Основы теории принятая статистических решений 1051 21 страница

Таким образом, Р_в можно записать в следующем виде:

/д = — exp j - — 2 Ч Л'о

Зависимость (4.100), изображенная на рис. 4.25, представляет собой дифференциаль­ное когерентное детектирование сигналов в дифференциальной модуляции PSK, или DPSK-модулированных сигналов. Выражение справедливо для оптимального детекто­ра DPSK (рис. 4.17, в). Для детектора, показанного на рис. 4.17, б, вероятность ошиб­ки будет несколько выше приведенной в выражении (4.100) [3]. Если сравнить веро­ятность ошибки, приведенную в формуле (4.100), с вероятностью ошибки когерент­ной схемы PSK (см. рис. 4.25), видно, что при равных Р_в схема DPSK требует приблизительно на 1 дБ большего отношения E,/N₀, чем схема BPSK (для Р_в < 10"⁴). Систему DPSK реализовать легче, чем систему PSK, поскольку приемник DPSK не требует фазовой синхронизации. По этой причине иногда предпочтительнее исполь­зовать менее эффективную схему DPSK, чем более сложную схему PSK.

4.7.6. Вероятность ошибки для различных модуляций

В табл. 4.1 и на рис. 4.25 приведены аналитические выражения и графики Р_в для наи­более распространенных схем модуляции, описанных выше. Для Р_в = 10"⁴ можно ви­деть, что разница между лучшей (когерентной PSK) и худшей (некогерентной ортого­нальной FSK) из рассмотренных схем равна приблизительно 4 дБ. В некоторых слу­чаях 4 дБ — это небольшая цена за простоту реализации, увеличивающуюся от когерентной схемы PSK до некогерентной FSK (рис. 4.25); впрочем, в других случаях ценным является даже выигрыш в 1 дБ. Помимо сложности реализации и вероятно­сти Р_в существуют и другие факторы, влияющие на выбор модуляции; например, в некоторых случаях (в каналах со случайным затуханием) желательными являются не­когерентные системы, поскольку иногда когерентные опорные сигналы 'затруднитель­но определять и использовать. В военных и космических приложениях весьма жела­тельны сигналы, которые могут противостоять значительному ухудшению качества, сохраняя возможность детектирования.

Таблица 4.1. Вероятность ошибки для различных бинарных модуляций

Модуляция Рв

PSK (когерентное детектирование)

DPSK (дифференциальное когерентное детектирование) Ортогональная FSK (когерентное детектирование)

Ортогональная FSK (некогерентное детектирование)

4.8. М-арная передача сигналов и производительность

4.8.1. Идеальная достоверность передачи

На рис. 3.6 приводился характерный, “водопадоподобный” график зависимости веро­ятности ошибки от отношения E,/N₀. Как видно из рис. 4.25, вероятность появления ошибочного бита (Р_в) для различных бинарных схем модуляции при наличии AWGN также имеет подобную форму. А на что будет похож график зависимости идеальной Р_в от EiJN₀? Ответ, в виде предела Шеннона, приведен на рис. 4.27. Этот предел представ­ляет порог EiJN₀, ниже которого поддержание достоверной связи невозможно. Под­робно работа Шеннона рассмотрена в главе 9.

Рв Рис. 4.27. Зависимость идеальной и типичной Рв от Еь/Nq

Идеальную кривую на рис. 4.27 можно описать следующим образом. Для всех зна­чений Ej/Nо, находящихся выше предела Шеннона (-1,6 дБ), Р_в равно нулю. Как толь­ко E,JN₀ падает ниже предела Шеннона, Р_в в худшем случае возрастает до 1/2. (Отметим, что Р_в= 1 — это не самый неблагоприятный вариант для бинарной переда­чи сигналов, поскольку это значение аналогично Р_в = 0; если вероятность появления ошибочного бита равна 100%, то для восстановления точной информации поток битов просто можно инвертировать.) На рис. 4.27 большой стрелкой показано направление повышения достоверности передачи от типичной к идеальной вероятности Р_в.

4.8.2. М-арная передача сигналов

Рассмотрим Л/-арную передачу сигналов. В каждый момент времени процессор рассмат­ривает к. бит. Он указывает модулятору произвести один из М=2^к сигналов; частным слу­чаем к= 1 является бинарная передача сигналов. Как увеличение к влияет на достоверность передачи — снижает или повышает ее? (Не спешите отвечать — вопрос с подвохом.) На рис. 4.28 показана зависимость вероятности появления ошибочного бита Ps(M) от E//N₀ для ортогональной Л/-уровневой передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом при ис­пользовании когерентного детектирования. На рис. 4.29 подобные графики приведены для многофазной передачи по каналу с гауссовым шумом при применении когерентного детек­тирования. В каком направлении движется график при увеличении к (или Л/)? Из рис. 4.27

Г папа А Плплглияа мпл\улш 1иа и ПРМПЛ\/ЛЯииЯ

мы знаем, как изменяется кривая при увеличении и уменьшении вероятности ошибки. Поэтому можем сказать, что на рис. 4.28 по мере роста к график перемещается в направ­лении уменьшения вероятности ошибки. На рис. 4.29 рост к приводит к увеличению веро­ятности ошибки. Подобное передвижение свидетельствует, что М-арная передача сигналов уменьшает вероятность ошибки при ортогональной передаче сигналов и увеличивает — при многофазной передаче. Справедливо ли это? Почему вообще используют многофаз­ную модуляцию PSK, если она приводит к высокой вероятности ошибки по сравнению с бинарной PSK? Сказанное действительно справедливо, и во многих системах действитель­но применяется многофазная передача сигналов. Подвох был в формулировке вопроса: там подразумевалось, что зависимость вероятности ошибки от E,JN₀ является единственным критерием качества. На самом деле существует множество других характеристик (например, ширина полосы, пропускная способность, сложность, стоимость), но на рис. 4.28 и 4.29 явно показана только вероятность ошибки.

Еь/No (ДБ) Рис. 4.28. Зависимость Рв(М) от Eb/N₀ для ортогональной М-арной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом при использовании когерентного детектирования. (Перепечатано с разрешения авторов из работы W. С. Lindsey and М. К. Simon. Telecom­munication Systems Engineering. Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J.)

Рис. 4.29. Зависимость Рв(М) от E_b/N₀ для ортого­нальной многофазной передачи сигналов по каналу с гауссовым шумом при использовании когерентного де­тектирования

Одной из рабочих характеристик, не представленных на рис. 4.28 и 4.29 явно, яв­ляется необходимая ширина полосы. Для графиков на рис. 4.28 повышение значений к подразумевает увеличение требуемой ширины полосы. Для М-арных многофазных кривых, приведенных на рис. 4.29, рост величины к позволяет получать большую ско­рость передачи битов при той же ширине полосы. Другими словами, при фиксиро­ванной скорости передачи данных уменьшается необходимая полоса. Следовательно, графики вероятности ошибки и при ортогональной, и при многофазной передаче по­казывают, что М-арная передача сигналов представляет средство реализации компро­миссов между параметрами системы. При ортогональной передаче сигналов повыше­ние достоверности передачи может быть получено за счет расширения полосы. В слу­чае многофазной передачи эффективность использования полосы может быть получена за счет вероятности ошибки. Подробнее о компромиссах между полосой и вероятностью ошибки рассказывается в главе 9.

4.8.3. Векторное представление сигналов MPSK

На рис. 4.30 показаны наборы сигналов MPSK для М = 2, 4, 8 и 16. На рис. 4.30, а ви­дим бинарные (к= 1, М= 2) антиподные векторы s, и s₂, угол между которыми равен 180°. Граница областей решений разделяет сигнальное пространство на две области. На рисунке также показан вектор шума п, равный по амплитуде сигналу s,. При ука­занных направлении и амплитуде энергия вектора шума является минимальной, и де­тектор может допустить символьную ошибку.

На рис. 4.30, б видим 4-арные (к = 2, М = 4) векторы, расположенные друг к другу под углом 90°. Границы областей решений (на рисунке изображена только одна) делят сигнальное пространство на четыре области.

Рыс. 4.30. Наборы сигналов MPSK для М = 2, 4, 8, 16

Здесь также изображен вектор шума п (начало — в вершине вектора сигнала, направ­ление перпендикулярно ближайшей границе областей решений), являющийся векто­ром минимальной энергии, достаточной, чтобы детектор допустил символьную ошиб­ку. Отметим, что вектор шума минимальной энергии на рис. 4.30, б меньше вектора шума на рис. 4.30, о, что свидетельствует о большей уязвимости 4-арной системы к шуму, по сравнению с бинарной (энергии сигналов в обоих случаях взяты равными). Изучая рис. 4.30, в, г, можно отметить следующую закономерность. При многофазной передаче сигналов по мере роста величины М на сигнальную плоскость помещается все больше сигнальных векторов. По мере того как векторы располагаются плотнее, для появления ошибки вследствие шума требуется все меньше энергии.

С помощью рис. 4.30 можно лучше понять поведение зависимости вероятности Р_в от Ei/No, изображенной на рис. 4.29, при росте к. Кроме того, рисунок позволяет взглянуть на природу компромиссов при многофазной передаче сигналов. Размеще­ние большего числа векторов сигналов в сигнальном пространстве эквивалентно по­вышению скорости передачи данных без увеличения системной ширины полосы (все векторы ограничиваются одной и той же плоскостью). Другими словами, мы повыси­ли использование полосы за счет вероятности ошибки. Рассмотрим рис. 4.30, г, где из приведенных вариантов вероятность ошибки является наивысшей. Чем мы может за­платить, чтобы “выкупить” возросшую вероятность ошибки? Иными словами, чем мы можем поступиться, чтобы расстояние между соседними векторами сигналов на рис. 4.30, д стало таким же, как на рис. 4.30, а? Мы можем увеличивать интенсив­ность сигнала (сделать векторы сигналов длиннее), пока минимальное расстояние от вершины вектора сигнала до линии решений не станет равным размеру вектора шума на рис. 4.30, о. Таким образом, для многофазной системы по мере роста М мы можем увеличивать производительность полосы либо за счет повышения вероятности ошиб­ки, либо за счет увеличения отношения E,/N₀.

Отметим, что на схемах, изображенных на рис. 4.30 для различных значений М, все векторы имеют одинаковую амплитуду. Это равносильно утверждению, что сопос­тавление различных схем выполняется при фиксированном отношении EJN₀, где E_s — энергия символа. Сравнительные схемы можно сделать и при фиксированном отно­шении Ei/N₀, в этом случае амплитуды векторов будут увеличиваться с ростом М. При

М - 4, 8 и 16 амплитуды векторов будут, соответственно, в -Л, л/з и 2 раза больше векторов для случая М = 2. Как и в предыдущем случае, с ростом М будет усиливаться восприимчивость к шуму, но она не будет такой явной, как на рис. 4.30.

4.8.4. Схемы BPSK и QPSK имеют одинаковые вероятности ошибки

В уравнении (3.30) было получено следующее соотношение между E/N₀ и S/M:

Здесь S — средняя мощность сигнала, a R — скорость передачи битов. Вероятность ошибки в сигнале BPSK с отношением EJN₀, найденным из уравнения (4.101), опреде­ляется из кривой на рис. 4.29, соответствующей к = 1. Схему QPSK можно описать с по­мощью двух ортогональных каналов BPSK. Поток битов QPSK обычно разбивается на четный и нечетный (синфазный и квадратурный) потоки; каждый новый поток модули­рует ортогональный компонент несущей со скоростью, вдвое меньшей скорости исход­ного потока. Синфазный поток модулирует член cos оу, а квадратурный — член sin оу. Если амплитуда исходного вектора QPSK была равна А, то амплитуды векторов синфаз­ного и квадратурного компонентов равны, как показано на рис. 4.31, Al-Jl. Следова­тельно, на каждый квадратурный сигнал BPSK приходится половина средней мощности исходного сигнала QPSK. Значит, если исходный сигнал QPSK имел скорость R бит/с и среднюю мощность S Вт, квадратурное разбиение приводит к тому, что каждый сигнал BPS К имеет скорость передачи Л/2 бит/с и среднюю мощность S/2 Вт.

sin coot

QPSK

		А/<2
	Квадратурный компонент сигнала BPSK
		cos coot
		Синфазный дл/2 компонент сигнала BPSK
		Рис. 4.31. Синфазный и квадратурный ком­поненты (модуляция BPSK) вектора QPSK

Следовательно, отношение EJN₀, характеризующее оба ортогональных канала BPSK, создающих сигнал QPSK, эквивалентно отношению £*/А/о в уравнении (4.101), поскольку его можно записать точно так же:

(4.102)

Таким образом, каждый из ортогональных каналов BPSK, а следовательно, и составной сигнал QPSK характеризуются одним отношением Ei/N₀, а значит — та­кой же вероятностью Р_в, что и сигнал BPSK. Ортогональность (разность фаз 90°) соседних символов QPSK приводит к равным вероятностям появления ошибочного бита для схем BPSK и QPSK. Следует отметить, что вероятности появления оши­бочного символа для этих схем не равны. Связь этих двух вероятностей рассмотрена
в разделах 4.9.3 и 4.9.4. Там будет показано, что схема QPSK эквивалентна двум квадратурным каналам BPSK. Этот результат будет расширен на все симметрич­ные схемы передачи сигналов с модуляцией амплитуды/фазы, подобные квадра­турной амплитудной модуляции (quadrature amplitude modulation — QAM), опи­санной в разделе 9.8.3.

4.8.5. Векторное представление сигналов MFSK

В разделе 4.8.3 мы исследовали рис. 4.30, что позволило получить представление о причинах роста вероятности ошибки при увеличении числа к (или М) в схеме MPSK. Полезно будет рассмотреть подобную векторную иллюстрацию для схемы MFSK, которая позволит лучше понять графики на рис. 4.28. Поскольку сигналь­ное пространство MFSK описывается М взаимно перпендикулярными осями, мы без труда можем проиллюстрировать случаи М = 2 и М = Ъ. Итак, на рис. 4.32, а видим бинарные ортогональные векторы s, и s₂. Граница областей решений раз­бивает сигнальное пространство на две области. На рисунке также показан вектор шума п, представляющий минимальный вектор, который может привести к при­нятию неправильного решения.

М= 2

а) б)

Рис. 4.32. Наборы сигналов MFSK для М = 2, 3

На рис. 4.32, б показано трехмерное сигнальное пространство со взаимно пер­пендикулярными координатными осями. В этом случае плоскости решений раз­бивают пространство на три области. Показано, как к каждому сигнальному век­тору si, s₂ и s₃ прибавляется вектор шума п, представляющий минимальный век­тор, который может привести к принятию неправильного решения. Векторы шума на рис. 4.32, б имеют тот же модуль, что и вектор шума, показанный на рис. 4.32, а. В разделе 4.4.4 мы утверждали, что при данном уровне принятой энергии расстояние между любыми двумя векторами сигналов-прототипов s,- и Sj Л/'Мерного ортогонального пространства является константой. Отсюда следует, что минимальное расстояние между вектором сигнала-прототипа и любой грани­цей решений не меняется с изменением М. В отличие от модуляции MPSK, когда добавление нового сигнала к сигнальному множеству делало сигналы более уяз­вимыми к меньшим векторам шума, при MFSK такого не происходит.

Для иллюстрации этого момента можно было бы нарисовать ортогональные пространства высших размерностей, но, к сожалению, это затруднительно. Мы можем использовать только наш “мысленный взгляд”, чтобы понять, что увели­

чение сигнального множества М — путем введения дополнительных осей, причем каждая новая ось перпендикулярна всем существующим — не приводит к его уп­лотнению. Следовательно, переданный сигнал, принадлежащий ортогональному набору, не становится более уязвимым к шуму при увеличении размерности. Фак­тически, как можно видеть из рис. 4.28, при увеличении к вероятность появления ошибочного бита даже уменьшается.

Пониманию улучшения надежности при ортогональной передаче сигналов, по­казанного на рис. 4.28, способствует сравнение зависимости вероятности сим­вольной ошибки (Р_Е) от ненормированного отношения сигнал/шум (signal-to- noise ratio — SNR) с зависимостью Р_Е от E^N₀. На рис. 4.33 для когерентной пе­редачи сигналов FSK представлено несколько зависимостей Р_Е от ненормирован­ного SNR. Видим, что Р_Е ухудшается с ростом М. Можем ли мы сказать, что сиг­нал из ортогонального набора не становится более уязвимым к данному шуму при увеличении размерности ортогонального набора? Для ортогональной переда­чи сигналов справедливо утверждение, что при данном SNR вектора шума фикси­рованного размера достаточно для перевода переданного сигнала в область оши­бок; следовательно, сигналы не становятся более уязвимыми к меньшим векторам шума при увеличении М. В то же время при росте М вводится большее число ок­рестных областей решений; следовательнб, увеличивается число возможностей для появления символьной ошибки, всего существует (М - 1) возможностей до­пустить ошибку. На рис. 4.33 отражено ухудшение Р_Е в зависимости от ненорми­рованного SNR при увеличении М. Стоит отметить, что изучение зависимости достоверности передачи от М при фиксированном SNR не является лучшим на­правлением в цифровой связи. Фиксированное SNR означает фиксированный объем энергии на символ; следовательно, при увеличении М этот объем энергии необходимо распределять уже между большим числом битов, т.е. на каждый бит приходится меньше энергии. В этой связи наиболее удобным способом сравнения различных цифровых систем является использование в качестве критерия отно­шения сигнал/шум, нормированного на бит, или E^Nq. Повышение достоверности передачи с увеличением М (см. рис. 4.28) проявляется только в том случае, если вероятность ошибки изображается как зависимость от EJNo. В этом случае при увеличении М отношение E^Nq, требуемое для получения заданной вероятности ошибки, снижается при фиксированном SNR; следовательно, нам нужен новый график, подобный показанному на рис. 4.28, где ось абсцисс представляет не SNR, a EblN₀. На рис. 4.34 показано, как зависимость от SNR отображается в за­висимость от EjJN^, видно, как графики, демонстрирующие ухудшение Р_Е с увели­чением М (подобно представленному на рис. 4.33), преобразуются в графики, по­казывающие улучшение Р_Е с увеличением М. Само преобразование выполняется согласно соотношению, приведенному в формуле (4.101):

Вероятность символьной ошибки,Ре(М)

SNR (дБ)

Рис. 4.33. Зависимость вероятности символьной ошибки от SNR для когерентной передачи сигналов FSK. (Из до­кумента Bureau of Standards. Technical Note 167, March, 1963; перепечатано с разрешения National Bureau of Standards из Central Radio Propagation Laboratory Tech­nical Note 167, March, 25, 1963, Fig. 1, p. 2.)

J

0 NKRJ

Здесь W — ширина полосы детектирования. Поскольку

_R _ ^1оё2 ^м __ к Т Т ’

где Т — длительность символа, можем записать следующее:

^ ₌ 4_Ж_1₌АМ. (4.103)

N₀ N Vlog₂ МJ N\ к)

При передаче сигналов FSK ширина полосы детектирования W (в герцах) обычно равна скорости передачи символов 1/Т; другими словами, TW ~ 1. Следовательно,

(4.104)

N₀ N\к)

На рис. 4.34 представлено отображение зависимости Р_Е от отношения сигнал/шум в зависимость Р_Е от E,JN_a для Л/-мерной ортогональной передачи сигналов с когерент­ным детектированием; на осях показано сопоставление величин разных размерностей. На рис. 4.34, а выбрана рабочая точка, соответствующая отношению сигнал/шум = 10 дБ схемы с к= 1, при данной вероятности ошибки P_E= 10'³. В той же системе координат приведен график схемы с А: = 10; рабочая точка, соответст­вующая той же величине Р_Е = 10“³, теперь соответствует отношению сигнал/шум, равному 13 дБ (приблизительное значение, полученное из рис. 4.33). Из приведен^ ных графиков явно видно снижение достоверности при увеличении к. Чтобы по­нять, как улучшается производительность, преобразуем масштаб оси абсцисс из нели-₍
нейного (отношение сигнал/шум в децибелах) в линейный (SNR как коэффициент). На рис. 4.34, а показано, как соотносятся значения SNR в децибелах (10 и 13) со зна­чениями, представленными как коэффициент (10 и 20), для случаев к = 1 и к = 10. Да­лее преобразуем масштаб оси абсцисс, чтобы единицами измерения служило отноше­ние сигнал/шум, нормированное на бит (также выраженное как коэффициент). Этому случаю на рис. 4.34, а соответствуют величины 10 и 2 для к= 1 и к= 10. Вообще, удоб­но не различать 1024-ричный символ или сигнал (случай к = 10) и его 10-битовое зна­чение. При таком подходе, если символ требует 20 единиц SNR, то 10 бит, кодирую­щих этот символ, требуют тех же 20 единиц; другими словами, каждый бит требует двух единиц отношения сигнал/шум.

Вместо подобного сравнения, можно просто отобразить рассматриваемые случаи к= 1 и к - 10 графиками, изображенными на рис. 4.34, б и представляющими зависи­мости Р_Е от EJN₀. Случай к - 1 соответствует представленному на рис. 4.34, а. Но для случая к = 10 наблюдаем разительные отличия. Видим, что при £=10 передача 10- битового символа требует всего 2 единиц (3 дБ) отношения EJN₀ по сравнению с 10 единицами (10 дБ) для бинарного символа. Действительно, из формулы (4.104) полу­чаем значение отношения EJN₀ = 20 (1/10) = 2 (или 3 дБ), т.е. имеем повышение дос­товерности при увеличении к. В системах цифровой связи достоверность передачи (или вероятность ошибки) всегда выражается через EJNq, поскольку такой подход по­зволяет выполнять сравнение производительности различных систем. Графики, при­веденные на рис. 4.33 и 4.34, а, на практике встречаются крайне редко.

Хотя изображенные на рис. 4.33 зависимости и не используются на практике час­то, все же с помощью этого рисунка мы можем понять, почему ортогональная переда­ча сигналов приводит к повышению достоверности при увеличении М или к. Рассмот­рим аналогию — приобретение товара, скажем прессованного творога высшего каче­ства. Выбор качества соответствует выбору точки на оси Р_Е рис. 4.33, скажем 10“³. Проведем из этой точки горизонтальную линию через все кривые (от М = 2 до М- 1024). В бакалейно-гастрономическом отделе мы покупаем самую маленькую упа­ковку прессованного творога, которая содержит 2 унции и стоит $1. Обращаясь к рис. 4.33, можем сказать, что такая покупка соответствует пересечению проведенной горизонтальной линии с графиком для М-2. Смотрим вниз на соответствующее зна­чение параметра SNR и называем пересечение с этой осью ценой $1. При следующем походе за покупками мы решаем, что в прошлый раз стоимость творога была высокой — по 50 центов за унцию. Поэтому решаем купить большую упаковку (8 ун­ций) за $2. Обращаемся к рис. 4.33 и видим, что данная покупка соответствует пере­сечению горизонтальной линии с кривой М = 8. Смотрим вниз и называем соответст­вующее значение SNR ценой $2. Замечаем, что хотя мы и купили большую емкость, заплатив за нее большую цену, все же стоимость одной унции упала (и составляет те­перь всего 25 центов). Эту аналогию можно продолжать; мы можем приобретать все большие и большие упаковки, при этом их цена (SNR) будет расти, а стоимость за унцию будет падать. Вообще, это известно давно и называется эффектам масштаба: приобретение за раз большого количества товара соответствует закупкам по оптовым ценам; при этом цена единицы товара падает. Подобным образом при использовании ортогональной передачи сигналов с символами, содержащими большее число бит, нам требуется большая мощность (большее отношение SNR), а требования относительно бита (E,JN₀) при этом снижаются.

4.9. Вероятность символьной ошибки для Af-арных систем (М > 2)

4.9.1. Вероятность символьной ошибки для модуляции MPSK

Для больших отношений сигнал/шум вероятность символьной ошибки Р[(М) для рав­новероятных сигналов в М-арной модуляции PSK с когерентным детектированием можно выразить как [7]

2. к

.------- sm —

^ No М.

где Р_Ь{М) — вероятность символьной ошибки, E_s = E_b(log₂M) — энергия, приходящаяся на символ, а М = 2* — размер множества символов. Зависимость Р_Е{М) от EJNq для пе­редачи сигналов MPSK с когерентным детектированием показана на рис. 4.35.

  5,/Wo (дБ) Рис. 4.35. Вероятность символьной ошибки для многофазной передачи сигналов с когерентным де­тектированием. (Перепечатано с разрешения ав­торов из W. С. Lindsey and М. К. Simon. Telecom­munication Systems Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1973.)

«- Гп о do 4 Плплглваа MnnvnQHMfl M ПЙМОДУЯЯИИЯ

Вероятность символьной ошибки для дифференциального когерентного детектиро­вания М-арной схемы DPSK (для больших значений EJN₀) выражается подобно тому, как это было приведено выше [7]:

(4.106)

4.9.2. Вероятность символьной ошибки для модуляции MFSK

Вероятность символьной ошибки P_f(.M) для равновероятных ортогональных сигналов с когерентным детектированием можно выразить как [5]

(4.107)

где E_s = E_h(\og₂M) — энергия, приходящаяся на символ, а М — размер множества сим­волов. Зависимость от EJNq для М-арных ортогональных сигналов с когерент­ным детектированием показана на рис. 4.36.

Вероятность символьной ошибки для равновероятных М-арных ортогональных сигналов с некогерентным детектированием дается следующим выражением [9]:

(4.108)

где

(4.109)

является стандартным биномиальным коэффициентом, выражающим число способов выбора j ошибочных символов из М возможных. Отметим, что для бинарного случая формула (4.108) сокращается до

(4.110)

что совпадает с результатом, полученным в выражении (4.96). Кривая зависимости P_f(.M) от EiJN₀ для М-арной передачи сигналов с некогерентным детектированием изо­бражена на рис. 4.37. При сравнении данных графиков с приведенными на рис. 4.36 и соответствующими некогерентному детектированию можно заметить, что для к >7 различием уже можно пренебрегать. В заключение отметим, что для когерентного и некогерентного приема ортогональных сигналов верхний предел вероятности ошибки дается выражением [9]

(4.111)

Здесь E_s — энергия на символ, а М — размер множества символов.

  Рис. 4.36. Вероятность символьной ошибки для М- арной ортогональной передачи сигналов с когерент­ным детектированием. (Перепечатано с разрешения авторов из W. С. Lindsey and М. К. Simon. Tele­communication Systems Engineering. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N. J., 1973.)

Дата добавления: 2015-10-28