок. Впрочем, при больших М все три схемы очень похожи между собой в смысле достоверности пере­дачи. При этом биортогональное кодирование, по сравнению с другими методами, требует лишь половины полосы пропускания. В то же время для каждого из этих ко­дов требования к полосе пропускания (и сложность системы) экспоненциально растут с увеличением М; так что подобные схемы кодирования годятся лишь тогда, когда доступна значительная полоса пропускания.

6.1.4. Примеры системы кодирования сигналов

На рис. 6.4 дается пример присвоения fc-битово му сообщению из набора размером М = 2* кодированной последовательности импульсов из кодового набора аналогичного размера. Каждое из ^-битовых сообщений выбирает один генератор, производящий кодированную последовательность или кодовое слово. Последовательности в кодированном наборе, заме­няющие исходные сообщения, формируют набор сигналов с хорошими пространственны­ми характеристиками (например, ортогональный, биортогональный). Для ортогонального кода, описанного в разделе 6.1.3.1, каждое кодовое слово состоит из М = 2^к импульсов (представляющих кодовые биты). Таким образом, 2^к кодовых бит заменяют к информаци-

fi 1 KnriL/inonauL/i£a гмгпапа м ртг>\/шлупмплрauuиш ппгпоплоатопиилгтм
онных бит. Затем выбранная последовательность с использованием двоичной PSK моду­лируется несущей волной, так что фаза (ф, = 0 или к) несущей волны в течение каждого интервала передачи кодированного бита, 0<t<T_c, соответствует амплитуде (/ = -1 или I) j- го биполярного импульса в кодовом слове. В приемнике, показанном на рис. 6.5, сигнал демодулируется и подается на М корреляторов (или согласованных фильтров). Для ортого­нальных кодов, таких как описанные в разделе 6.1.3.1 (которые определяются матрицей Адамара), за период передачи кодового слова (Т = 2^кТ_с) определяются корреляции приня­того сигнала. Для систем связи реального времени сообщения не могут опаздывать, по­этому время передачи кодового слова должно совпадать с длительностью сообщения. Сле­довательно, Т также можно выразить как Т = (log₂M)T_b = кТ_ь, где Т_ь — длительность битов сообщения. Отметим, что длительность бита сообщения в М1к раз больше, чем у кодового бита. Другими словами, кодовые биты или кодированные импульсы (сигналы PSK) долж­ны перемещаться со скоростью, в М1к раз большей, чем биты сообщения. Для ортогональ­но кодированных сигналов и каналов с шумом AWGN математическое ожидание выход­ной мощности для каждого коррелятора в момент времени Т равно нулю; исключением является только коррелятор, соответствующий переданному кодовому слову.

Передатчик

М = 2^к сигналов

Рис. 6.4. Система кодирования сигналов (передатчик)

Опорные сигналы Набор ортогональных импульсных сигналов

Генератор 1

Приемник

Т = кТь = 2^кТ_с Рис. 6.5. Система кодирования сигналов с когерентным детектированием (приемник)

О Л Л

Каковы преимущества описанного ортогонального кодирования сигналов по срав­нению с обычным поступлением в каждую единицу времени одного бита или одного импульса? Можно оценить достоверность передачи с таким кодированием и без него, сравнив уравнение (4.79) для когерентного детектирования антиподных сигналов с уравнением (6.7) для когерентного детектирования ортогональных кодовых слов. При данном размере ^-битового сообщения (скажем, к=5) и желаемой вероятности появ­ления ошибочного бита (например, 1(Г⁵), детектирование ортогональных кодовых слов (каждое из которых состоит из 5 бит) может выполняться с приблизительно на 2,9 дБ меньшим отношением EJN₀, чем побитовое детектирование антиподных сигналов. (Проверить этот факт предоставляется читателю в задаче 6.28.) Данный результат можно было предвидеть, сравнив рабочие характеристики ортогональной передачи сигналов на рис. 4.28 с характеристиками бинарной (антиподной) передачи на рис. 4.29. Чем мы платим за такой уровень достоверности передачи? Плата выражает­ся в увеличении полосы пропускания. В приведенном примере передача некодиро- ванного сообщения — это посылка 5 бит. Сколько кодированных импульсов необхо­димо отправить для передачи с кодированием каждой последовательности сообщения? В данном примере каждая 5-битовая последовательность сообщения представлена М = 2^к=2⁵ = 32 кодовыми битами или кодированными импульсами. 32 кодированных им­пульса, составляющих кодовое слово, нужно отправить за то же время, что и соответ­ствующие исходные 5 бит. Таким образом, требуемая ширина полосы пропускания составляет 32/5 от ширины полосы пропускания в случае без кодирования. В общем случае, полоса пропускания, необходимая для подобных ортогонально кодированных сигналов, в М1к раз больше требуемой в случае передачи без кодирования. Далее мы рассмотрим более выгодные и эффективные способы получения компромиссов между шириной полосы пропускания и схемой кодирования [3, 4].

6.2. Типы защиты от ошибок

Перед тем как начать обсуждение структурированной избыточности, рассмотрим два ос­новных метода использования избыточности для защиты от ошибок. В первом методе, обнаружение ошибок и повторная передача, для проверки на наличие ошибки использует­ся контрольный бит четности (дополнительный бит, присоединяемый к данным). При этом приемное оконечное устройство не предпринимает попыток исправить ошибку, оно просто посылает передатчику запрос на повторную передачу данных. Следует заме­тить, что для такого диалога между передатчиком и приемником необходима двухсто­ронняя связь. Второй метод, прямое исправление ошибок (forward error correction — FEC), требует лишь односторонней линии связи, поскольку в этом случае контрольный бит четности служит как для обнаружения, так и исправления ошибок. Далее мы увидим, что не все комбинации ошибок можно исправить, так что коды коррекции классифици­руются в соответствии с их возможностями исправления ошибок.

6.2.1. Тип соединения оконечных устройств

Оконечные устройства систем связи часто классифицируют согласно типу их соеди­нения с другими оконечными устройствами. Возможные типы соединения, показан­ные на рис. 6.6, называются симплексными (simplex) (не путайте с симплексными, или трансортогональными кодами), полудуплексными (half-duplex) и полнодуплексными (full- duplex). Симплексное соединение на рис. 6.6, а — это односторонняя линия связи.

Передача сигналов производится только от оконечного устройства А к оконечному устройству В. Полудуплексное соединение на рис. 6.6, б — это линия связи, посредст­вом которой можно осуществлять передачи сигналов в обоих направлениях, но не од­новременно. И наконец, полнодуплексное соединение (рис. 6.6, в) — это двусторон­няя связь, где передача сигналов происходит одновременно в обоих направлениях.

  Передача только в одном направлении а)

  Передача в обоих направлениях, но не одновременно

6.2.2. Автоматический запрос повторной передачи

Если защита от ошибок заключается только в их обнаружении, система связи должна обеспечить средства предупреждения передатчика об опасности, сообщающие, что была обнаружена ошибка и требуется повторная передача. Подобные процедуры за­щиты от ошибок известны как методы автоматического запроса повторной передачи (Automatic Repeat Request — ARQ). На рис. 6.7 показаны три наиболее распространен­ные процедуры ARQ. На каждой схеме ось времени направлена слева направо. Первая процедура ARQ, запрос ARQ с остановками (stop-and-wait ARQ), показана на рис. 6.7, а. Ее реализация требует только полудуплексного соединения, поскольку пе­редатчик перед началом очередной передачи ожидает подтверждения об успешном приеме (acknowledgement — АСК) предыдущей. В примере, приведенном на рисунке, третий блок передаваемых данных принят с ошибкой. Следовательно, приемник пере­дает отрицательное подтверждение приема (negative acknowledgment — NAK); передат­чик повторяет передачу третьего блока сообщения и только после этого передает сле­дующий по очередности блок. Вторая процедура ARQ, непрерывный запрос ARQ с воз­вратом (continuous ARQ with pullback), показана на рис. 6.7, б. Здесь требуется полно­дуплексное соединение. Оба оконечных устройства начинают передачу одновременно: передатчик отправляет информацию, а приемник передает подтверждение о приеме данных. Следует отметить, что каждому блоку передаваемых данных присваивается порядковый номер. Кроме того, номера кадров АСК и NAK должны быть согласова­
ны; иначе говоря, задержка распространения сигнала должна быть известна априори, чтобы передатчик знал, к какому блоку сообщения относится данный кадр подтвер­ждения приема. В примере на рис. 6.7, б время подобрано так, что между отправлен­ным блоком сообщений и полученным подтверждением о приеме существует посто­янный интервал в четыре блока. Например, после отправки сообщения 8, приходит сигнал NAK, сообщающий об ошибке в блоке 4. При использовании процедуры ARQ передатчик “возвращается” к сообщению с ошибкой и снова передает всю информа­цию, начиная с поврежденного сообщения. И наконец, третья процедура, именуемая непрерывным запросом ARQ с выборочным повторением (continuous ARQ with selective re­peat), показана на рис. 6.7, в. Здесь, как и во второй процедуре, требуется полнодуп­лексное соединение. Впрочем, в этой процедуре повторно передается только иска­женное сообщение; затем передатчик продолжает передачу с того места, где она пре­рвалась, не выполняя повторной передачи правильно принятых сообщений.

\

\ -br* \*/

&/ т/

& *7

oV

-5-

Передача Приемник

Ошибка а)

Ошибка

Передатчик 1

Передача

Приемник

i'iN

/1N

Ошибка

Ошибка

б)

Дата добавления: 2015-10-28