Основы теории принятая статистических решений 1051 19 страница

сигнал КО имеет вид точно cos со,г + n(t), т.е. фаза точно равна нулю. Следовательно, сиг­нальный компонент принятого сигнала точно соответствует (по частоте и фазе) опорному сигналу верхней ветви. В такой ситуации максимальный выход должен дать интегратор произведений верхней ветви. Вторая ветвь должна дать нулевой выход (проинтегрированный шум с нулевым средним), поскольку ее опорный сигнал

^2/Тsin(a_{t ортогонален сигнальному компоненту сигнала r(t). При ортогональной пере­даче сигналов (см. раздел 4.5.4) третья и четвертая ветви также должны дать близкие к ну­лю выходы порядка нуля, поскольку их опорные сигналы также ортогональны сигнально­му компоненту сигнала tit).

Суммирование энергии Тестовая

синфазного и статистика и Возведение квадратурного принятие в квадрат компонентов решения

канал	г^т	zim	(• \^2
)	J 0

Корреляция

V2/T sin <o,f

Квадратурный
канал	Г^т	z2(T)	1 ■ \^2	^Z2
).............. "*■	J 0

m-

V2/7" cos <02f

канал	r^T	z3m	(■)*
) *	J 0

WT sin 0>2f

Квадратурный
канал	г	ы л	1 ■ \^2
	J 0

Рис. 4.18. Квадратурный приемник

Рассмотрим теперь другую возможность. Пусть принятый сигнал г(г) имеет вид sin ю,г + n(t). В этом случае максимальный выход должна дать вторая ветвь схемы (рис. 4.18), а выходы других ветвей должны быть близки нулю. В реальной системе сиг­нал КО скорее всего описывается выражением cos (со,/ + Ф) + я(0. т.е. входной сигнал бу­дет частично коррелировать с опорным сигналом cos ю,г и частично — с сигналом sin cojr. Поэтому некогерентный квадратурный приемник ортогональных сигналов и требует синфазной и квадратурной ветви для каждого возможного сигнала набора. Блоки, пока­занные на рис. 4.18 после интеграторов произведений, выполняют операцию возведения в квадрат, что предотвращает появление возможных отрицательных значений. Затем для каждого класса сигналов набора (в бинарном случае — для двух) складываются величи­ны Z\ из синфазного канала и zi из квадратурного канала. На конечном этапе форми­руется тестовая статистика z(7) и выбирается сигнал с частотой coj или С0г, в зависимости от того, какая пара детекторов энергии дала максимальный выход.

Существует еще одна возможная реализация некогерентного детектирования сигна­лов FSK. В этом случае используются полосовые фильтры, центрированные на частоте / = ю/271 с полосой Иуг= 1/Г, за которыми, как показано на рис. 4.19, следуют детекторы огибающей. Детектор огибающей состоит из выпрямителя и фильтра нижних частот. Де­текторы согласовываются с огибающими сигнала, а не с самими сигналами. При опреде­лении огибающей фаза несущей не имеет значения. При бинарной FSK решение отно­сительно значения переданного символа принимается путем определения, какой из двух детекторов огибающей дает большую амплитуду на момент измерения. Подобным обра­зом для системы, использующей многочастотную фазовую манипуляцию (multiple fre­quency shift-keying — MFSK), решение относительно принадлежности переданного сим­вола к одному из М возможных принимается путем определения, какой из М детекторов огибающей дает максимальный выход.

Полосовые фильтры, центрированные на частоте f, с полосой Wf= 1/Т Рис. 4.19. Некогерентное детектирование сигналов FSK с ис­пользованием детекторов огибающей

Детектор огибающей, изображенный на блочной диаграмме рис. 4.19, кажется проще квадратурного приемника, показанного на рис. 4.18, но не стоит забывать, что использование (аналоговых) фильтров обычно приводит к большей массе и стоимости детекторов огибающей по сравнению с квадратурным приемником. Поскольку квад­ратурные приемники могут реализовываться цифровым образом, с появлением боль­ших интегральных схем их использование в качестве некогерентных детекторов стало предпочтительнее. Детектор, показанный на рис. 4.19, может реализовываться цифро­вым образом, использование аналоговых фильтров заменяется выполнением дискрет­

ного преобразования Фурье. Подобная структура обычно сложнее цифровой реализа­ции квадратурного приемника.

4.5.4. Расстояние между тонами для некогерентной ортогональной передачи FSK-модулированных сигналов

Частотная манипуляция (frequency shift keying — FSK) обычно реализуется как ортогональ­ная передача сигналов, хотя ортогональными являются не все сигналы FSK. Что мы под­разумеваем под ортогональностью, когда речь идет о тонах сигнального множества? Пред­положим, что мы используем два тона /, = 10 ООО Гц и /₂ = 11 ООО Гц. Ортогональны ли они между собой? Другими словами, удовлетворяют ли они критерию ортогональности (уравнение (3.39)) и не коррелируют ли в течение периода передачи символа 7? Пока у нас недостаточно информации, чтобы ответить на этот вопрос. Вообще, тоны /, и/₂ являются ортогональными, если при переданном тоне /, дискретная огибающая на выходе прини­мающего фильтра, настроенного на/₂, дает нуль (т.е. отсутствуют перекрестные помехи). Подобная ортогональность между тонами сигнального множества FSK обеспечивается, ес­ли любая пара тонов множества разделена по частоте расстоянием, кратным l/Т Гц. (Эго доказывается ниже, в примере 4.3.) Тон с частотой /_ь который включается на время пере­дачи символа (Т с) и после этого выключается (такой, как тон FSK, приведенный в выра­жении (4.8)), аналитически можно описать следующим образом:

s,(t) = (cos 2nf, t) rect (t/T),

где

1 для - Г/2 < t < Г/2 0 для |r|> Т/2

Из табл. А.1 находим Фурье-образ s,(t):

5Ш) = Г sine (f—f)T.

Здесь функция sine определена выражением (1.39). Спектры подобных соседствующих тонов — тона 1 с частотой /, и тона 2 с частотой /₂ — показаны на рис. 4.20.

4.5.4.1. Минимальное расстояние между тонами и ширина полосы

Для того чтобы некогерентно детектируемый тон давал максимальный сигнал на выхо­де “своего” фильтра и нулевой сигнал — на выходе любого соседнего фильтра (схема на рис. 4.19), максимум спектра тона 1 должен совпадать с одним из переходов через нуль спектра тона 2, а максимум спектра тона 2 должен приходиться на один из переходов че­рез нуль спектра тона 1. Расстояние по частоте между центром спектрального главного ле­пестка и первым переходом через нуль является минимальным необходимым расстоянием между тонами. При некогерентном детектировании это соответствует минимальному рас­стоянию между тонами, которое, как показано на рис. 4.20, равно 1/Г Гц. Несмотря на то что использование схемы FSK подразумевает передачу в течение каждого интервала пере­дачи символа всего одного однополосного тона, когда мы говорим о ширине полосы сиг­нала, подразумеваем спектр, достаточный для всех тонов М-арного множества. Следова­тельно, для модуляции FSK требования к полосе связаны со спектральным расстоянием между тонами. Можно считать, что с каждым из группы соседствующих тонов связан спектр, простирающийся в обе стороны от максимального значения на величину, равную половине расстояния между тонами. Следовательно, для бинарной модуляции FSK, изо­браженной на рис. 4.20, ширина полосы передачи равна спектру, находящемуся между то­нами, плюс области слева и справа, ширина которых равна половине расстояния между тонами. Общий спектр, таким образом, равен удвоенному расстоянию между тонами. Экс­траполируя этот результат на М-арный случай, получаем, что ширина полосы сигнала в ортогональной модуляции MFSK с некогерентным детектированием равна МП.

До сих пор мы рассматривали только некогерентное детектирование сигналов в ор­тогональной модуляции FSK. Будет ли отличаться критерий минимального расстоя­ния между тонами (и, как следствие, ширина полосы) при когерентном детектирова­нии? Разумеется, да. Как будет показано ниже, в примере 4.3, при использовании когерентного детектирования минимальное расстояние между тонами снижается до 1/27’.

4.5.4.2. Дуальные соотношения

Инженерную концепцию дуальности можно определить следующим образом. Два процесса (функции, элемента или системы) дуальны друг другу, если описы­вающие их математические соотношения идентичны, пусть даже они описываются разными переменными (например, время и частота). Рассмотрим передачу сигналов FSK, где, как показано на рис. 4.20, модулированные сигналы имеют спектр вида функций sine (JT). Данная длительность тона определяет минимальное расстояние по частоте между тонами, необходимое для получения ортогональности. Это соот­ношение в частотной области имеет дуальное ему во временной области — передачу импульсов (рис. 3.16, б), где прямоугольным участкам полосы соответствуют им­пульсы вида sine (t/T). Данная ширина полосы определяет минимальное расстояние (на временной оси) между импульсами, необходимое для получения нулевой меж­символьной интерференции.

Пример 4.3. Минимальное расстояние между тонами для ортогональной FSK

Рассмотрим два сигнала cos (2nfit+ ф) и cos (Infot), используемые для некогерентной пере­дачи сигналов FSK, где/i >/2. Скорость передачи символов равна 1/Г символов/с, где Г — длительность символа, а ф — произвольный постоянный угол между 0 и 2к.

а) Докажите, что минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сиг­налов FSK с некогерентным детектированием равно 1/Г.

Г пом Л Плплллваа мплипаниа И ЛЙМОЛУЛЯ11ИЯ

б) Чему равно минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигна­лов FSK с когерентным детектированием? Решение а) Чтобы два сигнала были ортогональными, они должны удовлетворять условию ортого­нальности, которое дается выражением (3.69):

I Jcos (2nfxt + ф) cos 2nf2t dt = 0.

(4.45)

Используя основные тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.6) и (ГЛ)-(Г.З), можно переписать выражение (4.45) в виде Т т совф Jcos 2л/j/ cos 2nf2t dt - sin ф Jsin2rt/[f cos 2nf2t dt = 0, (4.46)

так что

cos ф J[cos 2ir(/, + f2)t + cos2;r(/, -f2)t]dt- 0 T ’ - sin ф J[sin27t(/, + f2)t + sin2Tt(/, -f2t)]dt = 0

(4.47)

что дает

(4.48)

= 0

или

(4.49)

(4.50) (4.51)

Отметим, что при произвольной фазе ф выражение (4.51) всегда справедливо, только ес­ли sin 2n(f\ -fi)T = 0 и при этом cos 2n(fi -fz)T = 1. Поскольку

и

cos х = 1 при х = 2кк, где пик — целые, условия sin х = 0 и cos jc = 1 удовлетворяются одновременно при п -2к. Следовательно, из формулы (4.51) для произвольного ф можем записать сле­дующее:

2n(f_t -£)Т= 2кк

или (4.52)

f\ ~fi - k/T.

Минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи FSK-модулированных сигналов с некогерентным детектированием получаем при k— 1, при этом

/,-/₂=1 IT. (4.53)

Напомним вопрос, сформулированный выше. Имея два тона fi= 10 ООО Гц и /₂ =

11 ООО Гц, мы спрашивали, являются ли они ортогональными? Теперь у нас достаточно информации для ответа на поставленный вопрос. Ответ связан со скоростью передачи сигналов FSK. Если манипуляция сигналами (переключение сигналов) происходит со скоростью 1 ООО символов/с и используется некогерентное детектирование, то сигналы ортогональны. Если манипуляция происходит быстрее, скажем со скоростью 10 ООО сим­волов/с, сигналы не ортогональны,

б) При некогерентном детектировании, рассмотренном в п. а, расстояние между тонами, пре­вращающее сигналы в ортогональные, было найдено посредством выполнения уравне­ния (4.45) для любой произвольной фазы. В случае когерентного детектирования расстояние между тонами находится, если положить ф = 0. Причина в том, что мы знаем фазу принятого сигнала (ее дает контур ФАПЧ). Этот принятый сигнал будет коррелировать с каждым опор­ным сигналом, причем в качестве фазы опорного сигнала используется фаза принятого сигна­ла. Уравнение (4.51) можно теперь переписать с учетом ф = 0:

sin 2K(f_t -f₂)T= 0 (4.54)

или

/,-/2 =пГ2Т. (4.55)

Минимальное расстояние между тонами для ортогональной передачи сигналов FSK с когерентным детектированием получаем при п — 1, при этом

/₁-/₂ = 1/27’. (4.56)

Следовательно, при одинаковых скоростях передачи символов когерентное детектирова­ние требует меньшей ширины полосы, чем некогерентное, обеспечивая при этом орто­гональную передачу сигналов. Можно сказать, что передача сигналов FSK с когерентным детектированием более эффективно использует полосу. (Вопрос эффективности использо­вания полосы подробно рассмотрен в главе 9.)

При когерентном детектировании тоны расположены более плотно, чем при некоге­рентном, поскольку, если расположить два периодических сигнала так, чтобы их началь­ные фазы совпадали, ортогональность будет получена автоматически в силу симметрии (четности и нечетности) соответствующих сигналов в течение одного периода передачи символа. Это является отличием от способа получения ортогональности в п. а, где мы не уделяли внимания фазе. В случае когерентного детектирования регулировка фазы в раз­рядах коррелятора означает, что мы можем расположить тоны ближе (по частоте) друг к другу, при этом по-прежнему поддерживая ортогональность в наборе тонов FSK. Вы можете доказать это самостоятельно, изобразив две синусоиды (или косинусоиды, или

последовательности прямоугольных импульсов). Начальная фаза всех сигналов должна быть одинаковой (удобнее всего взять ее равной 0 радиан). Используя миллиметровку, выберите удобную временную шкалу для представления одного периода передачи симво­ла Т. Изобразите тон с периодом Т, а затем изобразите другой тон, имеющий такую же начальную фазу, как и предыдущий, и период 2/3Т. Выполните численное суммирова­ние произведений тонов (смещенных относительно друг друга на 1/27) и докажите, что они действительно являются ортогональными.

4.6. Комплексная огибающая

Описание реальных модуляторов и демодуляторов облегчается при использовании комплексной формы записи, введенной в разделе 4.2.1. Любой реальный полосовой сигнал s(t) можно представить в комплексной форме как

j(r) = Re{*(/y^,e*}, (4.57)

где g(t) — комплексная огибающая, которую можно записать следующим образом:

g(t) = x(t) + iy(t) = |s(0|e'^e(0 = R(t)e^m. (4.58)

Амплитуда комплексной огибающей выражается как

R(t) = \g(t)\=Jx²(t) + y²(t), (4.59)

а фаза определяется следующим образом:

0(0 = arctg-^-. (4.60)

x(t)

В формуле (4.57) g(f) можно называть полосовым сообщением или данными в ком­плексной форме, а е'™⁰' — несущей в комплексной форме. Произведение этих двух величин представляет операцию модулирования, a s(t), действительная часть произве­дения, — это переданный сигнал. Следовательно, используя формулы (4.4), (4.57) и (4.58), s(t) можно выразить следующим образом:

s(t) = Re{[х(0 + iy(f)][cos city + / sin city]} = (4.61)

= x(t) cos city - y(t) sin city.

Отметим, что модулирование сигналов, выраженное в общей форме (a+ib), умножен­ное на (с + id), дает сигнал с переменой знака (в квадратурном члене несущей волны) вида ас - bd.

4.6.1. Квадратурная реализация модулятора

Рассмотрим видеосигнал g(t), который представлен последовательностью идеальных им­пульсов x(t) и у (г), передаваемых в дискретные моменты времени к = 1,2,.... Таким обра­зом, g(t), x(t) и y(t) в уравнении (4.58) можно записывать как g_k, х_к и у_к. Пусть значения ам­плитуд импульсов равны х_к=у_к=0,7(ЛА. При этом комплексную огибающую можно выра­зить в дискретной форме следующим образом:

g_k = x_k+ iy_k = 0,707.4 + i0,707A. (4.62)

Из комплексной алгебры знаем, что i = л/-Т, но с практической точки зрения i можно

рассматривать как “метку”, напоминающую, что мы не можем использовать обычное сложение при группировке членов в формуле (4.62). Далее мы будем рассматривать синфазную и квадратурную модуляции, х_к и у_к, как упорядоченную пару. Модулятор, реализованный по квадратурному принципу, показан на рис. 4.21, где можно видеть, что импульс х_к умножается на cos сад (синфазный компонент несущей), а импульс у_к — на sin сад (квадратурный компонент несущей). Процесс модулирования можно

кратко описать как умножение комплексной огибающей на е'“°' с последующей пе­редачей действительной части произведения. Итак, записываем следующее:

*(f) = Re{g_jtC“°°'} =

= Re{(х_к + iy_k)(cos сад + i sin сад)} = = x_k cos Oty - y_k sin Oty =

= 0,101 A cos сад — 0,707A sin сад =

Снова напомним, что квадратурный член несущей волны меняет знак в процессе мо­дуляции. Если в качестве опорного сигнала использовать 0,101 A cos сад, то переданный сигнал s(t) (уравнение (4.63)) опережает по фазе опорный на л/4. Если же в качестве опорного сигнала применить -0,707A sin сад, то переданный сигнал s(t) в уравне­нии (4.63) опаздывает по фазе относительно опорного на л/4. Графическая иллюстра­ция сказанного приведена на рис. 4.22.

0.707A

cos coot

Puc. 4.21. Модулятор, работающий no квадратурному принципу

4.6.2. Пример модулятора D8PSK

На рис. 4.23 изображена квадратурная реализация модулятора дифференциальной восьмифазной манипуляции (differential 8-PSK — D8PSK). Поскольку модуляция яв­ляется 8-ричной, то каждой фазе Дф* присваивается 3-битовое сообщение (х_к, у_к, z_k). Поскольку модуляция является разностной, то для каждого к-го времени передачи мы получим вектор данных ф_ь который можно записать как

Ф* — Аф* + Ф*-1-

г пара А Плппгпияа Mnnvnai 1ия и пемОЯ\ЛЛЯЦИЯ

Опорный сигнал 0,707 A cos <001

	Опережение 0,707 A cos (<oqf + я/2) = -0,707 A sin <ооt		Запаздывание 0,707 A cos (o>of - п/2) = 0,707 A sin «доt

А

п/2 ~ Опережение

■ л/2 Запаздывание

s(f) = 0,707 A (cos <oof - sin юof)

= A cos (<oof + л/4)

Опережает опорный сигнал 0.707А cos <ot на л/4

	Формирование импульса
Кодер
	О	Формирование
	импульса

Входной поток битов Хк Ук²к—»

Хк	Ук	2к	bfk		Фя — Фк	- 1 + Дф(с
			л/4	Положим фо = 0	к ~ 1	см II	/с = 3	к = А
			2я/4	ХкУкЪ
			Зя/4	Аф л:	л	л/4	л	Зп/4
			4я/4
			Ф&:	л	5л/4	л/4	л
5я/4
			6я/4	1:	-1	-0,707	0,707	-1
			7п/4	Q:		-0,707	0,707

Кодирование данных

Сложение текущего кодируемого сообщения, выраженного разностью фаз Дфь с предыдущей фазой ф*_1 обеспечивает дифференциальное кодирование сообщений. Последовательность векторов, созданная с использованием уравнения (4.64), подобна результатам дифференциального кодирования, полученного с помощью процедуры, описанной в разделе 4.5.2. Можно заметить (рис. 4.23), что в результате кодирования Дф* 3-битовыми последовательностями получаем не двоичную последовательность от ООО до 111, а специальный код, называемый кодом Грея (Gray code). (Преимущества использования подобного кода приведены в разделе 4.9.4.)

Пусть на вход модулятора, изображенного на рис. 4.23, в моменты времени k = 1, 2, 3, 4 поступают информационные последовательности 110, 001, 110, 010. Далее ис­пользуем таблицу кодирования данных, приведенную на рис. 4.23, формулу (4.64) и, кроме того, положим начальную фазу (момент времени к = 0) равной нулю: фо = 0. В мо­мент времени к = 1 дифференциальная информационная фаза, соответствующая набору *0^1 = 1Ю, равна ф^ 4я/4 = л. Считая амплитуду вращающегося вектора единичной, синфазный (/) и квадратурный (0 видеоимпульсы равны -1 и 0. Как показано на рис. 4.23, форму этих импульсов обычно задает фильтр (такой, как фильтр с характе­ристикой типа приподнятого косинуса).

Для момента к = 2 таблица на рис. 4.23 показывает, что сообщение 001 кодируется сдвигом фаз Дфз = я/4. Следовательно, согласно формуле (4.64), вторая дифференци­альная информационная фаза равна фг = л + л/4 = 5л/4, и в момент к = 2 синфазный и квадратурный видеоимпульсы равны, соответственно, х_к = -0,707 и у* = -0,707. Пере­данный сигнал имеет вид, приведенный в формуле (4.61):

s(t) = Re{(xj. + iy_k)(cos Gty + i sin City)} = = x_k cos Kty - y_k sin city.

Для сигнального множества, которое может представляться в координатах “фаза- амплитуда”, такого как MPSK или MQAM, уравнение (4.65) позволяет сделать инте­ресное наблюдение. Из него видно, что квадратурная реализация передатчика сводит все типы передачи сигналов к единственной амплитудной модуляции. Каждый вектор на плоскости передается посредством амплитудной модуляции его синфазной и квадратур­ной проекций на синусоидный и косинусоидный компоненты его несущей. В каждом случае процесс формирования импульса считается идеальным, т.е. предполагается, что информационные импульсы имеют идеальные прямоугольные формы. Таким образом, используя уравнение (4.65) для момента к = 2, при х_к = -0,707 и у* = -0,707, можно за­писать переданный сигнал s(t) следующим образом:

Дата добавления: 2015-10-28