Основы теории принятая статистических решений 1051 7 страница

iiL lL... _t /ТА/~ГУ~Д/~А/~Л,

—47"_s — 2T_S 0 2Ts 47"s —2f_s —f_s -f_m 0 fm fs

Д) e)

Puc. 2.6. Теорема о Дискретном представлении и свертка Фурье-образов

Фильтрующее свойство импульсной функции (см. раздел Х.4.1) можно описать сле­дующим выражением:

2 fs

x(t)8(t -1₀) - x(t₀)8(t -1₀).

Воспользовавшись этим свойством, можно заметить, что jc_s(r)> дискретный вариант дг(0» показанный на рис. 2.6, д, описывается следующим выражением:

x_s(t) = x(t)x₅(0 = ^j?x(t)b(t - nT_s) =

П =

= ^x(nT_s)8(t-nT_s).

Используя свойство преобразования Фурье для свертки в частотной области (см. раз­дел А.5.3), мы можем преобразовать произведение временных функций x(t)x_s(t) в урав­нении (2.5) в свертку частотных функций X(f) * X_b(j), где

(2.6)

является Фурье-образом последовательности импульсов x&(t), a f_s = 1 /Т„ — частотой дис­кретизации. Отметим, что Фурье-образ последовательности импульсов — это другая по­следовательность импульсов; периоды обеих последовательностей обратны друг другу. Последовательность импульсов x&(t) и ее Фурье-образ X_s(f) показаны на рис. 2.6, в, г. Свертка с импульсной функцией смещает исходную функцию:

X(J) * 8(f- nfo =X(f-nf_s). Запишем теперь Фурье-образ дискретного сигнала:

|

*,</)=*(/)**5</) = *</)* -jr'ZSif-nf,) =

* С

оо

=т

с

⁴ и = — оо

Итак, приходим к заключению, что в пределах исходной полосы спектр X_S(J) дискрет­ного сигнала x_s(t) равен, с точностью до постоянного множителя (1/7;), спектру исход­ного сигнала x(t). Кроме того, спектр периодически повторяется по частоте с интерва­лом f_s Гц. Фильтрующее свойство импульсной функции позволяет легко получить свертку в частотной области последовательности импульсов с другой функцией. Им­пульсы действуют как стробирующие функции. Значит, свертку можно выполнить графически, накрывая последовательность импульсов Х₈(/), показанную на рис. 2.6, г, образом \X(f)\, представленным на рис. 2.6, б. Этот процесс повторяет функцию \X(f)\ в каждом интервале частот последовательности импульсов, что в конечном итоге дает функцию рС(/)|, показанную на рис. 2.6, е.

После выбора частоты дискретизации (в предыдущем примере f_s = 2/J каждая спек­тральная копия отделяется от соседних полосой частот, равной /* Гц, и аналоговый сиг­нал полностью восстанавливается из выборок путем фильтрации. В то же время для вы­полнения этого потребовался бы идеальный фильтр с абсолютно крутыми фронтами. Очевидно, что если f_s>2f_m, копии отдалятся (в частотной области), как показано на рис. 2.7, а, и это облегчит операцию фильтрации. На рисунке также показана типичная характеристика фильтра нижних частот, который может использоваться для выделения

2.4. Фооматиостанир аналпгпипй мнАппмяпмм

спектра смодулированного сигнала. При уменьшении частоты дискретизации aof<2f_m копии начнут перекрываться, как показано на рис. 2.7, б, и информация частично будет потеряна. Явление, являющееся результатом недостаточной дискретизации (выборки производятся очень редко), называется наложением (aliasing). Частота Найквиста f=2f_m — это предел, ниже которого происходит наложение; чтобы избежать этого неже­лательного явления, следует удовлетворять критерию Найквиста f_s > 2f_m.

Характеристика фильтра, необходимая для восстановления IXs(fll сигнала из дискретных данных

а) U_s(/)l -2f_s -f_s 0 f_s 2 f_s б) Рис. 2.7. Спектры для различных частот дискретизации: а) дис­кретный спектр (f_s > 2fm); б) дискретный спектр (f < 2fm)

С практической точки зрения ни сигналы, представляющие технический интерес, ни реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы. Сиг­налы с идеально ограниченной полосой не существуют в природе (см. раздел 1.7.2); следовательно, реализуемые сигналы, даже если мы можем считать, что они имеют ограниченную полосу, в действительности всегда включают некоторое наложение. Эти сигналы и фильтры могут, впрочем, рассматриваться как ограниченные по полосе. Под последним мы подразумеваем, что можно определить полосу, вне которой спек­тральные компоненты затухают настолько, что ими можно пренебречь.

2.4.1.2. Естественная дискретизация

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонст­рируется с помощью свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге час­тоты. Хотя мгновенная выборка и является удобной моделью, все же более практич­ный способ дискретизации аналогового сигнала x(t) с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а,б) состоит в его умножении ка серию импульсов или коммутирующий сигнал x_p(t) (рис. 2.8, в). Каждый импульс серии x_p(t) имеет ширину Г и амплитуду 1/Г. Умножение на x_p(t) можно рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота дискретизации обозначается через /_s, а величина, обратная к ней (время между выборками), — через T_s. Получаемая последовательность дискретных данных, x_s(t), показана на рис. 2.8, д; она выражается следующей формулой:

x₅(t) - x(t)x_p(t).

IW)I

A

-fm 0 fm

6)

IXp(Ol

ED

~2fg ~fs 0 fs 2 fs

r)

lx_s(0l

_L

_L

2f_s

-f

-4T_S -2T_S 0 2T_S 4T_S -2f_s -f_s -f_m 0 f_m f_s

Д) e)

Puc. 2.8. Теорема о дискретном представлении и сдвиг частоты Фурье-образа

В данном случае мы имеем дело с так называемой естественной дискретизацией (natural sampling), поскольку вершина каждого импульса х_s(t) в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравне­ния (А. 13) периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье:

*„(о= 2>²*^,пЛ'. <^2Л°)

п = —оо

где частота дискретизации, f_s = 1 IT_S, выбрана равной 2/_т, так что выполнено минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А24) с„= (1/7^) sine (nTIT_s), где Г — ширина импульса, 1/Т — его амплитуда, а

smc у =

Огибающая спектра амплитуд серии импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет вид функции sine. Объединяя выражения (2.9) и (2.10), получаем следующее:

х,(0 = х(г).

П = —оо

Образ X_s(j) дискретного сигнала находится следующим образом:

X_s(f) = $\x(t) ±с_пе^\.

Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно ме­нять местами. Следовательно, можно записать следующее:

(2.13)

Используя свойство переноса частоты преобразования Фурье (см. раздел А.3.2), полу­чаем следующее выражение для X_s(j):

(2.14)

Подобно дискретизации с использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что X_S(J) — это копия X(j), периодически повторяющаяся по частоте с интервалом f_s Гц. Впрочем, при естественной дискретизации видим, что X_s(j) взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии импульсов, тогда как при дискретиза­ции единичными импульсами имеем импульсы постоянной формы. Отметим, что в пределе, при стремящейся к нулю ширине импульса Т, с„ стремится к 1!T_S для всех п (см. пример ниже) и уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8).

Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными импульсами и естественной

дискретизации

Рассмотрим данный сигнал x(t) и его Фурье-образ X(f). Пусть X_si(f) — спектр сигнала x_sl(t), являющегося результатрм дискретизации x(t) с помощью серии единичных им­пульсов Xb(t), a X_s2(f) — спектр сигнала x_s2(t), являющегося результатом дискретизации x(t) с помощью серии импульсов x_p(t), имеющих ширину Г, амплитуду 1/Т и период T_s. Покажите, что в пределе Т -* О X_s](f) = X_s2(f)- Решете

Из уравнения (2.8)

и из уравнения (2.14)

*й(/)= 'EcnXV-nf,)-

При Т -* 0 амплитуда импульса стремится к бесконечности (площадь импульса посто­янна) и x_p(t) -> **(f). С помощью уравнения (А. 14) коэффициенты с„ можно записать как следующий предел:

Следовательно, в пределах интегрирования (от —Г/2 до Г/2) единственный ненулевой вклад в интеграл дает значение хъ(t) = 8(t); в данном случае можно записать следующее:

TJ2

с_п =у \?>(t)e~^2nmL,dt = j.

⁵ -Т,п

Получаем, что в пределе для всех п X_sl(f) = X_s2(f).

2.4.1.3. Метод “выборка-хранение”

Простейшим, а поэтому и наиболее популярным методом дискретизации является выборка-хранение. Описать этот метод можно с помощью свертки серии дискретных импульсов, [xW-xgWL показанной на рис. 2.6, д, с прямоугольным импульсом p(t), имеющим единичную амплитуду и ширину Г₅. Эта свертка дает дискретную последо­вательность импульсов с плоским верхом:

X_s (О = р(0 * [*(0*8 (О] =

*(0* 2>-пт;)

Фурье-образ, X_s(j), временной свертки в уравнении (2.15) равен произведению в час­тотной области Фурье-образа P(f) прямоугольного импульса и периодического спектра импульсно-дискретных данных, показанного на рис. 2.6, е:

Х⁵⁽'~^пГ*>

		jr Х^5( f)
				(2.16)

1 °°

Здесь P(f) имеет вид T_s sine fT_s. Результатом умножения является спектр, подобный спектру примера естественной дискретизации (рис. 2.8, е). Наиболее явный результат операции хранения — значительное затухание высокочастотных спектральных копий (сравните рис. 2.8, е и 2.6, е), что весьма желательно. Как правило, для завершения процесса фильт­рации требуется дополнительная аналоговая фильтрация, позволяющая подавить остаточ­ные спектральные компоненты, кратные частоте дискретизации. Вторичным результатом операции хранения является неоднородное усиление (или подавление) спектра нужной полосы частот за счет функции P(f) (см. формулу 2.16). После фильтрации это подавление можно компенсировать путем применения функции, обратной к P(f).

2.4.2. Наложение

На рис. 2.9 представлено увеличенное изображение рис. 2.7, б, на котором дана положительная половина спектра немодулированного сигнала и одна копия сиг­
нала. Этот рисунок иллюстрирует наложение в частотной области. Перекрываю­щаяся область, показанная на рис. 2.9, б, содержит ту часть спектра, которая пе­рекрывается вследствие недостаточной частоты выборки. Накладывающиеся спек­тральные компоненты представляют собой неоднозначную информацию, находя­щуюся в полосе частот f_m). Из рис. 2.10 видно, что повышение частоты дискретизации /' позволяет устранить наложение путем разделения спектральных копий; результирующий спектр, показанный на рис. 2.10, б, соответствует случаю, приведенному на рис. 2.7, а. На рис. 2.11 и 2.12 продемонстрированы два способа борьбы с наложением, в которых используются фильтры защиты от наложения спектров (antialiasing filter). На рис. 2.11 аналоговый сигнал предварительно фильтруется, так что новая максимальная частота f'_m уменьшается до fJ2 или даже сильнее. Таким образом, поскольку f_s>2f'_m, на рис. 2.11, б уже отсутствуют пере­крывающиеся компоненты. Такой метод устранения наложения до дискретизации очень хорошо себя зарекомендовал в области проектирования цифровых систем. При хорошо известной структуре сигнала наложение может устраняться и после дискретизации, для чего дискретные данные пропускаются через фильтр нижних частот [2]. На рис. 2.12, а,б накладывающиеся компоненты удаляются после дис­кретизации; частота среза фильтра удаляет перекрывающиеся компоненты; частота f"_m должна быть меньше (/j - f_m). Отметим, что методы фильтрации, при­меняемые для удаления части спектра, в которой присутствует наложение, на рис. 2.11 и 2.12 приведут к потере некоторой информации. По этой причине час­тота дискретизации, ширина полосы среза и тип фильтра, выбираемые для кон­кретного сигнала, не являются независимыми параметрами.

Реализуемые фильтры требуют ненулевой ширины полосы для перехода между полосой пропускания и областью затухания. Эта область называется полосой пере­хода. Для минимизации частоты дискретизации системы желательно было бы, чтобы фильтры защиты от наложения спектров имели узкую полосу перехода. В то же время при сужении полосы перехода резко возрастает сложность фильт­ров и их стоимость, так что необходимо принять компромиссное решение отно­сительно цены более узкой полосы перехода и цены высокой частоты дискретиза­ции. Во многих системах оптимальной шириной полосы перехода является 10-20% от ширины полосы сигнала. Рассчитав частоту дискретизации Найквиста для 20%-ной ширины перехода фильтра защиты от наложения спектров, получим ин­женерную версию критерия Найквиста:

fs*2,2f_m.

а)

U₅(/)l

		б)
	Рис. 2.9. Наложение в частотной области: а) спектр непре­рывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

Рис. 2.10. Большая частота дискретизации позволяет избе­жать наложения: а) спектр непрерывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

На рис. 2.13 показано, как выглядит наложение во временной области. Точками пока­заны выборки сигнала (сплошная синусоида). Отметим, что вследствие недостаточной час­тоты выборки через точки выборки можно проложить другую синусоиду (пунктир).

Пример 2.2. Частота дискретизации для музыкальной системы высокого качества

Требуется с высоким качеством оцифровать музыкальный источник с шириной полосы 20 кГц. Для этого нужно определить частоту дискретизации. Используя инженерную версию критерия Найквиста, формулу (2.17), получаем, что частота дискретизации должна превышать 44,0 тысячи

выборок в секунду. Для сравнения, стандартная частота дискретизации для аудиопроигрывателя компакт-дисков составляет 44,1 тысячи выборок в секунду, а стандартная частота дискретизации аудиодисков студийного качества равна 48,0 тысяч выборок в секунду. Сигнал Рис. 2.13. Наложенные частоты, возникшие вследствие дискретизации с частотой, меньшей частоты Найквиста

2.4.3. Зачем нужна выборка с запасом

Выборка с запасом (oversampling) — это наиболее экономичное решение задачи преобразо­вания аналогового сигнала в цифровой или цифрового в аналоговый. Это объясняется тем, что обработка сигнала выполняется на высокопроизводительном аналоговом оборудова­нии, что обычно дороже использования для этой же задачи цифрового оборудования обра­ботки сигналов. Рассмотрим преобразование аналоговых сигналов в цифровые. Если это выполняется без выборки с запасом, то процесс дискретизации описывается тремя про­стыми этапами.

Выборка без запаса

1. Сигнал пропускается через высокопроизводительный аналоговый фильтр ниж­них частот для ограничения его полосы.

2. Отфильтрованный сигнал дискретизируется с частотой Найквиста с целью создания сигнала с (приблизительно) ограниченной полосой. Как описывалось в разделе 1.7.2, сигнал со строго ограниченной полосой относится к разряду нереализуемых.

3. Выборки квантуются устройством преобразования аналоговых сигналов в цифро­вые, отображающим выборки, которые могут принимать значения из непрерыв­ного диапазона, в конечный набор дискретных уровней.

Если же выборку производить с запасом, то процесс будет состоять из пяти этапов.

Выборка с запасом

1. Сигнал пропускается через менее производительный (более дешевый) аналоговый фильтр нижних частот (предварительная фильтрация) для ограничения его полосы.

2. Предварительно отфильтрованный сигнал дискретизируется с частотой выше час­тоты Найквиста для создания сигнала с (приблизительно) ограниченной полосой.

3. Аналого-цифровой преобразователь формирует выборки, которые могут принимать значения из непрерывного диапазона, в конечный набор дискретных уровней.

4. Цифровые выборки обрабатываются высокопроизводительным цифровым фильтром для сужения полосы цифровых выборок.

5. Частота дискретизации на выходе цифрового фильтра уменьшается пропорционально сужению полосы, полученному при использовании этого цифрового фильтра.

Преимущества выборки с запасом подробно рассматриваются в двух следующих разделах.

2.4.3.1. Аналоговвя фильтрвция, дискретизация и преобразование аналоговых сигналов в цифровые

Полоса пропускания аналогового фильтра, ограничивающая ширину полосы вход­ного сигнала, равна ширине полосы сигнала плюс область спада (stop band). Наличие области перехода приводит к увеличению ширины полосы сигнала на выходе на неко­торую величину/,. Частоту Найквиста f_s для отфильтрованного выхода, обычно равную 2f_m (удвоенной максимальной частоте дискретного сигнала), теперь необходимо уве­личить до 2/„+/,. Ширина полосы спада фильтра представляет издержки процесса дискретизации. Этот дополнительный спектральный интервал не представляет полосы полезного сигнала, а нужен для защиты полосы сигнала путем резервирования спек­тральной области для перекрывающегося спектра, возникающего в процессе дискре­тизации. Наложение возникает вследствие того, что реальный сигнал не может быть строго ограниченным. Типичные полосы спада дают 10-20%-ное увеличение частоты дискретизации по сравнению с частотой, определяемой критерием Найквиста. При­мером таких издержек может служить цифровая аудиосистема проигрывания компакт- дисков, где двусторонняя полоса равна 40 кГц, а частота дискретизации — 44,1 кГц, или система проигрывания цифровых аудиокассет (digital audio type — DAT), в кото­рой ширина двусторонней полосы также равна 40 кГц, а частота дискретизации — 48,0 кГц.

Естественным желанием является создание аналоговых фильтров с узкой полосой перехода для сохранения максимально низкой из возможных частот дискретизации. В то же время аналоговые фильтры имеют две нежелательные особенности. Во-первых, они могут вызывать искажение (нелинейное изменение фазы с частотой), вызванное малы­ми областями перехода. Во-вторых, цена системы может оказаться высокой, поскольку узкие области перехода подразумевают применение фильтров высоких порядков (см. раздел 1.6.3.2), требующих большого числа высококачественных составляющих. Проблема состоит в том, что для уменьшения стоимости хранения данных хотелось бы работать с устройством дискретизации с максимально низкой частотой. Для достижения этой цели можно создать сложный аналоговый фильтр с узкой областью перехода. Од­нако такой фильтр не только дорог, но и искажает сам сигнал, хотя задачей фильтра как раз является защита сигнала (от нежелаемого наложения).

В данном случае выборка с запасом наиболее приемлема — при наличии пробле­мы, решить которую мы не можем, преобразуем ее в проблему, поддающуюся реше­нию. Мы используем дешевый, менее сложный предварительный аналоговый фильтр для ограничения полосы входного сигнала. Этот аналоговый фильтр можно упростить за счет выбора более широкой переходной области. При этом увеличивается ширина спектра, из-за чего нам нужно увеличить требуемую частоту дискретизации. Обычно начинают с выбора частоты дискретизации, в 4 раза превышающей исходную, после чего разрабатывают аналоговый фильтр, ширина полосы которого соответствует этой увеличенной частоте дискретизации. Например, вместо дискретизации сигнала ком­пакт-диска на частоте 44,1 кГц при ширине области перехода 4,1 кГц, реализованной с использованием сложнейшего эллиптического фильтра 10-го порядка (подразумевается, что фильтр включает 10 избирательных элементов, таких как кон­денсаторы и индуктивности), мы выбираем выборку с запасом. В этом случае устрой­ство дискретизации может работать на частоте 176,4 кГц с областью перехода 136,4 кГц, реализованное простым эллиптическим фильтром 4-го порядка (имеющим всего 4 избирательных элемента).

2.4.3.2. Цифровая фильтрация и повторная выборка

Итак, у нас есть дискретные данные с большей, чем требуется, частотой дискрети­зации, и эти данные пропускаются через недорогой высокопроизводительный цифро­вой фильтр для выполнения фильтрации, необходимой для предотвращения наложе­ния. Цифровой фильтр может реализовать узкую область перехода без искажения, свойственного аналоговым фильтрам, а его эксплуатация недорогая. После того как цифровая фильтрация уменьшила ширину полосу перехода, мы снижаем частоту дис­кретизации сигнала (повторная выборка). В результате в единую структуру объединя­ются качественные методы цифровой обработки, фильтрация и повторная выборка.

Рассмотрим теперь вопрос дальнейшего улучшения качества процесса сбора дан­ных. Предварительный аналоговый фильтр приводит к некоторому искажению ампли­туды и фазы. Поскольку заранее известно, каково это искажение, цифровой фильтр проектируется не только для защиты (совместно с аналоговым фильтром) от наложе­ния, но и для компенсации усиления и искажения фазы, вносимых аналоговым фильтром. Суммарный результат может, по желанию, улучшаться до любого предела. Таким образом, получаем сигнал более высокого качества (менее искаженный) по бо­лее низкой цене. Аппаратура цифровой обработки сигналов, представляющая собой развитие компьютерной индустрии, характеризуется значительным ежегодным сни­жением цен, чего нельзя сказать об аналоговой аппаратуре.

Подобным образом выборка с запасом используется в процессе преобразования цифрового сигнала в аналоговый (digital-to-analog conversion — DAC). Аналоговый фильтр, через который пропускается преобразованный сигнал, будет искажать сигнал, если последний будет иметь узкую полосу перехода. Но полоса перехода уже не будет узкой, если данные, полученные после преобразования DAC, были оцифрованы с по­мощью выборки с запасом.

2.4.4. Сопряжение сигнала с цифровой системой

Рассмотрим четыре способа описания аналоговой исходной информации. Возможные варианты показаны на рис. 2.14. Сигнал, изображенный на рис. 2.14, а, будем называть исходным аналоговым. На рис. 2.14, б представлена дискретная версия исходного сигнала, обычно именуемая данными, оцифрованными естественным способом, или данными с ам­плитудно-импульсной модуляцией (pulse amplitude modulation — РАМ). Думаете, дискрет­ные данные на рис. 2.14, б совместимы с цифровой системой? Нет, поскольку амплиту­да каждой естественной выборки все еще может принимать бесконечное множество возможных значений, а цифровая система работает с конечным набором значений. Да­же если дискретные сигналы имеют плоские вершины, возможные значения составляют бесконечное множество, поскольку они отражают все возможные значения непрерыв­ного аналогового сигнала. На рис. 2.14, в показано представление исходного сигнала дискретными импульсами. Здесь импульсы имеют плоскую вершину, и возможные зна­чения амплитуд импульсов ограничены конечным множеством. Каждый импульс харак­теризуется уровнем, причем все уровни предопределены и составляют конечное множе­ство; каждый уровень может представляться символом конечного алфавита. Импульсы на рис. 2.14, в называются квантованными выборками; такой формат является естествен­ным выбором для сопряжения с цифровой системой. Формат, показанный на Рис. 2.14, г, может быть получен на выходе схемы выборки-хранения. Квантования по­сле дискретных значений в конечное множество, данные в таком формате совместимы с цифровой системой. После квантования аналоговый сигнал по-прежнему может восста-

нашиваться, но уже не абсолютно точно; повысить точность восстановления аналого­вого сигнала можно за счет увеличения числа уровней квантования (требуется увеличе­ние ширины полосы системы). Искажение сигнала вследствие квантования будет рас­смотрено далее в этой главе (и в главе 13).

Уг(() А

У1(А

[ШЛИ

Время

Время

а)

б)

УМ

Уз(Г)

ппЛпп

' Время

в)

Дата добавления: 2015-10-28