Основы теории принятая статистических решений 1051 4 страница

.1 О I г Г

д)

Рис. 1.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности

Высокая скорость передачи битов +1

О -1 +1 О -1 +1

и е) и

Xft-и)

Rx(Tl) = lim U^WXMXd-i,|rt 0 — Г-»» 7 J-T/2

-1

3)

1 - ДЛЯ I т I < Т О для I тI > Г

_ j ("sin nfT\^z

K)

Рис. 1.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность мощности (окончание)

Предположим, что сигнал перемещается очень медленно (сигнал имеет малую ши­рину полосы). Если мы будем смещать копию сигнала вдоль оси т, задавая на каждом этапе смещения вопрос, насколько соответствуют друг другу копия и оригинал, соответ­ствие достаточно долго будет довольно сильным. Другими словами, треугольная авто­корреляционная функция (рис. 1.6, г и формула 1.37) будет медленно спадать с ростом т. Предположим теперь, что сигнал меняется достаточно быстро (т.е. имеем большую по­лосу). В этом случае даже небольшое изменение т приведет к тому, что корреляция бу­дет нулевой и автокорреляционная функция будет иметь очень узкую форму. Следова­тельно, сравнение автокорреляционных функций по форме дает нам некоторую инфор­
мацию о ширине полосы сигнала. Функция спадает постепенно? В этом случае имеем сигнал с узкой полосой. Форма функции напоминает узкий пик? Тогда сигнал имеет широкую полосу.

Автокорреляционная функция позволяет явно выражать спектральную плотность мощности случайного сигнала. Поскольку спектральная плотность мощности и авто­корреляционная функция являются Фурье-образами друг друга, спектральную плот­ность мощности, Gx(f), случайной последовательности биполярных импульсов можно найти как Фурье-преобразование функции Лд{т), аналитическое выражение которой дано в уравнении (1.37). Для этого можно использовать табл. А.1. Заметим, что

(1.38)

где

sin яу

sine у =---------

Яу

Общий вид функции Gxif) показан на рис. 1.6, д.

Отметим, что площадь под кривой спектральной плотности мощности пред­ставляет собой среднюю мощность сигнала. Одной из удобных оценок ширины по­лосы является ширина основного спектрального лепестка (см. раздел 1.7.2). На рис. 1.6, д показано, что ширина полосы сигнала обратно пропорциональна дли­тельности символа или ширине импульса. Рис. 1.6, е—к формально повторяют рис. 1.6, а—д, за исключением того, что на последующих рисунках длительность импульса меньше. Отметим, что для более коротких импульсов функция ft*(T) доке (рис. 1.6, и), чем для более длинных (рис. 1.6, г). На рис. 1.6, и R_x(x_l) = 0; другими словами, в случае меньшей длительности импульса смещения на достаточно для создания нулевого соответствия или для полной потери корреляции между смещенными последовательностями. Поскольку на рис. 1.6, е длительность им­пульса Т меньше (выше скорость передачи импульса), чем на рис. 1.6, а, заня­тость полосы на рис. 1.6, к больше занятости полосы для более низкой скорости передачи импульсов, показанной на рис. 1.6, д.

1.5.5. Шум в системах связи

Термин “шум” обозначает нежелательные электрические сигналы, которые всегда присутствуют в электрических системах. Наличие шума, наложенного на сигнал, “затеняет”, или маскирует, сигнал; это ограничивает способность приемника прини­мать точные решения о значении символов, а следовательно, ограничивает скорость передачи информации. Природа шумов различна и включает как естественные, так и искусственные источники. Искусственные шумы — это шумы искрового зажигания, коммутационные импульсные помехи и шумы от других родственных источников электромагнитного излучения. Естественные шумы исходят от атмосферы, солнца и других галактических источников.

Хорошее техническое проектирование может устранить большинство шумов или их нежелательные эффекты посредством фильтрации, экранирования, выбора моду­ляции и оптимального местоположения приемника. Например, чувствительные ра­
диоастрономические измерения проводятся, как правило, в отдаленных пустынных местах, вдали от естественных источников шума. Впрочем, существует один естест­венный шум, называемый тепловым, который устранить нельзя. Тепловой шум [4, 5] вызывается тепловым движением электронов во всех диссипативных компонентах — резисторах, проводниках и т.п. Те же электроны, которые отвечают за электропрово­димость, являются причиной теплового шума.

Тепловой шум можно описать как гауссов случайный процесс с нулевым средним. Гауссов процесс n(t) — это случайная функция, значение которой п в произвольный момент времени t статистически характеризуется гауссовой функцией плотности веро­ятностей:

(1.40)

где о² — дисперсия и. Нормированная гауссова функция плотности процесса с нуле­вым средним получается в предположении, что а= 1. Схематически нормированная функция плотности вероятностей показана на рис. 1.7.

Далее мы часто будем представлять случайный сигнал как сумму случайной пере­менной, выражающей гауссов шум, и сигнала канала связи:

z = a + п.

Здесь z — случайный сигнал, а — сигнал в канале связи, а и — случайная переменная, выражающая гауссов шум. Тогда функция плотности вероятности p(z) выражается как

(1.41)

где, как и выше, о² — дисперсия и.

0,399

-<*>... -3-2-10 1 2 3

п

Рис. 1.7. Нормированная (0=1) гауссова функция плотности вероятности

Гауссово распределение часто используется как модель шума в системе, поскольку существует центральная граничная теорема [3], утверждающая, что при весьма общих условиях распределение вероятностей суммы j статистически независимых случайных переменных подчиняется гауссовому распределению при j -> причем вид отдельных функций распределения не имеет значения. Таким образом, даже если отдельные слу­чайные процессы будут иметь негауссово распределение, распределение вероятностей совокупности многих таких процессов будет стремиться к гауссовому распределению.

1.5.5.1. Белый шум

Основной спектральной характеристикой теплового шума является то, что его спектральная плотность мощности одинакова для всех частот, представляющих интерес для большинства систем связи; другими словами, источник теплового шума на всех частотах излучает с равной мощностью на единицу ширины полосы — от постоянной составляющей до частоты порядка 10¹² Гц. Следователь­но, простая модель теплового шума предполагает, что его спектральная плотность мощности G„(f) равномерна для всех частот, как показано на рис. 1.8, а, и запи­сывается в следующем виде:

G„U) = ^f Вт/Гц. (1-42)

Здесь коэффициент 2 включен для того, чтобы показать, что G„(J) — двусторонняя спектральная плотность мощности. Когда мощность шума имеет такую единообраз­ную спектральную плотность, мы называем этот шум белым. Прилагательное “белый” используется в том же смысле, что и для белого света, содержащего равные доли всех частот видимого диапазона электромагнитного излучения.

G„(f) я„(т)

Wo/2

о

а)

Рис. 1.8. Белый шум. а) спектральная плотность мощности; б) автокорре­ляционная функция

Автокорреляционная функция белого шума дается обратным преобразованием Фу­рье спектральной плотности мощности шума (см. табл. А.1) и записывается следую­щим образом:

Л_п(т) = Г¹{С„(/)} = ^:^-8(т).

Таким образом, автокорреляционная функция белого шума — это дельта-функция с весом No/2, находящаяся в точке т = 0, как показано на рис. 1.8, б. Отметим, что R„(т) равна нулю для т * 0, т.е. две различные выборки белого шума не коррелируют, вне зависимости от того, насколько близко они находятся.

Средняя мощность Р_п белого шума бесконечна, поскольку бесконечна ширина по­лосы белого шума. Это можно увидеть, получив из уравнений (1.19) и (1.42) следую­щее выражение:

(1.44)

Хотя белый шум представляет собой весьма полезную абстракцию, ни один случай­ный процесс в действительности не может быть белым; впрочем, шум, появляющийся во многих реальных системах, можно предположительно считать белым. Наблюдать такой шум мы можем только после того, как он пройдет через реальную систему, имеющую конечную ширину полосы. Следовательно, пока ширина полосы шума су­щественно больше ширины полосы, используемой системой, можно считать, что шум имеет бесконечную ширину полосы.

Дельта-функция в уравнении (1.43) означает, что случайный сигнал n(t) абсо­лютно не коррелирует с собственной смещенной версией для любого т > 0. Урав­нение (1.43) показывает, что любые две выборки процесса белого шума не корре­лируют. Поскольку тепловой шум — это гауссов процесс и его выборки не корре­лируют, выборки шума также являются независимыми [3]. Таким образом, воздействие канала с аддитивным белым гауссовым шумом на процесс детектирова­ния состоит в том, что шум независимо воздействует на каждый переданный сим­вол. Такой канал называется каналом без памяти. Термин “аддитивный” означает, что шум просто накладывается на сигнал или добавляется к нему — никаких мультипликативных механизмов не существует.

Поскольку тепловой шум присутствует во всех системах связи и для большинства сис­тем является заметным источником шума, характеристики теплового шума (аддитивный, белый и гауссов) часто применяются для моделирования шума в системах связи. Посколь­ку гауссов шум с нулевым средним полностью характеризуется его дисперсией, эту модель особенно просто использовать при детектировании сигналов и проектировании оптималь­ных приемников. В данной книге мы будем считать (если не оговорено противное), что система подвергается искажению со стороны аддитивного белого гауссового шума с нулевым средним, хотя иногда такое упрощение будет чересчур сильным.

1.6. Передача сигнала через линейные системы

После того как мы разработали набор моделей для сигнала и шума, рассмотрим характери­стики систем и их воздействие на сигналы и шумы. Поскольку систему с равным успехом можно охарактеризовать как в частотной, так и во временной области, для обоих областей были разработаны методы, позволяющие анализировать отклик линейной системы на произвольный входной сигнал. Сигнал, поданный на вход системы (рис. 1.9), можно опи­сать либо как временной сигнал, x(t), либо через его Фурье-образ, X(f). Использование вре­менного анализа дает временной выход y(t), и в процессе будет определена функция h(t), импульсная характеристика, или импульсный отклик, сети. При рассмотрении ввода в час­тотной области мы найдем для системы частотную передаточную функцию H(f), которая определит частотный выход Y(f). Предполагается, что система линейна и инвариантна от­носительно времени. Также предполагается, что система не имеет скрытой энергии на мо­мент подачи сигнала на вход.

1.6. Передача сигнала через линейные системы

	Линейная
	сеть

h(t) т

Рис. 1.9. Линейная система и ее ключевые параметры

1.6.1. Импульсная характеристика

Линейная, инвариантная во времени система или сеть, показанная на рис. 1.9, опи­сывается (во временной области) импульсной характеристикой h(t), представляющей собой реакцию системы при подаче на ее вход единичного импульса 8(f).

A(f)=3<f) при *(f) = 8(f) (1-45)

Рассмотрим термин “импульсный отклик”, крайне подходящий для данного случая. Описание характеристик системы через ее импульсный отклик имеет прямую физиче­скую интерпретацию. На вход системы мы подаем единичный импульс (нереальный сигнал, имеющий бесконечную амплитуду, нулевую ширину и единичную площадь), как показано на рис. 1.10, а. Подачу такого импульса в систему можно рассматривать как “мгновенный удар”. Как отреагирует (“откликнется”) система на такое примене­ние силы (импульс) на входе? Выходной сигнал hit) — это и есть импульсный отклик системы. (Возможный вид этого отклика показан на рис. 1.10, б.)

Отклик сети на произвольный сигнал x{t) является сверткой x(t) с h{t), что записы­вается следующим образом:

y(t) = x(t) * h(t) = Jx(T)/i(f - т) dx. (1.46)

Вход, Выход,

x(f) = S(f> y(t) = h(t)

-U -K-

0 0

a) 6)

Puc. 1.10. Иллюстрация понятия “импульсный отклик”: а) входной сигнал х(1) является еди­ничной импульсной функцией; б) выходной сиг­нал y(t) — импульсным откликом системы h(t)

Здесь знак обозначает операцию свертки (см. раздел А.5). Система предполагается причинной, что означает отсутствие сигнала на выходе до момента времени t = 0, ко­гда сигнал подается на вход. Следовательно, нижняя граница интегрирования может быть взята равной нулю, и выход y(t) можно выразить несколько иначе:

оо

y(t)= jx(T)/i(f - т) dx (1.47,а)

о

y{t) = Jjc(r - т)Л(т) di. (1.47,6)

о

Выражения в уравнениях (1.46) и (1.47) называются интегралами свертки. Свертка (convolution) — это фундаментальный математический аппарат, играющий важную роль в понимании всех систем связи. Если читатель не знаком с этой операцией, ему стоит обратиться к разделу А.5, где приводится вывод уравнений (1.46) и (1.47).

1.6.2. Частотная передаточная функция

Частотный выходной сигнал Y(j) получаем при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения (1.46). Поскольку свертка во временной области превращает­ся в умножение в частотной (и наоборот), из уравнения (1.46) получаем следующее:

Y(f)=X(f)H(f) (1.48)

или

H(f)=!LO-. (1.49)

X(f)

(Подразумевается, конечно, что X(f)* 0 для всех /.) Здесь H(f) = ${h{t)}, Фурье-образ импульсного отклика, называемый частотной передаточной функцией, частотной ха­рактеристикой, или частотным откликом сети. В общем случае функция #(/) является комплексной и может быть записана как

//(/) = \H(f)\e^m, (1.50)

где \H(f)\ — модуль отклика. Фаза отклика определяется следующим образом:

_Q(f)=aictgMmm, ₍₁.51)

^SR е{Я(/)}

(Re и Im обозначают действительную и мнимую части аргумента).

Частотная передаточная функция линейной, инвариантной во времени сети может лег­ко измеряться в лабораторных условиях — с генератором гармонических колебаний на входе схемы и осциллографом на выходе. Если входной сигнал x(t) выразить как

x(t) - A cos 2л/q/,

то выход можно записать следующим образом:

У(г) = А |//(/о)| cos [2%fy + 0(/о)]. (1.52)

Входная частота /₀ смещается на интересующее нас значение; таким образом, измере­ния на входе и выходе позволяют определить вид Q(f).

1.6.2.1. Случайные процессы и линейные системы

Если случайный процесс поступает на вход линейной, инвариантной во времени системы, то на выходе этой системы получим также случайный процесс. Иными сло­вами, каждая выборочная функция входного процесса вызывает выборочную функ­цию выходного процесса. Входная спектральная плотность мощности Gx(f) и выходная спектральная плотность мощности G^j) связаны следующим соотношением:

1.6. Передача сигнала через линейные системы

G_itf) = G_x(f) (1.53)

Уравнение (1.53) представляет простой способ нахождения спектральной плотности мощности на выходе линейной, инвариантной во времени системы при подаче на вход случайного процесса.

В главах 3 и 4 мы рассмотрим детектирование сигналов в гауссовом шуме. Основное свойство гауссовых процессов будет применено к линейной системе. Будет показано, что если гауссов процесс X(t) подается на инвариантный во времени линейный фильтр, то слу­чайный процесс Y(t), приходящий на выход, также является гауссовым [6].

1.6.3. Передача без искажений

Что необходимо для того, чтобы сеть вела себя как идеальный канал передачи? Сигнал на выходе идеального канала связи может запаздывать по отношению к сигналу на входе; кроме того, эти сигналы могут иметь различные амплитуды (простое изменение масштаба), но что касается всего остального — сигнал не должен быть искажен, т.е. он должен иметь ту же форму, что и сигнал на входе. Следовательно, для идеаль­ной неискаженной передачи выходной сигнал мы можем описать как

y(t) = Kx(t -1₀), (1-54)

где К и to — константы. Применив к обеим частям преобразование Фурье (см. раз­дел А.3.1), получим следующее:

К(/) = KX{f)e~^2Kift<>. (^L55>

Подставляя выражение (1.55) в уравнение (1.49), видим, что требуемая передаточная функция системы для передачи без искажений имеет следующий вид:

H(f) = Ke~^2Kifio. (^L56)

Следовательно, для получения идеальной передачи без искажений общий отклик систе­мы должен иметь постоянную амплитуду, а сдвиг фаз должен быть линейным по час­тоте. Недостаточно, чтобы система равно усиливала или ослабляла все частотные компоненты. Все гармоники сигнала должны поступать на выход с одинаковым за­паздыванием, чтобы их можно было просуммировать. Поскольку запаздывание t₀ свя­зано со сдвигом фаз 0 и циклической частотой со = 2цf соотношением

,„(с=к,_ш,=—Л<И5Е5) (1.57,а)

2kj (радиан в секунду)

очевидно, что, для того чтобы запаздывание всех компонентов было одинаковым, сдвиг фаз должен быть пропорционален частоте. Для измерения искажения сигнала, вызванного запаздыванием, часто используется характеристика, называемая групповой задержкой; она определяется следующим образом:

ЧЛ = ~Т-^Цр-- (¹-⁵⁷’^б>

2к df

Таким образом, для передачи без искажений имеем два эквивалентных требования: фаза должна быть линейной по частоте или групповая задержка т(/) должна быть рав­на константе. На практике сигнал будет искажаться при проходе через некоторые час­ти системы. Для устранения этого искажения в систему могут вводиться схемы кор­рекции фазы или амплитуды (выравнивания). Вообще, искажение — это общая харак­теристика входа-выхода системы, определяющая ее производительность.

1.6.3.1. Идеальный фильтр

Построить идеальную сеть, описываемую уравнением (1.56), нереально. Проблема за­ключается в том, что в уравнении (1.56) предполагается бесконечная ширина полосы, при­чем ширина полосы системы определяется интервалом положительных частот, в которых модуль \H(J)\ имеет заданную величину. (Вообще, существует несколько мер ширины поло­сы; самые распространенные перечислены в разделе 1.7.) В качестве приближения к иде­альной сети с бесконечной шириной полосы выберем усеченную сеть, без искажения про­пускающую все гармоники с частотами между f и /„, где f — нижняя частота отсечки, а /„ — верхняя, как показано на рис. 1.11. Все подобные сети называются идеальными фильт­рами. Предполагается, что вне диапазона f<f</„, который называется полосой пропускания (passband), амплитуда отклика идеального фильтра равна нулю. Эффективная ширина по­лосы пропускания определяется шириной полосы фильтра и составляет W_f= (f_u-Ji) Гц.

Если /*0 и ^ фильтр называется полосно-пропускающим (рис. 1.11, а). Если f = 0 и f_u имеет конечное значение, он именуется фильтром нижних частот (рис. 1.11, б). Если f имеет ненулевое значение и/„—><», он называется фильтром верхних частот (рис. 1.11, в).

1 -

-fi

Ширина полосы, Wf = f_u-fi

а) \H(f)\

-fu

Ь fu

I—⁴A

Ширина полосы, W_f = f_u

6)

-fl 0 fl f_U-» M

B) *

Рис. 1.11. Передаточная функция идеальных фильтров:

а) идеальный полосно-пропускающий фильтр; б) идеаль­ный фильтр нижних частот; в) идеальный фильтр верхних частот

1.6 Пеоелача'сигналя чрпря пинрмыыр гиг-грили

Используя уравнение (1.59) и полагая К= 1 для идеального фильтра нижних частот с шириной полосы W[-/„ Гц, показанной на рис. 1.11, б, можно записать передаточ­ную функцию следующим образом:

H(f) = \H(f)\e~^m, (1-58)

где

, f 1 для 1/1 < /„

1^Н(/Чо рИЧ <‘-⁵⁹>

_e-mf) _{= e}-Wa _ (1.60)

Рис. 1.12 Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот

Импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12, выражается следующей формулой:

Л(0 = Г’{Я(/)}= JH(f)e^2mfidf

—оо

Л

⁼ I^е

Iе _е^1п1^ _df

-fu

fu

⁼ h

-fu

= 2 f_u

sin2jt/„(f-f₀)

= 2/„ sine 2f_u(t-t₀),

где функция sine x определена в уравнении (1.39). Импульсный отклик, показанный на рис. 1.12, является непричинным; это означает, что в момент подачи сигнала на
вход (f = 0), на выходе фильтра имеется ненулевой отклик. Таким образом, очевидно, что идеальный фильтр, описываемый уравнением (1.58), не реализуется в действи­тельности.

Пример 1.2. Прохождение белого шума через идеальный фильтр

Белый шум со спектральной плотностью мощности G_n(f)=NJ2, показанный на рис 1.8, о, подается на вход идеального фильтра нижних частот, показанного на рис. 1.11, б. Определи­те спектральную плотность мощности Gy(J) и автокорреляционную функцию Л/т) выход­ного сигнала.

Решение

Gy(f) = G„(f) \H(f)? = ^Г"о

₌J 2 дая|/1</«

[ 0 для остальных |/|

Автокорреляционная функция — это результат применения обратного преобразования Фу­рье к спектральной плотности мощности. Определяется автокорреляционная функция сле­дующим выражением (см. табл. А.1):

²Чи^Х

= N₀f_u sine 2/„т.

Сравнивая полученный результат с формулой (1.62), видим, что Л/т) имеет тот же вид, что и импульсный отклик идеального фильтра нижних частот, показанный на рис. 1.12 В этом примере идеальный фильтр нижних частот преобразовывает автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в функцию sine. После фильтрации в системе уже не будет белого шума. Выходной шумовой сигнал будет иметь нулевую корре­ляцию с собственными смещенными копиями только при смещении на т = и/2/„, где п — любое целое число, отличное от нуля.

1.6.3.2. Реализуемые фильтры

Простейший реализуемый фильтр нижних частот состоит из сопротивления (5R) и емкости (С), как показано на рис. 1.13, а; этот фильтр называется 9?С-фильтром, и его передаточная функция может быть выражена следующим образом [7]:

H{f) = ¹,

^{1 + 2}»^^{С а}'⁶³⁾

где Q(f) = arctg Inf^RC. Амплитудная характеристика \H(j)\ и фазовая характеристика 0(/) изо­бражены на рис. 1.13, б, в. Ширина полосы фильтра нижних частот определяется в точке половинной мощности; эта точка представляет собой частоту, на которой мощность вы­ходного сигнала равна половине максимального значения, или частоту, на которой ампли­туда выходного напряжения равна 1/-У2 максимального значения.

В общем случае точка половинной мощности выражается в децибелах (дБ) как точка -3 дБ, или точка, находящаяся на 3 дБ ниже максимального значения. По опре­делению величина в децибелах определяется отношением мощностей, Р, и Р₂:

P, V,²/9t, величина в дБ =101g—=101g——- Pi Vj /9?!

Здесь V, и V₂ — напряжения, а 91, и 91₂ — сопротивления. В системах связи для анали­за обычно используется нормированная мощность', в этом случае сопротивления 91] и 3?₂ считаются равными 1 Ом, тогда

Р V²

величина в дБ =101g—=101g—. (1.64,6)

Pi V?

IW)I

о—Ш----------- j---- о

Вход с i Выход о-- -4 о

а)

Рис. 1.13. ЧИС-фильтр и его передаточная функция: а) ЖС-фильтр; б) амплитудная характеристика Ч&С-фильтра; в) фазовая характеристика ^С-фильтра

Амплитудный отклик можно выразить в децибелах как

|Я(/)|_дБ = 20 lg^- = 20 lg|#(/)|, (1.64,в)

м

где V_t иV₂ — напряжения на входе и выходе, а сопротивления на входе и выходе пред­полагаются равными.

Из уравнения (1.63) легко проверить, что точка половинной мощности 9?С- фнльтра нижних частот соответствует со= 1/5RC рад/с, или /= 1/(2зг91С) Гц. Таким обра­зом, ширина полосы W_f в герцах равна 1/(2л9?С). Форм-фактор фильтра — это мера того, насколько хорошо реальный фильтр аппроксимирует идеальный. Обычно он оп­ределяется как отношение ширины полос фильтров по уровню -60 дБ и -6 дБ. Доста­точно малый форм-фактор (около 2) можно получить в полосно-пропускающем
фильтре с очень резким срезом. Для сравнения, форм-фактор простого 9?С-фильтра нижних частот составляет около 600.

Существует несколько полезных аппроксимаций характеристики идеального фильтра нижних частот. Одну из них дает фильтр Батгерворта, аппроксимирующий идеальный фильтр нижних частот функцией

(1.65)

где f_u — верхняя частота среза (—3 дБ), а и — порядок фильтра. Чем выше порядок, тем выше сложность и стоимость реализации фильтра. На рис. 1.14 показаны графики амплитуды \H(f)\ для нескольких значений и. Отметим, что по мере роста и амплитуд­ные характеристики приближаются к характеристикам идеального фильтра. Фильтры Батгерворта популярны из-за того, что они являются лучшей аппроксимацией иде­ального случая в смысле максимально плоской полосы пропускания фильтра.

Дата добавления: 2015-10-28