Основы теории принятая статистических решений 1051 8 страница

Рис 2.14. Исходные данные в системе координат “время- амплитуда а) исходный аналоговый сигнал; б) данные в естествен­ной дискретизации; в) квантованные выборки; г) выборка-хранение

2.5. Источники искажения

Аналоговый сигнал, восстановленный из дискретизированных, квантованных и пере­данных импульсов, будет искажен. Основные источники искажения связаны с (1) влиянием дискретизации и квантования и (2) воздействием канала. Ниже эти вопросы рассматриваются подробно.

2.5.1. Влияние дискретизации и квантования

2.5.1.1. Шум квантования

Искажение, присущее квантованию, — это ошибка округления или усечения. Процесс кодирования сигнала РАМ в квантованный сигнал РАМ включает отбрасы­вание некоторой исходной аналоговой информации. Это искажение, вызванное необ­ходимостью аппроксимации аналогового сигнала квантованными выборками, называ­ется шумом квантования; величина этого шума обратно пропорциональна числу уров­ней, задействованных в процессе квантования. (Отношение сигнал/шум для квантованных импульсов рассматривается в разделах 2.5.3 и 13.2.)

2.5.1.2. Насыщение устройства квантования

Устройство квантования (преобразования аналоговых сигналов в цифровые) для ап­проксимации значений из непрерывного диапазона на входе значениями из конечного множества на выходе выделяет L уровней. Диапазон входных значений, для которых разница между входом и выходом незначительна, называется рабочим диапазоном преоб­разователя. Если входное значение не принадлежит этому диапазону, значения на входе
и выходе отличаются сильнее, и мы говорим, что преобразователь работает в режиме на­сыщения. Ошибки насыщения значительнее и менее желательны, чем шум квантования. В общем случае насыщение устраняется путем автоматической регулировки усиления (automatic gain control — AGC), которая эффективно расширяет рабочий диапазон пре­образователя. (Подробнее о насыщении устройства квантования в главе 13.)

2.5.1.3. Синхронизация случайного смещения

Наш анализ теоремы о дискретном представлении предсказывал точное восстанов­ление сигнала на основе равномерно размещенных выборок. При наличии случайного смещения положения выборки, дискретизация уже не является равномерной. Если местоположения выборок точно известны, точное восстановление все еще возможно, но смещение — это обычно случайный процесс, так что заранее предсказать положе­ния выборок нельзя. Воздействие смещения равносильно частотной модуляции ви­деосигнала. Если смещение является случайным, вносится низкоуровневый широко­полосный спектральный вклад, характеристики которого весьма подобны свойствам шума квантования. Если смещение является периодическим, как, например, при счи­тывании данных с магнитофона, то в данных появятся низкоуровневые спектральные линии. Управлять синхронизацией случайного смещения можно посредством развяз­ки по питанию и использования кварцевых генераторов.

2.5.2. Воздействие канала

2.5.2.1. Шум канала

Тепловой шум, а также помехи со стороны других пользователей и коммутационного оборудования канала могут приводить к ошибкам в детектировании импульсов, пред­ставляющих оцифрованные выборки. Ошибки, индуцируемые каналом, могут достаточ­но быстро ухудшить качество восстанавливаемого сигнала. Быстрое ухудшение качества выходного сигнала за счет ошибок, индуцированных каналом, называется пороговым эф­фектом (threshold effect). Если шум канала мал, то проблем с детектированием сигнала не возникнет. Следовательно, небольшой шум не разрушает восстанавливаемые сигна­лы. В этом случае при восстановлении единственным шумом является шум квантова­ния. С другой стороны, если шум канала достаточно велик, чтобы повлиять на нашу способность к детектированию сигналов, в результате полученная ошибка детектирова­ния приводит к ошибкам восстановления. Пороговым данный эффект называется пото­му, что при небольших изменениях уровня шума канала поведение сигнала может из­мениться довольно сильно.

2.5.2.2. Межсимвольная интерференция

Канал всегда имеет ограниченную полосу пропускания. Канал с ограниченной полосой всегда искажает или расширяет импульсный сигнал, проходящий через него (см. раз­дел 1.6.4). Если ширина полосы канала значительно больше ширины полосы импульса, импульс искажается незначительно. Если же ширина полосы канала приблизительно рав­на ширине полосы сигнала, то искажение будет превышать длительность передачи симво­ла и приведет к наложению импульсов сигнала. Этот эффект называется межсимвольной интерференцией (intersymbol interference — ISI). Как и любой другой источник интерферен­ции, ISI приводит к ухудшению качества передачи (повышению уровня ошибок); к тому же эта форма интерференции особенно болезненна, поскольку повышение мощности сиг­нала для преодоления интерференции не всегда улучшает достоверность передачи. (Подробнее о методах борьбы с межсимвольной интерференцией см. в разделах 3.3 и 3.4.)

2.5.3. Отношение сигнал/шум для квантованных импульсов

Рассмотрим рис. 2.15, на котором изображено L-уровневое устройство квантования ана­логового сигнала с полным диапазоном напряжений, равным V_№= V_p - (~V_P) = 2V_P В. Как показано на рисунке, квантованные импульсы могут иметь положительные и отрица­тельные значения. Шаг между уровнями квантования, называемый интервалом кван- тования, составляет q вольт. Если уровни квантования равномерно распределены по всему диапазону, устройство квантования именуется равномерным, или линейным. Ка­ждое дискретное значение аналогового сигнала аппроксимируется квантованным им­пульсом: аппроксимация дает ошибку, не превышающую q)2 в положительном на­правлении или -q/2 в отрицательном. Таким образом, ухудшение сигнала вследствие квантования ограничено половиной квантового интервала, ±q/2 вольт.

V_p-q/2 Vp - 3(7/2

----------------------- iуровней

-l/p + 3cf/2- -Vp + q/2.

_w--------

Рис. 2 15. Уровни квантования

Хорошим критерием качества равномерного устройства квантования является его дисперсия (среднеквадратическая ошибка при подразумеваемом нулевом среднем). Если считать, что ошибка квантования, е, равномерно распределена в пределах интер­вала квантования шириной q (т. е. аналоговый входной сигнал принимает все воз­можные значения с равной вероятностью), то дисперсия ошибок для устройства кван­тования составляет

+q/2

а² = je²p(e) de = (2.18,а)

-q!2

e²—de = —, (2.18,6)

q 12

где p(e) = l/q — (равномерно распределенная) плотность вероятности возникновения ошибки квантования. Дисперсия, с², соответствует средней мощности шума квантова-

имя. Пиковую мощность аналогового сигнала (нормированную на 1 Ом) можно выра­зить как

(2.19)

где L — число уровней квантования. Объединение выражений (2.18) и (2.19) дает от­ношение пиковой мощности сигнала к средней мощности квантового шума (S/N)_q:

(2.20)

где N — средняя мощность шума квантования. Очевидно, что отношение (S/N)_? квад­ратично растет с числом уровней квантования. В пределе (L —> сигнал становится аналоговым (бесконечное число уровней квантования и нулевой шум квантования). Отметим, что для случайных сигналов в параметр (S/N)_g входит не максимальная, а средняя мощность сигнала. В этом случае для получения средней мощности сигнала требуется знать функцию плотности вероятности.

2.6. Импульсно-кодовая модуляция

Импульсно-кодовая модуляция (pulse-code modulation — РСМ) — это название, данное классу низкочастотных сигналов, полученных из сигналов РАМ путем коди­рования каждой квантованной выборки цифровым словом [3]. Исходная информация дискретизируется и квантуется в один из L уровней; после этого каждая квантован­ная выборка проходит цифровое кодирование для превращения в /-битовое (I = log₂ L) кодовое слово. Для низкочастотной передачи биты кодового слова преоб­разовываются в импульсные сигналы Рассмотрим рис 2.16, на котором представ­лена бинарная импульсно-кодовая модуляция. Предположим, что амплитуды ана­логового сигнала x(t) ограничены диапазоном от -4 до +4 В. Шаг между уровнями квантования составляет 1 В. Следовательно, используется 8 квантовых уровней; они расположены на -3,5, -2,5,..., +3,5 В. Уровню —3,5 В присвоим кодовый номер О, уровню -2,5 — 1 и так до уровня 3,5 В, которому присвоим кодовый номер 7. Каж­дый кодовый номер имеет представление в двоичной арифметике — от ООО для ко­дового номера 0 до 111 для кодового номера 7. Почему уровни напряжения выбра­ны именно так, а не с использованием набора последовательных чисел 1, 2, 3,...? На выбор уровней напряжения влияют два ограничения. Во-первых, интервалы квантования между уровнями должны быть одинаковыми; и, во-вторых, удобно, чтобы уровни были симметричны относительно нуля.

На оси ординат (рис. 2.16) отложены уровни квантования и их кодовые номера. Каждая выборка аналогового сигнала аппроксимируется ближайшим уровнем кванто­вания. Под аналоговым сигналом x(t) изображены четыре его представления: значения выборок в естественной дискретизации, значения квантованных выборок, кодовые номера и последовательность РСМ.

Отметим, что в примере на рис. 2.16 каждая выборка соотнесена с одним из вось­ми уровней или трехбитовой последовательностью РСМ.

Кодовый

номер

О

Значения, полученные при естественной дискретизации 1,3	3,6	2,3	0,7	-0,7	-2,4	-3,4
Значения, полученные при квантовании	1,5	3,5	2,5	0,5	-0,5	-2,5	-3,5
Кодовый номер
Последовательность РСМ

Рис. 2.16. Естественные выборки, квантованные выборки и импульсно-кодовая модуляция. (Перепечатано с разрешения авторов из книги Taub and Schilling. Principles of Communications Systems. McGraw-Hill Book Company, New York, 1971, Fig. 6.5-1, p. 205.)

Предположим, что аналоговый сигнал представляет собой музыкальный фрагмент, ко­торый дискретизируется с частотой Найквиста. Допустим также, что при прослушива­нии музыки в цифровой форме качество звучания ужасное. Что нужно делать для улучшения точности воспроизведения? Напомним, что процесс квантования замещает реальный сигнал его аппроксимацией (т.е. вводит шум квантования). Следовательно, увеличение числа уровней приведет к уменьшению шума квантования. Какими будут последствия, если удвоить число уровней (теперь их будет 16)? В этом случае каждая аналоговая выборка будет представлена четырехбитовой последовательностью РСМ. Будет ли это чего-либо стоить? В системе связи реального времени сообщения долж­ны доставляться без задержки. Следовательно, время передачи должно быть одинако­вым для всех выборок, вне зависимости от того, сколько битов представляет выборку. Значит, если на выборку приходится больше битов, то они должны перемещаться бы­стрее; другими словами, они должны заменяться “более узкими” битами. Это приво­дит к повышению скорости передачи данных, и мы платим увеличением полосы пе­редачи. Сказанное объясняет, как можно получить более точное воспроизведение за счет более широкой полосы передачи. В то же время следует помнить о существова­нии областей связи, в которых задержка допустима. Рассмотрим, например, передачу планетарных изображений с космического аппарата. Проект “Galileo”, начатый в 1989 году, как раз выполнял такую миссию; задача состояла в фотографировании и переда­че изображений Юпитера. Аппарат “Galileo” прибыл к своему месту назначения (к Юпитеру) в 1995 году. Путешествие заняло несколько лет; следовательно, любая задержка сигнала на несколько минут (часов или даже дней), естественно, не будет представлять проблемы. В таких случаях за большее число уровней квантования и большую точность воспроизведения не обязательно платить шириной полосы; можно обойтись временным запаздыванием.

На рис. 2.1 термин “РСМ” встречается в двух местах. Во-первых, в блоке форма­тирования, поскольку преобразование аналоговых сигналов в цифровые включает дискретизацию, квантование и, в конечном итоге, посредством преобразования кван­тованных сигналов РАМ в сигналы РСМ дает двоичные цифры. Здесь цифры РСМ — это просто двоичные числа. Во-вторых, этот термин встречается на рис. 2.1 в разделе “Передача видеосигналов”. Здесь перечислены различные сигналы РСМ (коды кана­ла), которые могут использоваться для переноса цифр РСМ. Отметим, таким образом, что отличие модуляции РСМ и сигнала РСМ состоит в том, что первая представляет собой последовательность битов, а второй — передачу этой последовательности с по­мощью сигналов.

2.7. Квантование с постоянным и переменным шагом

2.7.1. Статистика амплитуд при передаче речи

Передача речи — это очень важная и специализированная область цифровой связи. Человеческая речь характеризуется уникальными статистическими свойствами, одно из которых проиллюстрировано на рис. 2.17. На оси абсцисс отложены амплитуды сигнала, нормированные на среднеквадратическое значение величины таких амплитуд в типичном канале связи, а на оси ординат — вероятность. Для большинства каналов Речевой связи доминируют очень низкие тона; 50% времени напряжение, характери­зующее энергию обнаруженной речи, составляет менее четверти среднеквадратиче­
ского значения. Значения с большими амплитудами встречаются относительно редко; только 15% времени напряжение превышает среднеквадратическое значение. Из урав­нения (2.18,6) видно, что шум квантования зависит от шага (размера интервала кван­тования). Если шаг квантования постоянен, квантование является равномерным (квантованием с постоянным шагом). При передаче речи подобная система будет не­экономной; многие уровни квантования будут использоваться довольно редко. В сис­теме, использующей равномерное квантование, шум квантования будет одинаковым для всех амплитуд сигнала. Следовательно, при таком квантовании отношение сиг­нал/шум будет хуже для сигналов низких уровней, чем для сигналов высоких уровней. Неравномерное квантование может обеспечить лучшее квантование слабых сигналов и грубое квантование сильных сигналов. Значит, в этом случае шум квантования может быть пропорциональным сигналу. Результатом является повышение общего отноше­ния сигнал/шум — уменьшение шума для доминирующих слабых сигналов за счет повышения шума для редко встречающихся сильных сигналов. На рис. 2.18 сравнива­ется квантование слабого и сильного сигналов при равномерном и неравномерном квантовании. Ступенчатые сигналы представляют собой аппроксимации аналоговых сигналов (после введения искажения вследствие квантования). Улучшение отношения сигнал/шум для слабого сигнала, которое дает неравномерное квантование, должно быть очевидным. Неравномерное квантование может использоваться при фиксации отношения сигнал/шум для всех сигналов входного диапазона. Для сигналов речевого диапазона, динамический диапазон типичного входного сигнала составляет 40 дБ, где значение в децибелах определяется через отношение мощности Р\ к мощности Р₂:

Pi

значение в децибелах = 10 lg—=-.

В устройстве с равномерным квантованием слабые сигналы будут иметь на 40 дБ худшее отношение сигнал/шум, чем сильные сигналы. В стандартной телефонной связи для обработки большого диапазона возможных входных уровней сигналов ис­пользуется не обычное устройство с равномерным квантованием, а устройство с лога­рифмическим сжатием. При этом отношение сигнал/шум на выходе не зависит от распределения уровней сигнала на входе.

Уровни квантования \ 15
^14	^ы L............................................................................................................................... -...
13 У
Сильный сигнал 12 |	13 Л]
Y 11 /Г	12 \
\ ^10 F	^1^1 Ч
1 /Г 9	10 ^
-—1 Слабый сигнал \ 8	-"4“!r>
5.
1 --------------------------------------------------------------- /Т \ / ^5	L_g----------------------------------------- \------------------------- '^=rir
\ г ^4	^3 ч
Л /Г ^3	^2 \ ¥
ГЧ А 2	1 к /
Ж ^1	........................................................... -........................................................................................................... -/ о ^ ^
^ Я 0

Равномерное квантование Неравномерное квантование Рис. 2.18. Равномерное и неравномерное квантование сигналов

2.7.2. Неравномерное квантование

Одним из способов получения неравномерного квантования является использование устройства с неравномерным квантованием с характеристикой, показанной на рис. 2.19, а. Гораздо чаще неравномерное квантование реализуется следующим образом: вначале исходный сигнал деформируется с помощью устройства, имеющего логарифми­ческую характеристику сжатия, показанную на рис. 2.19, б, а потом используется уст­ройство квантования с равномерным шагом. Для сигналов малой амплитуды характери­стика сжатия имеет более крутой фронт, чем для сигналов большой амплитуды. Следо­вательно, изменение данного сигнала при малых амплитудах затронет большее число равномерно размещенных уровней квантования, чем то же изменение при больших ам­плитудах. Характеристика сжатия эффективно меняет распределение амплитуд входного сигнала, так что на выходе системы сжатия уже не существует превосходства сигналов малых амплитуд. После сжатия деформированный сигнал подается на вход равномер­ного (линейного) устройства квантования с характеристикой, показанной на рис. 2.19, в. После приема сигнал пропускается через устройство с характеристикой, обратной к по­казанной на рис. 2.19, б и называемой расширением, так что общая передача не является деформированной. Описанная пара этапов обработки сигнала (сжатие и расширение) в совокупности обычно именуется компандированием.

2.7.3. Характеристики компандирования

В ранних системах РСМ функции сжатия были гладкими логарифмическими. Боль­шинство современных систем использует кусочно-линейную аппроксимацию функ­ции логарифмического сжатия. В Северной Америке ц-уровневая характеристика уст­ройства сжатия описывается следующим законом:

ln[l + М-(|-*|/-*_тах)] _

У ~ У max —----------------- *-Sgn X,

^/пих 1п(1 + Ц) ^&

+1 при х > О -1 при х < О ’

ц. — положительная константа, хну — напряжения на входе и выходе, а.г_1ШХ и — максимальные положительные амплитуды напряжений на входе и выходе. Характери­стика устройства сжатия показана на рис. 2.20, а для нескольких значений ц.. В Се­верной Америке стандартным значением для д является 255. Отметим, что д = 0 соот­ветствует линейному усилению (равномерному квантованию).

Выход

Выход

Выход

Рис. 2.19 Примеры характеристик: а) характеристика нерав­номерного устройства квантования; 6) характеристика сжа­тия; в) характеристика равномерного устройства квантования

Вход, I Л-1 /Хгг б)

Рис. 2.20. Характеристики устройств сжатия: а) для различ­ных значений ц; 6) для различных значений А

В Европе для описания характеристики устройства сжатия используется несколько иной закон:

		(2.23)

Здесь А — положительная константа, а х и у определены так же, как и в формуле (2.22). На рис. 2.20, б изображены характеристики устройств сжатия для нескольких значений А. Стандартным значением для А является величина 87,6. (Обсуждение темы равномер­ного и неравномерного квантования продолжается в главе 13, раздел 13.2.)

2.8. Низкочастотная передача

2.8.1. Представление двоичных цифр в форме сигналов

В разделе 2.6 показывалось, как аналоговые сигналы преобразовываются в двоичные цифры посредством использования РСМ. В результате этого не получается ничего “физического”, только цифры. Цифры — это просто абстракция, способ описания информации, содержащейся в сообщении. Следовательно, нам необходимо иметь что- то физическое, что будет представлять цифры или “являться носителем” цифр.

Чтобы передать двоичные цифры по низкочастотному каналу, будем представлять их электрическими импульсами. Подобное представление изображено на рис. 2.21. На рис. 2.21, а показаны разделенные во времени интервалы передачи кодовых слов, причем каждое кодовое слово является 4-битовым представлением квантованной вы­борки. На рис. 2.21, б каждая двоичная единица представляется импульсом, а каждый двоичный нуль — отсутствием импульса. Таким образом, последовательность электри­ческих импульсов, представленная на рис. 2.21, б, может использоваться для передачи информации двоичного потока РСМ, а значит информации, закодированной в кван­тованных выборках сообщения.

Задача приемника — определить в каждый момент приема бита, имеется ли им­пульс в канале передачи. В разделе 2.9 будет показано, что вероятность точного опре­деления наличия импульса является функцией энергии принятого импульса (или площади под графиком импульса). Следовательно, ширину импульса Г'(рис. 2.21, б) выгодно делать как можно больше. Если увеличить ширину импульса до максимально возможного значения (равного времени передачи бита 7), то получится сигнал, пока­занный на рис. 2.21, в. Вместо того чтобы описывать этот сигнал как последователь­ность импульсов и их отсутствий (униполярное представление), мы можем описать его как последовательность переходов между двумя ненулевыми уровнями (биполярное представление). Если сигнал находится на верхнем уровне напряжения, он представляет двоичную единицу, а если на нижнем — двоичный нуль.

2.8.2. Типы сигналов РСМ

При применении импульсной модуляции к двоичному символу получаем двоичный сигнал, называемый сигналом с импульсно-кодовой модуляцией (pulse-code modulation — РСМ). Существует несколько типов PCM-модулированных сигналов; они изображены на рис. 2.22 и будут описаны ниже. В приложениях телефонной связи эти сигналы часто именуются кодами канала (line code).

1: о 1 1	10 0 1	0 110
т > Интервал
§и?1^ДЭЧИ

Интервал передачи кодового слова а)

+V 0-J- -V

О Т 2Т ЗТ 4 Г 5 Г 6Г 7 Г 8Г 9Г ЮГ 117"

в)

Л/с. 2.2/ Пример представления двоичных цифр в форме сигналов: а) последовательность РСМ; б) импульсное пред­ставление последовательности РСМ; в) импульсный сигнал (переход между двумя уровнями)

При применении импульсной модуляции к недвоичному символу получаем сигнал, назы­ваемый М-арным импульсно-модулированным; существует несколько типов таких сигна­лов. Описываются они в разделе 2.8.5, особое внимание уделяется амплитудно­импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation — РАМ). На рис. 2.1 в выделенном блоке “Передача видеосигналов” показана базовая классификация сигналов РСМ и M-арных импульсных сигналов. Сигналы РСМ делятся на четыре группы.

1. Без возврата к нулю (nonreturn-to-zero — NRZ)

2. С возвратом к нулю (retum-to-zero — RZ)

3. Фазовое кодирование

4. Многоуровневое бинарное кодирование

Самыми используемыми сигналами РСМ являются, пожалуй, сигналы в кодиров­ках NRZ. Группа кодировок NRZ включает следующие подгруппы: NRZ-L (L = level — уровень), NRZ-М (М = mark — метка) и NRZ-S (S = space — пауза). Кодиров­ка NRZ-L (nonretum-to-zero level — без возврата к нулевому уровню) широко исполь­зуется в цифровых логических схемах. Двоичная единица в этом случае представляет­ся одним уровнем напряжения, а двоичный нуль — другим.

+V -V +V -V +V -V +V

NRZ-L NRZ-M NRZ-S

Дикодная NRZ

n

+v Дикодная RZ 0 -V

О T 2T 3T 4r 5r 6Г 7Г 8Г 9Г10Г Puc. 2.22. Различные сигналы PCM

Изменение уровня происходит всякий раз при переходе в последовательности переда­ваемых битов от нуля к единице или от единицы к нулю. При использовании коди­ровки NRZ-М двоичная единица, или метка (mark), представляется изменением Уровня, а нуль, или пауза (space), — отсутствием изменения уровня. Такая кодировка часто называется дифференциальной. Применяется кодировка NRZ-М преимуществен­но при записи на магнитную ленту. Кодировка NRZ-S является обратной к кодировке NRZ-М: двоичная единица представляется отсутствием изменения уровня, а двоич­ный нуль — изменением уровня.

Группа кодировок RZ включает униполярную кодировку RZ, биполярную коди­ровку RZ и кодировку RZ-AMI. Эти коды применяются при низкочастотной передаче данных и магнитной записи. В униполярной кодировке RZ единица представляется наличием импульса, длительность которого составляет половину ширины бита, а

нуль — его отсутствием. В биполярной кодировке RZ единицы и нули представляются импульсами противоположных уровней, длительность каждого из которых также со­ставляет половину ширины бита. В каждом интервале передачи бита присутствует им­пульс. Кодировка RZ-AMI (AMI = alternate mark inversion — с чередованием полярно­сти) — это схема передачи сигналов, используемая в телефонных системах. Единицы представляются наличием импульсов равных амплитуд с чередующимися полярностя­ми, а нули — отсутствием импульсов.

Дата добавления: 2015-10-28