Основы теории принятая статистических решений 1051 14 страница

то насколько большее отношение EJN₀ требуется теперь для получения необходимой вероятности ошибочного бита? В этом случае потребуется бесконечное увеличение. Другими словами, не существует такого EJN₀, которое позволило бы устранить про­блему. Если непреодолимое ухудшение описывается такой кривой, как показана на рис. 3.18, б, то никакое увеличение EJN₀ не может дать желаемого результата (предполагается, что нижняя точка пунктирной кривой находится выше требуемой вероятности Р_в). Безусловно, каждая кривая зависимости Р_в от E_tJN₀ имеет где-то нижнюю точку, но если эта точка находится далеко за областью, представляющей практический интерес, то она уже не имеет значения.

Итак, увеличение отношения ErfN₀ не всегда помогает решить проблему межсим­вольной интерференции (особенно если кривая зависимости Р_в от £,/%> выходит за об­ласть практического интереса). Это можно понять, взглянув на перекрывающиеся им­пульсы на рис. 3.15, б — увеличение отношения EJN₀ никак не влияет на длительность области перекрытия, и степень искажения импульсов не изменится. Так что же обычно противопоставляют искажающему эффекту межсимвольной интерференции? В данной ситуации наиболее приемлемым является метод, именуемый выравниванием (см. раз­дел 3.4). Поскольку причиной межсимвольной интерференции является искажение вследствие фильтрации в передатчике и канале, выравнивание можно рассматривать как процесс, компенсирующий подобные неоптимальные эффекты фильтрации.

Пример 3.3. Требования к ширине полосы

а) Найдите минимальную ширину полосы, требуемую для низкочастотной передачи последо­вательности четырехуровневых импульсов в кодировке РАМ со скоростью R = 2400 бит/с, если передаточная характеристика системы имеет вид приподнятого косинуса со 100%-ным избытком полосы (г= 1).

б) Та же последовательность модулируется несущей, так что теперь низкочастотный спектр смещен и центрирован на частоте /₀ Определите минимальную двустороннюю полосу, требуемую для передачи модулированной последовательности РАМ. Передаточная харак­теристика считается такой же, как и в п. а.

Решение

а) М = 2^к, поскольку М = 4 уровня, к = 2.

R 2400

Скорость передачи символов или импульсов R_s = — =---- = 1200 символов / с;

к 2

минимальная ширина полосы W = -у(1 + r)R_s = j(2)(l200) - 1200 Гц.

На рис. 3.19, а во временной области показан принятый видеоимпульс в кодировке РАМ; из выражения (3.79) получим функцию h(t). На рис. 3.19, б показан Фурье-образ функции h(t) — функция типа приподнятого косинуса. Отметим, что требуемая ширина полосы, W, находится в диапазоне от/=0 до/= 1/Т; она вдвое превышает теоретическую минимальную полосу по Найквисту.

б) Здесь, как и в п. а,

Rj = 1200 символов/с;

Wdsb = (1 + r)R_s = 2(1200) = 2400 Гц.

На рис. 3.20, а показан модулированный принятый импульс. Этот сигнал в кодировке РАМ можно рассматривать как произведение высокочастотной синусоидальной несущей и сигнала с формой импульса, показанной на рис. 3.19, а. Односторонний спектральный график на рис. 3.20, б показывает спектр модулированного сигнала, полоса которого вы­ражается следующей формулой:

Рис. 3 19. Сформированный импульс и низкочастотный спектр типа припод­нятого косинуса

h(t-t0) fo - T to to + T

H(f)

О

fo+1/Т

fo-

Wbse = (fo ^+ 1/7) - (fo - 1/7) = 2/7 6)

a)

Puc. 3.20. Модулированный сформированный импульс и двухполосный модули­рованный спектр типа приподнятого косинуса

При смещении вверх по частоте спектра, показанного на рис. 3.19, а, смещаются отрица­тельная и положительная половины низкочастотного спектра, таким образом требуемая по­лоса передачи дублируется. Как указывает название, двусторонний сигнал имеет две боко­вые полосы: верхнюю боковую полосу (upper sideband — USB), получаемую из положитель­ной половины низкочастотного сигнала, и нижнюю боковую полосу (lower sideband — LSB), получаемую из отрицательной половины.

Пример 3.4. Цифровые телефонные каналы

Сравните требования к ширине полосы системы для наземного аналогового телефонного канала передачи в речевом диапазоне (3 кГц) и цифрового канала. Для цифрового канала речь форматируется как поток битов в кодировке РСМ с частотой дискретизации аналого- цифрового преобразователя 8000 выборок/с. Каждая речевая выборка квантуется одним из 256 уровней. Затем поток битов передается с использованием сигналов РСМ и принимается с нулевой межсимвольной интерференцией.

Решение

Процесс дискретизации и квантования дает PCM-слова, каждое из которых представляет одну выборку и относится к одному из L = 256 различных уровней. Если каждая выборка передается как 256-уровневый РАМ-импульс (символ), то из формулы (3.82) получим ширину полосы (без межсимвольной интерференции), требуемую для передачи R_s символов/с:

W > —Гц. 2

Здесь равенство достигается только при использовании идеальной фильтрации Найквиста. Поскольку цифровая телефонная система использует (двоичные) сигналы РСМ, каждое сло­во РСМ преобразовывается в / = log? L = log₂ 256 = 8 бит. Следовательно, полоса, необходи­мая для передачи речи с использованием РСМ, равна следующему выражению:

Wpc_M > (log₂ L) —■ Гц >

> i(8 бит/символ) (8000 симолов/с) = 32 кГц.

Описанный аналоговый канал передачи речи (3 кГц) обычно требует полосы порядка 4 кГц, включая некоторые разделительные полосы между каналами, называемые защитными (guard band). Следовательно, при использовании формата РСМ, 8-битового квантования и двоич­ной передачи с сигналами РСМ требуется примерно в 8 раз большая полоса, чем при ис­пользовании аналогового канала.

3.3.3. Демодуляция/детектирование сформированных импульсов

3.3.3.1. Согласованные и обычные фильтры

Обычные фильтры отсекают нежелательные спектральные компоненты принятого сигнала при поддержании некоторой точности воспроизведения сигналов в выбран­ной области спектра, называемой полосой пропускания (pass-band). В общем случае эти фильтры разрабатываются для обеспечения приблизительно одинакового усиления, линейного увеличения фазы в зависимости от частоты в пределах полосы пропуска­ния и минимального поглощения в остальной части спектра, именуемой полосой за­граждения (stop-band). Согласованный фильтр имеет несколько иные “проектные приоритеты”, направленные на максимизацию отношения сигнал/шум известного сигнала при шуме AWGN. В обычных фильтрах используются случайные сигналы, и результат фильтрации определяется только полосами сигналов, тогда как согласован­ные фильтры предназначены для известных сигналов, имеющими случайные парамет­ры (такие, как амплитуда и время). Согласованный фильтр можно рассматривать как шаблон, который согласовывает обрабатываемый сигнал с известной формой. Обыч­ный фильтр сохраняет временную или спектральную структуру сигнала. Согласован­ный фильтр, наоборот, в значительной степени модифицирует временную структуру путем сбора энергии сигнала, которая согласовывается с его шаблоном, и в заверше­ние каждого интервала передачи символа представляет результат фильтрации в виде значения максимальной амплитуды. Вообще, в цифровой связи приемник обрабаты­вает поступающие сигналы с помощью фильтров обоих типов. Задачей обычного фильтра является изоляция и извлечение высокоточной аппроксимации сигнала с по­следующей передачей результата согласованному фильтру. Согласованный фильтр на­капливает энергию принятого сигнала, и в момент взятия выборки (t = Т) на выход фильтра подается напряжение, пропорциональное этой энергии, после чего следует детектирование и дальнейшая обработка сигнала.

3.3.3.2. Импульсы Найквиста

Рассмотрим последовательность информационных импульсов на входе передатчика и последовательность импульсов, получаемую на выходе согласованного фильтра с ха­рактеристикой типа приподнятого косинуса (перед дискретизацией). На рис. 3.21 пе­реданные данные представлены импульсными сигналами, которые появляются в мо­менты времени т₀, "ti,.... Фильтрование приводит к расширению входных сигналов, а следовательно, к запаздыванию их во времени. Время поступления импульсов обозна­чим f₀, f_b.... Импульс, переданный в момент времени т₀, поступает в приемник в мо­мент времени t₀. Хвост, предшествующий основному лепестку демодулированного импульса, называется его предтечей (precursor). Для реальной системы с фиксирован­ным системным эталонным временем принцип причинности предписывает условие f₀ > т₀, а разность времен Tq - /₀ выражает задержку распространения в системе. В дан­ном примере интервал времени от начала предтечи демодулированного импульса и до появления его главного лепестка или максимальной амплитуды равен ЗГ (утроенное время передачи импульса). Каждый выходящий импульс последовательности накла­дывается на другие импульсы; каждый импульс воздействует на основные лепестки трех предшествующих и трех последующих импульсов. В подобном случае, когда им­пульс фильтруется (формируется) так, что занимает более одного интервала передачи символа, определяется параметр, называемый временем поддержки (support time) им­пульса. Время поддержки — это количество интервалов передачи символа в течение длительности импульса. На рис. 3.21 время поддержки импульса равно 6 интервалам передачи символа (7 информационных точек с 6 интервалами между ними).

-t^Th

Время поддержки импульса Рис. 3.21. Фильтрованная последовательность импульсов: выход и вход

На рис. 3.22, а показан импульсный отклик фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса (максимальное значение нормированного фильтра равно единице, коэффициент сглаживания фильтра г = 0,5), а на рис. 3.22, б изображен им­пульсный отклик фильтра с характеристикой типа приподнятого косинуса, называе­мый импульсом Найквиста (нормирование и значение коэффициента сглаживания та­кие же, как и на рис. 3.22, а). Изучая эти два импульса, можно заметить, что они очень похожи. Однако первый имеет несколько более частые переходы, а значит, его спектр (корень квадратный из приподнятого косинуса) не так быстро затухает, как спектр (приподнятый косинус) импульса Найквиста. Еще одним малозаметным, но важным отличием является то, что импульс Найквиста с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса не дает нулевой межсимвольной интерференции (можно проверить, что хвосты импульса на рис. 3.22, а не проходят через точку нулевой ам­плитуды в моменты взятия выборок). В то же время, если фильтр с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса используется и в передатчике, и в приемнике, произведение передаточных функций двух фильтров дает характеристику типа припод­нятого косинуса, что означает нулевую межсимвольную интерференцию на выходе.

Было бы неплохо рассмотреть, как импульсы Найквиста с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса выглядят на выходе передатчика и какую форму они имеют после демодуляции с фильтром, характеристика которого также представляет собой корень из приподнятого косинуса.

Рис. 3.22, а. Импульс Найквиста с характери­стикой типа корня из приподнятого косинуса

Рис. 3.22, 6. Импульс Найквиста с характери­стикой типа приподнятого косинуса

На рис. 3.23, а в качестве примера передачи приведена последовательность символов со­общения {+1 +1 -1 +3 +1 +3} из четверичного набора символов, где алфавит состоит из символов {±1, +3}. Будем считать, что импульсы модулируются с помощью четверичной кодировки РАМ, а их форма определяется фильтром с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса с коэффициентом сглаживания г = 0,5. Аналоговый сигнал на рис. 3.23, а описывает выход передатчика. Сигнал на выходе (последовательность им­пульсов Найквиста, форма которых получена с выхода фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса) запаздывает относительно сигнала на входе (показанного в виде импульсов), но для удобства визуального представления, чтобы чи­татель мог сравнить выход фильтра с его входом, оба сигнала изображены как одновре­менные. В действительности передается (или модулируется) только аналоговый сигнал.

На рис. 3.23, б показаны те же задержанные символы сообщения, а также сигнал с выхода согласованного фильтра с характеристикой типа корня из приподнятого

Существует простой тест, позволяющий проверить, содержит ли фильтрованный сигнал с выхода межсимвольную интерференцию (предполагается отсутствие шума). Для этого тре­буется всего лишь произвести выборку фильтрованного сигнала в моменты времени, соот­ветствующие исходным входным выборкам; если полученные сигналы в результате выбор­ки не отличаются от выборок исходного сообщения, то сигналы с выхода фильтра имеют нулевую межсимвольную интерференцию (в моменты взятия выборок). При сравнении рис. 3.23, а и 3.23, б на предмет межсимвольной интерференции видно, что дискретизация сигнала Найквиста на рис. 3.23, а (выход передатчика) не дает точных исходных выборок; в то же время дискретизация сигнала Найквиста на рис. 3.23, б (выход согласованного фильтра) дает точные исходные выборки. Это еще раз подтверждает, что фильтр Найкви­ста дает нулевую межсимвольную интерференцию в моменты взятия выборок, тогда как другие фильтры не имеют такой особенности.

3.4. Выравнивание

3.4.1. Характеристики канала

Многие каналы связи (например, телефонные или беспроводные) можно охарактери­зовать как узкополосные линейные фильтры с импульсной характеристикой h_c(t) и частотной характеристикой

H_c(f) = \H_c(f)W^9Af), <³-⁸²)

где h_c(t) и H_c(f) — Фурье-образы друг друга, \H_c(j)\ — амплитудная характеристика кана­ла, a Q_c(j) — фазовая характеристика канала.

Рис. 3.23, 6. Выход фильтра с характеристикой типа приподнятого косинуса и входные дискретные значения, задержанные на некоторое время

В разделе 1.6.3 было показано, что для получения идеальных (неискажающих) пере­дающих характеристик канала в пределах полосы сигнала W, функция \H_C(J)\ должна быть константой. Кроме того, 0_c(f) должна быть линейной функцией частоты, что эк­вивалентно утверждению “запаздывание должно быть постоянным для всех спек­тральных компонентов сигнала”. Если \H_c(f)\ не является константой в пределах поло­сы W, то канал будет искажать амплитуду сигнала. Если Q_c(f) не является линейной функцией частоты в пределах полосы W, канал будет искажать фазу. Во многих кана­лах, искажающих подобным образом информацию, например каналах с замираниями, искажение фазы и амплитуды обычно проявляется одновременно. При передаче по­следовательности импульсов подобное искажение проявляется в виде рассеивания или “размывания” импульсов, так что ни один импульс принятой демодулированной по­следовательности не определяется однозначно. В разделе 3.3 описывалось перекрытие импульсов, известное как межсимвольная интерференция. Это эффект, который прояв­ляется в большинстве систем модуляции и является одной из основных помех надеж­ной высокоскоростной передачи по низкочастотным каналам. Совокупность методов обработки или фильтрации сигнала, направленных на устранение или снижение меж­символьной интерференции, именуется как “выравнивание” и рассматривается в дан­ном разделе.

На рис. 2.1 выравнивание разбито на две большие категории. Первая категория, оценка последовательности с максимальным правдоподобием (maximum-likelihood sequence estima­tion — MLSE), подразумевает измерение h,(t) с последующей подстройкой приемника под требования передачи. Цель такой подстройки — позволить детектору произвести точную оценку демодулированной искаженной последовательности импульсов. При использова­нии приемника MLSE искаженные выборки не изменяются и не проходят этап непосред­ственной компенсации последствий помех; вместо этого приемник перенастраивается так, чтобы максимально эффективно работать с искаженными выборками. (Пример этого ме­тода, известный как выравнивание Витерби, рассмотрен в разделе 15.7.1.) Вторая катего­рия, выравнивание с помощью фильтров, включает использование фильтров для компенса­ции искажения импульсов. В этом случае детектору предоставляется последовательность демодулированных выборок, модифицированных или “очищенных” эквалайзером от по­следствий межсимвольной интерференции. Выравнивание с помощью фильтров (более популярный подход из двух описанных выше) также имеет несколько подтипов. Фильтры могут быть линейными устройствами, содержащими только элементы с прямой связью (трансверсальные эквалайзеры), или нелинейными, включающими элементы с обратной связью (эквалайзеры с обратной связью по решению). Кроме того, фильтры могут различать­ся алгоритмом работы, который может быть заданным или адаптивным. Также они могут различаться разрешением или частотой обновления. Если выборки производятся только в пределах символа, т.е. одна выборка на символ, то это символьное разделение. Если каждому символу соответствует несколько выборок, то это фракционное разделение.

Модифицируем уравнение (3.77), заменив принимающий/выравнивающий фильтр отдельными (принимающим и выравнивающим) фильтрами, определяемыми частот­ными передаточными функциями HJif) и H_e(f). Будем также считать, что общая пере­даточная функция системы H(f) имеет вид приподнятого косинуса, и обозначим ее H_RC{f). Таким образом, можем записать следующее:

IhcW = H/J) H_c(j) H_r(f) HJJ). (3.83)

В системах, представляющих практический интерес, частотная передаточная функция системы H_c(j) и ее импульсная характеристика h₍(t) не известны с точностью, доста­точной для разработки приемника, который в любой момент времени дает нулевую межсимвольную интерференцию. Передающий и принимающий фильтры, как прави­ло, выбираются так, чтобы

H_Rdf) = H,(J) H/J) (3.84)

Таким образом, характеристики H,(f) и НХ>) имеют вид корней из приподнятого косину­са. Следовательно, передаточная функция эквалайзера, необходимая для компенсации искажения, внесенного каналом, является обратно пропорциональной передаточной функции канала:

Я_е(/) = —-— = •:—(3.85) H_c(f) \H_c{f)\

Иногда частотная передаточная функция системы допускает межсимвольную интер­ференцию в специально выбранных точках дискретизации (например, передаточная функция гауссового фильтра). Такие передаточные функции позволяют повысить эф­фективность использования полосы, по сравнению с фильтром с характеристикой типа приподнятого косинуса. При выборе такого конструкторского решения выравнивающий фильтр должен компенсировать не только внесенную каналом межсимвольную интер­ференцию, но и межсимвольную интерференцию, внесенную передающим и прини­мающим фильтрами [7].

3.4.2. Глазковая диаграмма

Глазковая диаграмма — это изображение, полученное в результате измерения отклика сис­темы на заданные низкочастотные сигналы. На вертикальные пластины осциллографа по­дается отклик приемника на случайную последовательность импульсов, а на горизонталь­ные — пилообразный сигнал сигнальной частоты. Другими словами, горизонтальная вре­менная развертка осциллографа устанавливается равной длительности символа (импульса). В течение каждого сигнального промежутка очередной сигнал накладывается на семейство кривых в интервале (0, 7). На рис. 3.24 приведена глазковая диаграмма, получаемая при двоичной антиподной (биполярные импульсы) передаче сигналов. Поскольку символы по­ступают из случайного источника, они могут быть как положительными, так и отрица­тельными, и отображение послесвечения электронного луча позволяет видеть изображе­ние, имеющее форму глаза. Ширина открытия глаза указывает время, в течение которого должна быть произведена выборка сигнала. Разумеется, оптимальное время взятия выбор­ки соответствует максимально распахнутому глазу, что дает максимальную защиту от воз­действия помех. Если в системе не используется фильтрация, т.е. если передаваемым ин­формационным импульсам соответствует бесконечная полоса, то отклик системы дает им­пульсы идеальной прямоугольной формы. В этом случае диаграмма будет выглядеть уже не как глаз, а как прямоугольник. Диапазон разностей амплитуд, обозначенный через D_A, яв­ляется мерой искажения, вызванного межсимвольной интерференцией, а диапазон разно­стей времен перехода через нуль, обозначенный через J_T, есть мерой неустойчивой син­хронизации. На рисунке также показана мера запаса помехоустойчивости M_N и чувстви­тельность к ошибкам синхронизации S_T. Чаще всего глазковая диаграмма используется для качественной оценки степени межсимвольной интерференции. По мере закрытия глаза межсимвольная интерференция увеличивается, а по мере открытия — уменьшается.

Оптимальное время взятия выборки Рис. 3.24. Глазковая диаграмма

3.4.3. Типы эквалайзеров

3.4.3.1. Трансверсальный эквалайзер

В качестве тестовой последовательности, используемой для выравнивания, часто выби­рается шумоподобная последовательность с широкополосным спектром, с помощью кото­рой оценивается отклик канала. В простейшем смысле настройка может заключаться в пе­редаче простого короткого импульса (приблизительно, идеального импульса) с последую­щим изучением импульсного отклика канала. На практике в качестве тестовой последовательности предпочтителен не одиночный импульс, а псевдошумовой сигнал, по­скольку последний имеет большую среднюю мощность, а значит, большее отношение сиг­нал/шум при одинаковых максимальных переданных мощностях. Для изучения трансвер- сального фильтра предположим, что через систему был передан единственный импульс^ причем система спроектирована таким образом, что общая передаточная функция имеет

вид приподнятого косинуса H_RC = H,(f) HJJ). Также будем считать, что канал вводит меж- символьную интерференцию, так что принятый демодулированный импульс искажается, как показано на рис. 3.25, поэтому боковые лепестки, ближайшие к главному лепестку импульса, не проходят через нуль в моменты взятия выборок. Искажение можно рассмат­ривать как положительное или отрицательное отражение, появляющееся до и после глав­ного лепестка. Для получения желаемой передаточной функции с характеристикой типа приподнятого косинуса выравнивающий фильтр, как следует из уравнения (3.85), должен иметь частотный отклик HJf), тогда отклик канала при умножении на H_e(f) будет H_RC(f). Другими словами, мы хотим, чтобы выравнивающий фильтр вырабатывал набор подав­ляющих отражений. Поскольку нас интересуют выборки выровненного сигнала только в определенные моменты времени, проектирование подобного выравнивающего фильтра может быть довольно простой задачей.

0,9

Трансверсальный фильтр, изображенный на рис. 3.26, — это наиболее популярная форма легко настраиваемого выравнивающего фильтра, состоящего из канала задержки с отводами задержки на Т секунд (где Т — длительность символа). В подобном эквалайзере текущее и предыдущее значения принятого сигнала линейно взвешиваются коэффициен­тами эквалайзера или весовыми коэффициентами отводов {с„}, а затем суммируются для формирования выхода. Основной вклад вносит центральный отвод; вклады остальных от­водов связаны с отражениями основного сигнала в течение последующих (и предыдущих) интервалов Т. Если бы можно было создать фильтр с бесконечным числом отводов, можно было бы так подобрать весовые коэффициенты, чтобы импульсный отклик системы рав­нялся всегда нулю, за исключением моментов взятия выборок; таким образом HJJ) была бы точно равна обратной передаточной функции канала в формуле (3.85). Несмотря на то что фильтр- с бесконечным числом отводов не относится к числу реализуемых, все же можно создать фильтр, достаточно хорошо аппроксимирующий идеальный случай.

На рис. 3.26 выходы взвешенных отводов усиливаются, суммируются и подаются на устройство принятия решения. Весовые коэффициенты отводов {с„} должны выби­раться так, чтобы вычитать эффекты интерференции из символов, соседствующих во времени с искомым символом. Предположим, что существует (2N+ 1) отводов с весо­выми коэффициентами с^,_+и..., c_N. Выборки на выходе эквалайзера {z(fc)} находят­ся путем следующей свертки выборок на входе {х(к)} и весовых коэффициентов {с„}:

N

z(k) = 'Y_Jx(k-n)c_n k = -2N,...,2N n=-N,...,N, (3.86)

n = -N

где & = 0, ±1, ±2,...— временные коэффициенты, показанные в круглых скобках. (Время может быть как положительным, так и отрицательным.)

Хк

-Ук

Рис. 3.26. Трансверсальный филыпр

Коэффициент п используется для обозначения смешения во времени и как иденти­фикатор коэффициентов фильтра (адрес фильтра). В последнем случае п показан как индекс. Если ввести векторы г и с и матрицу х

	'z(-2N)		^C-N
Z =	z(0)	с =	^CQ
	z(2N)		Сдг

х(гЩ О О

х (-N + 1) x(-N) О

x(N) x(N - 1) x(N - 2)

	О О		О о		x(N) О		x(N -1) x(N)

то соотношение между (г(£)}, {*(£)} и {с„} можно записать в более компактной форме:

z = xc. (3.89,а)

Если матрица х является квадратной, а число строк и столбцов соответствует числу элементов вектора с, то с можно выразить в следующем виде:

С = х'¹ z.

Отметим, что в общем случае размер вектора г и число строк матрицы х могут быть лю­быми, поскольку нас может интересовать межсимвольная интерференция в точках взя­тия выборок, достаточно удаленных от основного лепестка рассматриваемого импульса.

Дата добавления: 2015-10-28