Основы теории принятая статистических решений 1051 5 страница

\"Ш

П = 00

Пример 1.3. Прохождение белого шума через 91С-фильтр

Белый шум со спектральной плотностью G_n(f) -No!2, показанной на рис. 1.8, а, подается на вход SRC-фильтра, показанного на рис. 1.13, а. Найдите спектральную плотность мощности Gy(f) и автокорреляционную функцию Ry(х) сигнала на выходе.

Решение

Gtf) = G_n<f) |Я(/)|² = _N₀ 1

² 1 + (2л/Ж)² '

/ад=5“'{<;,</)}•

Используя табл. А.1, находим Фурье-образ Gy(J):

Как можно предположить, после фильтрации у нас уже не будет белого шума. 91С- фильтр преобразовывает входную автокорреляционную функцию белого шума (определенную через дельта-функцию) в экспоненциальную функцию. Для узкополос­ного фильтра (большая величина 91С) шум на выходе будет проявлять более высокую корреляцию между выборками шума через фиксированные промежутки времени, чем шум на выходе широкополосного фильтра.

1.6.4. Сигналы, цепи, спектры

Сигналы описываются через их спектр. Подобным образом сети или каналы связи описываются через их спектральные характеристики или частотные передаточные функции. Как ширина полосы сигнала влияет на результат передачи сигнала че­рез фильтр? На рис. 1.15 показаны два случая, представляющие для нас практиче­ский интерес. На рис. 1.15, а (случай 1) входной сигнал имеет узкий спектр, а частотная передаточная функция фильтра является широкополосной. Из уравне­ния (1.48) видим, что спектр выходного сигнала представляет собой простое про­изведение этих двух спектров. Можно проверить (рис. 1.15, а), что перемножение двух спектральных функций дает спектр с шириной полосы, приблизительно рав­ной меньшей из двух полос (когда одна из двух спектральных функций стремится к нулю, произведение также стремится к нулю). Следовательно, для случая 1 спектр выходного сигнала ограничен спектром входного сигнала. Подобным обра­зом в случае 2, где входной сигнал является широкополосным, а фильтр имеет уз­кополосную передаточную функцию (рис. 1.15, б), видим, что ширина полосы выходного сигнала ограничена шириной полосы фильтра; выходной сигнал будет профильтрованным (искаженным) изображением входного сигнала.

Воздействие фильтра на сигнал также можно рассматривать во временной области. Выход y(t), получаемый в результате свертки идеального входного импульса x(t) (имеющего амплитуду V_m и ширину импульса Г) с импульсным откликом “КС-фильтра нижних частот, можно записать в следующем виде [8]:

ДДя 0<t<T

^Л) 'V' е~°-^Т)/ж для t>T’ ^(L66)

где

V_m=V_ma-e~^TI*^c). (1.67)

Определим ширину полосы импульса как

U-68)

а ширину полосы 9?С-фильтра как

W_f (1-69)

^f 2 лЖС

Идеальный входной импульс x(t) и его амплитудный спектр |Х(/)| показаны на рис. 1.16. ЖС-фильтр и его амплитудная характеристика \H(f)\ показаны на рис. 1.13, а, б. На рис. 1.17 показаны три примера, в каждом из которых исполь­зованы уравнения (1.66)-(1.69). Пример 1 иллюстрирует случай W_p«W_f. Отме-

Спектр входного сигнала Передаточная функция фильтра IXlfl I lH(0l б) Рис. 1.15. Спектральные характеристики входного сигнала и вклад цепи в спектральные характеристики выходного сигнала: а) случай 1. Ширина выходной полосы ограничена шириной полосы входного сигна­ла, 6) случай 2. Ширина выходной полосы ограничена шириной полосы фильтра

Этот случай является примером хорошей точности воспроизведения. В примере 2, где W_p = W_f, переданный импульс все еще можно распознать. Пример 3 иллюстри­рует случай, когда W_p>> W_f. Видим, что по форме у(г) импульс едва угадывается. Где может понадобиться большая ширина полосы (или хорошая точность воспро­изведения), как в примере 1? Это могут быть дистанционные приложения большой точности, где на время прибытия импульса влияет расстояние, что требует им­пульсов с малыми временами нарастания. Какой пример демонстрирует двоичные приложения цифровой связи? Пример 2. Как указывалось ранее (рис. 1.1), одной из принципиальных особенностей двоичной цифровой связи является то, что тре­буется всего лишь точно почувствовать, к какому из двух возможных состояний принадлежит каждый принятый импульс. Пример 3 был включен для полноты об­суждения; в реальных системах подобные схемы не используются.

1.7. Ширина полосы при передаче цифровых данных

1.7.1. Видеосигналы и полосовые сигналы

Легким способом трансляции спектра низкочастотного сигнала (или видеосигнала) х(г) на более высокую частоту является умножение сигнала на несущий сигнал cos 2nfj или перенос колебаний, как показано на рис. 1.18. Результирующий сигнал x_c(t) называ­ется двухполосным (double sideband — DSB) модулированным сигналом и выражается следующей формулой:

лг_г(г) = x(t) cosing. (1-70)

нием вида x(t) = 5 cos Юг. Для случайного сигнала такое выражение написать невоз­можно. Впрочем, при наблюдении случайного сигнала (также называемого случайным процессом) в течение достаточно длительного периода времени, могут отмечаться не­которые закономерности, которые можно описать в терминах вероятности и среднее статистическое. Такая модель, в форме вероятностного описания случайного процес­са, особенно полезна для описания характеристик сигналов и шумов в системах связи.

1.2.2. Периодические и непериодические сигналы

Сигнал дг(0 называется периодическим во времени, если существует постоянное 7'₀>0, такое, что

X(t) — X(t + Т₀) ДЛЯ -«о < Г < оо,

где через t обозначено время. Наименьшее значение Т₀, удовлетворяющее этому усло­вию, называется периодом сигнала x(t). Период Т₀ определяет длительность одного полного цикла функции x(t). Сигнал, для которого не существует значения Го, удовле­творяющего уравнению (1.2), именуется непериодическим.

1.2.3. Аналоговые и дискретные сигналы

Аналоговый сигнал x(t) является непрерывной функцией времени, т.е. x(t) однозначно определяется для всех t. Электрический аналоговый сигнал возникает тогда, когда фи­зический сигнал (например, речь) некоторым устройством преобразовывается в элек­трический. Для сравнения, дискретный сигнал х(кГ) является сигналом, существующим только в дискретные промежутки времени; он характеризуется последовательностью чисел, определенных для каждого момента времени, кТ, где к — целое число, а Г — фиксированный промежуток времени.

1.2.4. Энергетические и мощностные сигналы

Электрический сигнал можно представить как изменение напряжения v(t) или силы тока i(f) с мгновенной мощностью p(t) на сопротивлении

(1.3,а)

или

_P(t)=i²m.

В системах связи мощность часто нормируется (предполагается, что сопротивление SK равно 1 Ом, хотя в реальном канале оно может быть любым). Если требуется определить действительное значение мощности, оно получается путем “денормирования” нормиро­ванного значения. В нормированном случае уравнения (1.3,а) и (1.3,6) имеют одинако­вый вид. Следовательно, вне зависимости от того, представлен сигнал через напряжение или силу тока, нормированная форма позволяет нам выразить мгновенную мощность как

(1.4)

Г папа 1 Г*МГНЯПМ \Л РПРКТПМ

Амплитудный спектр \X(f)\ видеосигнала х(г) с шириной полосы /„ и амплитудный спектр \X_c(f)\ двухполосного сигнала x/t) с шириной полосы W_DSB показаны на рис. 1.18, б, в. На графике \X_c(f)\ спектральные компоненты, соответствующие положительным частотам видеосигнала, находятся в диапазоне от f_c до (f_c + f_m). Эта часть спектра двухполосного сиг­нала называется верхней боковой полосой (upper sideband — USB). Спектральные компонен­ты, соответствующие отрицательным частотам видеосигнала, лежат в диапазоне от (f, - f_m) до f_c. Эта часть спектра двухполосного сигнала называется нижней боковой полосой (lower sideband — LSB). Кроме того, в области отрицательных частот находятся зеркальные изо­бражения спектров нижней и верхней боковых полос. Несущая волна (или просто несущая) иногда еще называется сигналом гетеродина. В общем случае частота несущей значительно больше ширины полосы видеосигнала.

fc»fm

С помощью рис. 1.18 можно легко сравнить ширину полосы /_т, требуемую для пере­дачи видеосигнала, с шириной полосы W_DSB, достаточной для передачи двухполосного сигнала. Итак, видим следующее:

W_DSB = 2f_m.

Иными словами, для передачи двухполосной версии сигнала нам необходима вдвое большая полоса, чем для передачи его узкополосного аналога.

cos 2л f_ct (гетеродин) a)

IXcMl

USB LSB

LSB USB

~fc ~^т ~fc ~fc⁺ An 0 fc~fm fc fc⁺ fin j-<— И/dsb *-1

Двойная боковая полоса

в)

Рис. 1.18. Сравнение узкополосного и двухполосного спектров: а) наложение колебаний; б) узкополосный спектр; в) двухполосный спектр

1.7.2. Дилемма при определении ширины полосы

Множество важных теорем из теории связи и информации опираются на предположение о том, что каналы имеют строго ограниченную полосу, это означает, что за пределами опреде­ленной полосы мощность сигнала равна нулю. Таким образом, мы сталкиваемся с дилем­мой: сигналы со строго ограниченной полосой, как, например, сигнал со спектром |^i(0|, изображенный на рис. 1.19, б, не могут быть реализованы, поскольку они, как показано на рис. 1.19, а, подразумевают сигналы бесконечной длительности (обратное преобразование Фурье функции JX₍(/)|). Сигналы с ограниченной длительностью, как сигнал x₂(t), показан­ный на рис. 1.19, в, легко реализуются. Но при этом они также непригодны, поскольку их Фурье-образы содержат энергию на относительно высоких частотах, что можно увидеть из спектра сигнала \X₂(J)\, показанного на рис. 1.19, г. Итак, можно сказать, что для всех спек­тров с ограниченной полосой сигналы не реализуемы, а для всех реализуемых сигналов аб­солютная ширина полосы равна бесконечности. Математическое описание реального сиг­нала не допускает, чтобы сигнал был строго ограничен по длительности и полосе. Значит, математические модели являются абстракциями; поэтому не удивительно, что до настоя­щего момента не существует единого определения ширины полосы.

t

Все критерии определения ширины полосы имеют одно общее свойство: они пы­таются найти меру ширины, W, неотрицательной действительной спектральной плот­ности, определенной для всех частот |/] <°°. На рис 1.20 показаны некоторые наиболее распространенные определения ширины полосы (стоит отметить, что различные кри­терии не являются взаимозаменяемыми). Однополосная спектральная плотность мощности для отдельного гетеродинного импульса x_c(t) имеет следующее аналитиче­ское выражение:

(1.73)

где f_c — частота несущей, а Т — длительность импульса. Эта спектральная плотность мощ­ности (рис. 1.20) также характеризует случайную последовательность импульсов; предполага­ется, что время, по которому производится усреднение, намного больше длительности им­пульса. График состоит из основного лепестка и меньших симметричных боковых лепест­ков. Общий вид графика справедлив для большинства форматов цифровых модуляций; в то же время некоторые форматы не имеют ярко выраженных боковых лепестков. Пере­числим критерии определения ширины полосы, показанные на рис. 1.20.

Рис. 1.20. Ширина полосы цифровых данных: а) половинная мощность; 6) шумовой эквивалент; в) по первым нулям; г) 99% мощности; д) огра­ниченная спектральная плотность мощности по уровню 35 дБ и 50 дБ

а) ширина полосы половинной мощности. Интервал между частотами, на которых G_X(J) падает до мощности, вдвое (или на 3 дБ) меньшей максимального значения.

б) ширина полосы прямоугольного эквивалента или шумового эквивалента, W_N. Ширина полосы шумового эквивалента W_N определяется отношением V/_N=PJG₁ff_c), где Ре­пейная мощность сигнала по всем частотам, a GJf₍) — максимальное значение GJJ) (в центре полосы). W_N — это ширина полосы воображаемого (идеально прямоуголь­ного) фильтра, характеристика которого в центре полосы совпадает с характеристи­кой реальной системы, и который пропускает столько же белого шума, как и реаль­ная система. Концепция облегчает описание или сравнение практических ли­нейных систем при использовании идеализированных эквивалентов.

в) ширина полосы по первым нулям. Наиболее популярной мерой ширины полосы в цифровой связи является ширина основного спектрального лепестка, в котором, сосредоточена основная мощность сигнала. Этому критерию недостает универ­сальности, поскольку в некоторых форматах модуляции отсутствуют явно вы­раженные лепестки.

г) полоса, вмещающая определенную часть суммарной мощности. Этот критерий ширины полосы был принят Федеральной комиссией по средствам связи США (Federal Communications Commission — FCC) (см. FCC Rules and Regulations, раздел 2.202), и согласно ему полоса ограничивается так, что за ее пределами находится 1% мощно­сти сигнала (0,5% выше верхней границы полосы и 0,5% ниже нижней границы). Таким образом, на определенную полосу приходится 99% мощности сигнала.

1.7. Шиоина полопы ппи прпрпячр ииЛппрш пянииу

д) спектральная плотность мощности по уровню х дБ. Еще один популярный метод определения ширины полосы — указать, что за пределами определенной поло­сы мощность G_x(f) должна снизиться до заданного уровня, меньшего макси­мального значения (в центре полосы). Типичными уровнями затухания являют­ся 35 и 50 дБ.

е) абсолютная ширина полосы. Это интервал между частотами, вне которых спектр равен нулю. Весьма полезная абстракция. Впрочем, для всех реализуемых сиг­налов абсолютная ширина полосы равна бесконечности.

Пример 1.4. Сигналы со строго ограниченной полосой

Понятие сигнала, который строго ограничен полосой частот, нереализуемо. Докажите это, показав, что сигнал со строго ограниченной полосой должен иметь бесконечную длительность.

Решение

Пусть дс(/) — сигнал с Фурье-образом X(J) и строго ограниченной полосой частот, центриро­ванный на частотах ±/_г и имеющий ширину 2IV. X(j) можно выразить через передаточную функцию идеального фильтра H(J), показанную на рис. 1.21, как

	,1..

H(f) = X'(f)H(f), (1.74)

-1_С-W -f_c -f_c+W f_c-W f_c f_c+W

(--------- 2ИЛ

1 1 2W 2 W 6)

Puc. 1.21. Передаточная функция и импульсная характеристика для сигнала со строго ограниченной полосой: а) идеальный полосо­вой фильтр; б) идеальная полосовая импульсная характеристика

где X if) — Фурье-образ сигнала x(f), не обязательно имеющий ограниченную ширину полосы, и Н(/)-гес,(^)_+геа(^), (1.75,

где

_rectm J¹ ^-w</<w

V2W7 [О для |/| >W Х(/) можно выразить через XXf) как

_Х{/ № да* (Л -и/)<|Л|<(/_с +W)

[ 0 для остальных/

Умножение в частотной области, как показано в уравнении (1.74), преобразуется в свертку во временной области:

x(t) = x\t)*h(t). (1.76)

Здесь h(t) — результат применения обратного преобразования Фурье к функции #(/), кото­рый можно записать следующим образом (см. табл. А.1 и А.2):

h(t) = 2W(sine 2Wt) cos 2nf_rt.

Вид h(t) показан на рис. 1.21, 6. Отметим, что h(t) имеет бесконечную длительность. Следова­тельно, сигнал x(t), полученный, как показывает уравнение (1.76), путем свертки x{t) с A(f), также имеет бесконечную длительность и, следовательно, не может быть реализован.

1.8. Резюме

В данной главе намечены цели книги и определена основная терминология. Здесь рас­смотрены фундаментальные понятия изменяющихся во времени сигналов, такие как классификация, спектральная плотность и автокорреляция. Кроме того, описаны слу­чайные сигналы, статистически и спектрально охарактеризован белый гауссов шум, для большинства систем связи представляющий собой первичную модель шума. В заключе­ние рассмотрен важный вопрос передачи сигнала через линейные системы и проанали­зированы некоторые реальные аппроксимации идеального случая. Установлено, что по­нятие абсолютной ширины полосы является абстракцией и что в реальном мире мы сталкиваемся с необходимостью выбора определения ширины полосы, подходящего для конкретного случая. В последующих главах книги, согласно схеме, приведенной в нача­ле главы, будут рассмотрены все этапы обработки сигналов, введенные в данной главе.

Литература

1. Haykin S. Communication Systems. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1983.

2. Shanmugam К S. Digital and Analog Communication System. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1979.

3. Papoulis A. Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.

4. Johnson J. B. Thermal Agitation of Electricity in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 97—109.

5. Nyguist H. Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 110—113.

6. Van Trees H. L. Detection, Estimation, and Modulation Theory. Part I, John Wiley & Sons, New York, 1968.

7. Schwartz M. Information Transmission, Modulation, and Noise. McGraw-Hill Book Company, New York, 1970.

8. Millman J. and Taub H. Pulse, Digital, and Switching Waveforms. McGraw-Hill Book Company, New York, 1965.

Задачи

1.1. Определите, в каком представлении даны следующие сигналы: в энергетическом или мощи ост- ном. Найдите нормированную энергию и нормированную мощность каждого сигнала.

а) x(t) =А cos 2nfot для < t < °°

A cos 2 ltf₀t для -Т₀/2< t < Т₀/2, где Т₀ = 1 / /₀

^б) x(t) =

О для остальных t

(А ехр(-аг) для t > 0, а > 0

^в) *(0=ч _Л

[ 0 для остальных t

г) x(t) = cos t + 5 cos 2t для -о» <t<°°

1.2. Определите спектральную плотность энергии квадратного импульса ДО = rect (t/T), где функция rect (t/T) равна 1 для -Т/2 <t< Т/2 и нулю — для остальных t. Вычислите нор­мированную энергию Е_х импульса.

1.3. Выразите среднюю нормированную мощность периодического сигнала через коэффици­енты комплексного ряда Фурье.

1.4. Используя усреднение по времени, найдите среднюю нормированную мощность сигнала x(t) = 10 cos 10f + 20 cos 20f.

1.5. Решите задачу 1.4 посредством суммирования спектральных коэффициентов.

1.6. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства автокор­реляционных функций. Ответ аргументируйте. (Примечание: 5{/?(т)} должна быть неотри­цательной функцией. Почему?)

Г1 для -1 < т < 1

а) *С0Н_

[0 для остальных т

б) дгг(х) = 6(т) + sin 2nf₀i

в) х(т) = ехр(|х|)

г) х(т) - 1 - |т| — для —1<т<1и0 — для остальных

1.7. Определите, какие из перечисленных функций (если такие есть) имеют свойства функций спектральной плотности мощности. Ответ аргументируйте.

а) X(J) - 8(f) + cos² 2л/

б) Хф = 10 + 5^- 10)

в) X(J) = exp (-2n\f- 10|)

г) Хф = ехр [-2n(f - 10)]

1.8. Выразите автокорреляционную функцию x(r) = A cos (2ltf<f + <р) через ее период То = Ufa. Найдите среднюю нормированную мощность x(t), используя соотношение Р_х = /?(0).

1.9. а) Используя результаты задачи 1.8, найдите автокорреляционную функцию R(X) сигнала

дг(0 = 10 cos Юг + 20 cos 20t.

б) Используя соотношение Р_х — /?(0), найдите среднюю нормированную мощность сиг­нала x(t). Сравните ответ с ответами задач 1.4 и 1.5.

1.10. Для функции x(t) = 1 + cos 2я/оГ вычислите (а) среднее значение x(f); (б) мощность пере­менной составляющей *(f); (в) среднеквадратическое значение х(1).

1.11. Рассмотрим случайный процесс, описываемый функцией X(t) = A cos (2nfot + <р), где А и /о — константы, а ф — случайная переменная, равномерно распределенная на промежутке (0, 2п). Если X(t) является эргодическим процессом, среднее по времени от X(t) в пределе t —» °° равно соответствующему среднему по ансамблю от X(t).

а) Используя усреднение по времени целого числа периодов, вычислите приближенно первый и второй моменты X(t).

б) Используя уравнения (1.26) и (1.28), приближенно вычислите средние по ансамблю значения первого и второго моментов X(t). Сравните результаты с ответом на п. а.

1.12. Фурье-образ сигнала x(t) определяется формулой X(f) = sine /(функция sine определена в уравнении (1.39)). Найдите автокорреляционную функцию /?^(т) сигнала дгг(г).

1.13. Используя свойства дельта-функции, вычислите следующие интегралы.

оо

а) jcos 6r5(r - 3)dt

—00

б) Jl05(f)(l + 0^-1<ft

—00

в) |б(г +4)(f² + 6/ +1)dt

—00

г) Jexp(-f²)5(f - 2)dt

—00

1.14. Найдите свертку X_t(f) * Xi(f) для спектров, показанных на рис. 31.1.

*i(0 -fo fo

а) Найдите нормированную среднюю мощность x(t) в диапазоне частот от 0 до 10 кГц.

б) Найдите нормированную среднюю мощность x(t) в диапазоне частот от 5 до 6 кГц.

1.16. Как показано в уравнении (1 64,а), децибелы — это логарифмическая мера отношения мощностей. Иногда в децибелах выражаются немощностные характеристики (относительно некоторых выделенных единиц). В качестве примера вычислите, сколько децибелов мяса для бифштексов вы приобретете, чтобы в группе из 100 человек каждый получил 2 гамбургера. Предположим, что в качестве эталонной единицы вы и мясник договорились использовать полфунта мяса (вес одного бифштекса).

1.17. Рассмотрим амплитудный отклик фильтра Батгерворта нижних частот в форме, приведен­ной в уравнении (1.65).

а) Найдите п, при котором |//(/)р колеблется в пределах ±1 дБ в диапазоне Щ < 0,9%.

б) Покажите, что при п, стремяшемся к бесконечности, амплитудный отклик приближа­ется к амплитудному отклику идеального фильтра.

1.18. Рассмотрим сеть, приведенную на рис 1.9, частотная передаточная функция которой рав­на H(f). На вход подается импульс 5(f). Покажите, что отклик y(t) на выходе представляет собой результат обратного преобразования Фурье H(f).

1.19. На рис. 31.3 приведен пример цепи запоминания, широко используемой в импульсных сис­темах. Определите импульсную характеристику этого канала.

Рис. 31.3

1.20. Для спектра

sin [л(/ -Ю⁶)10'⁴]|² л(/ - Ю^б)10~⁴

определите ширину полосы сигнала, используя следующие определения ширины полосы:

а) ширина полосы половинной мощности;

б) ширина полосы шумового эквивалента;

в) ширина полосы по первым нулям;

г) полоса, вмещающая 99% мощности (подсказка• используйте численные методы);

д) полоса по уровню 35 дБ;

е) абсолютная ширина полосы.

Вопросы для самопроверки

1.1. Как график автокорреляционной функции сигнала характеризует занятость полосы сигна­ла (см. раздел 1 5.4)⁹

1.2. Каким двум требованиям необходимо удовлетворить для обеспечения передачи без иска­жения через линейную систему (см. раздел 1.6.3)?

1.3. Дайте определение параметру групповая задержка (см. раздел 1.6.3).

1.4. Какая математическая дилемма является причиной существования нескольких определе­ний ширины полосы (см. раздел 1.7.2)?

ГЛАВА 2

Форматирование и низкочастотная модуляция

Дата добавления: 2015-10-28