Основы теории принятая статистических решений 1051 15 страница

В формулах (3.86)-(3.88) индекс к выбирался так, чтобы число точек взятия выборок рав­нялось 4N+ 1. Векторы г и с имеют размерность AN + 1 и 2N+ 1, соответственно, а матрица х не является квадратной и имеет размер AN + 1 на 2N+ 1. В этом случае система уравне­ний (3.89,а) называется переопределенной (т.е. число уравнений превышает число неиз­вестных). Решать подобные уравнения можно с помощью детерминистского способа — метода обращения в нуль незначащих коэффициентов или статистического — метода решения с минимальной среднеквадратической ошибкой (mean-square error — MSE).

Обращение в нуль незначащих коэффициентов

Это решение начинается с отделения N верхних и N нижних строк матрицы х в уравнении (3.88). Таким образом, матрица х становится квадратной размером 2N+ 1 на 2N+ 1, вектор г также имеет теперь размер 2N + 1, а формула (3.89,а) определяет детерминированную систему 2N+ 1 уравнений. Предлагаемое решение минимизирует максимальное искажение, вызванное межсимвольной интерференцией, путем выбора весовых коэффициентов {с„} таким образом, чтобы сигнал на выходе эквалайзера был равен нулю в N точках взятия выборок по обе стороны от искомого импульса. Други­ми словами, весовые коэффициенты выбираются так, чтобы

(3.90)

Для нахождения 2N + 1 весовых коэффициентов {с„} из системы 2N+ 1 уравнений ис­пользуется выражение (3.90). Требуемая длина фильтра (число отводов) зависит от того, насколько сильно канал может “размазать” импульс. Для эквалайзера конечного размера максимальное искажение гарантированно будет минимизировано только в том случае, если глазковая диаграмма изначально имеет вид открытого глаза. В то же время при высокоскоростной передаче и в каналах, вводящих значительную межсим­вольную интерференцию, до выравнивания глаз всегда закрыт [8]. Кроме того, эква­лайзер, использующий метод обращения в нуль незначащих коэффициентов, не учи­тывает воздействие шума, поэтому такое решение не всегда является оптимальным.

Пример 3.5. Трехотводный эквалайзер, использующий метод обращения в нуль

незначащих коэффициентов

Путем передачи одиночного импульса или настроечного сигнала требуется определить весо­вые коэффициенты отводов выравнивающего трансверсального фильтра. Выравнивающий канал, изображенный на рис. 3.26, состоит всего из трех отводов. Пусть принят искаженный набор выборок импульса {*(£)} со значениями напряжения 0,0; 0,2; 0,9; -0,3; 0,1, как пока­зано на рис. 3.25. Используйте метод обращения в нуль незначащих коэффициентов для на­хождения коэффициентов {c_i, Со, сi}, уменьшающих межсимвольную интерференцию так, чтобы выборки импульса после выравнивания имели значения {z(— 1) = 0, z(0) = 1, z(l) = 0}. Используя эти весовые коэффициенты, вычислите значения выборок выровненного импуль­са в моменты к = ±2, ±3. Чему равен вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную ин­терференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

Решение

При заданном импульсном отклике канала из формулы (3.89) получим следующее:

40)	4-1)	4~	2)
41)	40)	*(-	1)
42)	х(1)	40) _
0,9	0,2	0'	с_
-0,3	0,9	0,2	С
ОД	-0,3	0,9	с

С-1 Со ^С1

Решая систему трех уравнений, получаем следующие значения весовых коэффициентов:

^с-1		’- 0,2140"
^со	=	0,9631
_^С1.		0.3448

Значения выравненных выборок импульса {z(£)}, соответствующих временам взятия выбо­рок к = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, вычисляются с помощью формулы (3.89,а):

0,0000; -0,0428; 0,0000; 1,0000; 0,0000; -0,0071; 0,0345.

Вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию равен 0,0428, а сумма ам­плитуд всех вкладов равна 0,0844. Очевидно, что эквалайзер с тремя отводами дает нулевое значение выровненного импульса в точках взятия выборки, соседствующих с основным ле­пестком. Если создать эквалайзер большего размера, он будет давать нулевое значение в большем числе точек взятия выборок.

Решение с минимальной среднеквадратической ошибкой

Более устойчивый эквалайзер можно получить, выбрав весовые коэффициенты {с_л}, минимизирующие среднеквадратическую ошибку (mean-square error — MSE) всех членов, вносящих вклад в межсимвольную интерференцию, плюс мощность шума на выходе эквалайзера [9]. Среднеквадратическая ошибка определяется как математиче­ское ожидание квадрата разности желаемого и обнаруженного информационных сим­волов. Для получения решения с минимальной среднеквадратической ошибкой мож­но использовать переопределенную систему уравнений (3.89,а), умножив обе ее части на х^Т, что дает [10]

(3.91,а)

R* = Rx>c,

где R_x- = х^тг является вектором взаимной корреляции, a R„ = х^гс — автокорреляционной матрицей входного шумового сигнала. На практике R,, и R^ априори неизвестны, но могут быть вычислены приблизительно путем передачи через канал тестового сигнала и использования усреднения по времени для нахождения весовых коэффициентов из уравнения (3.91):

^; R„ R_r.

При детерминистском решении методом обращения в нуль незначащих коэффициен­тов матрица х должна быть квадратной. Но для получения (статистического) решения с минимальной среднеквадратической ошибкой начинать следует с переопределенной
системы уравнений, а значит, неквадратной матрицы х, которая впоследствии преоб­разовывается в квадратную автокорреляционную матрицу R_u = х⁷х, приводящую к системе 2vV+ 1 уравнений, решение которой дает значения весовых коэффициентов, минимизирующих среднеквадратическую ошибку. Размер вектора с и число столбцов матрицы х соответствуют числу отводов выравнивающего фильтра. Большинство вы­сокоскоростных модемов для выбора весовых коэффициентов используют критерий MSE, поскольку он лучше равновесного; он является более устойчивым при наличии шумов и большой межсимвольной интерференции [8].

Пример 3.6. Семиотводный эквалайзер с минимальной среднеквадратической ошибкой

Путем передачи одиночного импульса или настроечного сигнала требуется определить весо­вые коэффициенты отводов выравнивающего трансверсального фильтра. Выравнивающий канал, изображенный на рис. 3.26, состоит из семи отводов. Пусть принят искаженный на­бор выборок импульса {*(£)} со значениями напряжения 0,0108; -0,0558; 0,1617; 1,0000; - 0,1749; 0,0227; 0,0110. Используйте решение с минимальной среднеквадратической ошибкой для нахождения весовых коэффициентов {с„}, минимизирующих межсимвольную интерфе­ренцию. Используя эти весовые коэффициенты, вычислите значения выборок выровнен­ного импульса в моменты {£= 0, ±1, ±2, ±3,..., ±6}. Чему равен вклад наибольшей ампли­туды в межсимвольную интерференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

Решение

С помощью формулы (3.93) для семиотводного фильтра (N = 3), можно записать матрицу х размером 4N + 1 на 2N +1 = 13x7:

0,0110
0,0227	0,0110
-0,1749	0,0227	0,0110
1,0000	-0,1749	0,0227	0,0110
0,1617	1,0000	-0,1749	0,0227	0,0110
-0,0558	0,1617	1,0000	-0,1749	0,0227	0,0110
0,0108	-0,0558	0,1617	1,0000	-0,1749	0,0227	0,0110
	0,0108	-0,0558	0,1617	1,0000	-0,1749	0,0227
		0,0108	-0,0558	0,1617	1,0000	-0,1749
			0,0108	-0,0558	0,1617	1,0000
				0,0108	-0,0558	0,1617
					0,0108	-0,0558
						0,0108

Используя матрицу х, можно получить автокорреляционную матрицу R_IX и вектор взаимной корреляции R,_:, определенные формулами (3.91). С помощью компьютера матрица R** об­ращается, выполняется умножение матриц (см. формулу (3.92)), в результате чего получают­ся следующие весовые коэффициенты {с_з, с_г, с_i, с₀, Ci, сг, Сэ}-'

-0,0116; 0,0108; 0,1659; 0,9495; -0,1318; 0,0670; -0,0269.

Подставляя эти весовые коэффициенты в систему уравнений (3.89,а), находим 13 выравнен­ных выборок {z(k)} в моменты времени к = — 6, —5,..., 5, 6:

Вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию равен 0,0095, а сумма ам­плитуд всех вкладов равна 0,0195.

3.4.3.2. Эквалайзер с обратной связью по решению

Основное ограничение линейного эквалайзера, такого как трансверсальный фильтр, заключается в плохой производительности в каналах, имеющих спектральные нули [11]. Подобные каналы часто встречаются в приложениях мобильной радиосвязи. Эквалайзер с обратной связью по решению (decision feedback equalizer — DFE) — это нелинейное устройство, использующее предыдущее решение детектора для устранения межсимволь­ной интерференции из импульсов, демодулируемых в настоящий момент. Поскольку причиной интерференции являются хвосты предыдущих импульсов, по сути, из теку­щего импульса вычитается искажение, вызванное предыдущими импульсами.

На рис. 3.27 в виде блочной диаграммы изображен эквалайзер DFE, причем прямой фильтр и фильтр обратной связи могут быть линейными; например, это может быть трансверсальный фильтр. На рисунке также показано адаптивное обновление весовых коэффициентов фильтра (см. следующий раздел). Нелинейность DFE вытекает из нели­нейной характеристики детектора, обеспечивающего подачу сигнала на вход фильтра обратной связи. В основе работы эквалайзера лежит следующее: если значения ранее полученных символов известны (предыдущее решение предполагается точным), то меж­символьную ийтерференцию, внесенную символами, можно точно уравновесить на вы­ходе прямого фильтра путем вычитания значений предыдущих символов с соответст­вующими весовыми коэффициентами. Для удовлетворения выбранного критерия (например, минимальности среднеквадратической ошибки) весовые коэффициенты прямого отвода и отвода обратной связи могут подгоняться одновременно.

Прямой фильтр Выравненные Фильтр обратной связи Рис. 3.27. Эквалайзер с обратной связью по решению

При использовании только прямого фильтра выход содержит шум канала, внесен­ный каждой выборкой, произведенной в фильтре. Преимуществом реализации DFE является то, что фильтр обратной связи не только используется для удаления межсим­вольной интерференции, но и работает на бесшумных уровнях квантования, а значит на его выходе отсутствует шум канала.

3.4.4. Заданное и адаптивное выравнивание

В инвариантных по времени каналах с известными частотными характеристиками, ха­рактеристики канала могут измеряться, и, соответственно, могут подгоняться значе­ния весовых коэффициентов отводов. Если весовые коэффициенты остаются фикси­рованными в течение всего процесса передачи данных, выравнивание называется за­данным (preset); простой метод заданного выравнивания заключается в установке весовых коэффициентов {с„}, согласно некоторым усредненным знаниям о канале. Такой метод использовался для передачи информации по телефонным каналам со скоростью, не превышающей 2400 бит/с. Еще один метод заданного выравнивания состоит в передаче настроечной последовательности, которая в приемнике сравнива­лась с последовательностью, сгенерированной локально. Отличия последовательно­стей позволяют установить весовые коэффициенты {с„}. Важным моментом использо­вания любой разновидности заданного выравнивания является то, что установка па­раметров производится либо единожды, либо в исключительно редких случаях (например, при прерывании передачи и необходимости ее повторной настройки).

Тип выравнивания, способный отслеживать постепенные изменения, называется адаптивным (adaptive). Его реализация может включать периодическую или непрерыв­ную “подборку” весовых коэффициентов отводов. Периодическая корректировка вы­полняется путем периодической передачи начальной комбинации битов или краткой настроечной последовательности, заранее известной приемнику. Кроме того, стартовая комбинация битов используется приемником для определения начала передачи, уста­новки уровня автоматической регулировки усиления и для согласования с принятым сигналом внутренних часов и гетеродинов. Непрерывная подстройка осуществляется по­средством замещения известной тестовой последовательности набором информацион­ных символов, которые получены на выходе эквалайзера и считаются известными дан­ными. При непрерывной и автоматической (наиболее распространенный подход) на­стройке используется метод, управляемый решением (decision directed) [11]. Название метода не стоит путать с DFE — эквалайзером с обратной связью по решению. Управ­ление решением связано только со способом юстировки (с помощью сигнала от детек­тора) весовых коэффициентов отводов фильтра. Эквалайзер DFE — это наличие допол­нительного фильтра на выходе детектора, рекурсивным образом возвращающего сигнал на вход детектора. Следовательно, при использовании DFE существует два фильтра (прямой и фильтр обратной связи), обрабатывающие данные для снижения межсим­вольной интерференции.

Недостатком заданного выравнивания является то, что оно требует предварительной настройки в начале каждой новой передачи. Кроме того, нестационарные каналы, вследст­вие межсимвольной интерференции и фиксированных весовых коэффициентах отводов, могут приводить к ухудшению производительности системы. Адаптивное выравнивание, в частности адаптивное выравнивание, управляемое решением, успешно устраняет межсим­вольную интерференцию, если первоначальная вероятность ошибки не превышает один процент (эмпирическое правило). Если вероятность ошибки превышает один процент, эк­валайзер, управляемый решением, может и не дать требуемого результата. Общее решение этой проблемы — инициализировать эквалайзер с альтернативным процессом, (таким, как передача начальной комбинации битов), что позволит обеспечить низкую вероятность ошибки в канале, а затем переключиться в режим управления решением. Чтобы избежать погрешностей, вносимых начальной комбинацией битов, проекты многих систем преду­сматривают работу в режиме непрерывного широковещания с использованием для перво­начальной оценки канала алгоритмов слепого выравнивания (blind equalization). Эти алго­ритмы согласовывают коэффициенты фильтра со статистикой выборок, а не с решениями относительно значений выборок [11].

Для оценки оптимальных коэффициентов автоматические эквалайзеры используют итеративные методы. Система уравнений, приведенная в выражении (3.93), не учитывает воздействие шума канала. При получении устойчивого решения для значений весовых ко­эффициентов фильтра, требуется усреднять либо данные для устойчивой статистики сиг­нала, либо зашумленное решение, полученное из зашумленных данных. Сложность алго­ритма и проблемы численной устойчивости часто приводит к разработке алгоритмов, ус­редняющих зашумленные решения. Наиболее надежным из этого класса алгоритмов является алгоритм минимальной среднеквадратической ошибки. Каждая итерация этого алгоритма использует зашумленную оценку градиента ошибок для регулировки весовых коэффициентов относительно снижения среднеквадратической ошибки. Градиент шума — это просто произведение е(к) г_Л скалярного значения ошибки е(к) и вектора данных г_Л. Век­тор г, — это вектор выборок канала, которые подверглись воздействию шума и в момент к находились на выравнивающем фильтре. Выше использовалось следующее математическое представление: передавался импульс, и выравнивающий фильтр работал с последователь­ностью выборок (вектором), представляющей импульсный отклик канала. Эти принятые выборки (в виде сдвига во времени) изображались как матрица х. Теперь, вместо исполь­зования отклика на импульс, предполагается передача данных на вход фильтра (рис. 3.27), соответственно определяется вектор принятых выборок г„ представляющий информаци­онный отклик канала. Ошибка записывается как разность желаемого сигнала и сигнала, полученного на выходе фильтра:

e(k) = z(k)-z(k). (3.93)

Здесь z(k) — желаемый выходной сигнал (выборка без межсимвольной интерферен­ции), a z(k) — оценка z(k) в момент времени к (производится в устройстве квантова­ния, показанном на рис. 3.27), имеющая следующий вид:

N

z(k) = с^Тг_х = ^х(к - п)с„. (3.94)

n = -N

В формуле (3.94) суммирование представляет свертку входных информационных вы­борок с весовыми коэффициентами отводов {с„}, где с„ — коэффициент п-го отвода в момент времени к, а е^т — транспонированный вектор весовых коэффициентов в мо­мент времени к. Итеративный процесс, обновляющий значения весовых коэффициен­тов в каждый момент времени к, имеет следующий вид:

с(к + 1) = с(к) + Ае(к) г_х. (3.95)

Здесь с(к) — вектор весовых коэффициентов фильтра в момент времени к, а Л — малый член, ограничивающий шаг коэффициентов, а значит, контролирующий скорость сходи­мости алгоритма и дисперсию устойчивого решения. Это простое соотношение является
следствием принципа ортогональности, утверждающего, что ошибка, сопровождающая оп­тимальное решение, ортогональна обрабатываемым данным. Поскольку алгоритм рекурси­вен (по отношению к весовым коэффициентам), необходимо следить за его устойчиво­стью. Устойчивость гарантируется, если параметр Л меньше значения обратной энергии данных в фильтре. Если алгоритм является устойчивым, он в среднем сходится к опти­мальному решению, при этом его дисперсия пропорциональна параметру Д. Таким обра­зом, желательно, чтобы параметр сходимости Д был больше (для более быстрой сходимо­сти), но не настолько, чтобы привести к неустойчивости, хотя, с другой стороны, малый параметр Д обеспечивает малую дисперсию. Обычно для получения низкодисперсного ус­тойчивого решения Д выбирается равным фиксированной небольшой величине [12]. Су­ществуют схемы [13], позволяющие Д меняться от больших значений к меньшим в про­цессе получения устойчивого решения.

Отметим, что уравнения (3.93)—(3.95) приведены в контексте вещественных сигна­лов. Если используется квадратурная реализация, так что сигнал описывается вещест­венной и мнимой (или синфазной и квадратурной) упорядоченными парами, то каж­дый канал на рис. 3.27 в действительности состоит из двух каналов, и уравнения (3.93)—(3.95) необходимо записывать в комплексной форме. (Квадратурная реализация подробно рассмотрена в разделах 4.2.1 и 4.6.)

3.4.5. Частота обновления фильтра

Выравнивающие фильтры классифицируются по частоте дискретизации входного сигнала. Трансверсальный фильтр с отводами, размещенными через Т секунд, где Т — длительность передачи символа, называется эквалайзером с символьным разделением (symbol-spaced equal­izer). Процесс дискретизации выхода эквалайзера с частотой 1/7" приводит к наложению, если полоса сигнала не ограничена строго величиной 1/Г Гц, т.е. спектральные компонен­ты сигнала, не разделенные промежутком 1/ГГц, накладываются. Наложенная версия сиг­нала может давать спектральные нули [8]. Частота обновления фильтра, превышающая скорость передачи символов, помогает смягчить эту проблему. Эквалайзеры, использую­щие подобный метод, называются эквалайзерами с фракционным разделением (fractionally- spaced equalizer). В таких устройствах отводы фильтра разделены промежутками

Т

Т' < секунд, (3.96)

(1+г)

где через г обозначен избыток полосы. Другими словами, ширина полосы принятого сигнала равна следующему:

_w. (3.97)

Т

Г'необходимо выбрать так, чтобы передаточная функция эквалайзера #,(/) была значи­тельно шире и охватывала весь спектр сигнала. Отметим, что сигнал на выходе эквалайзе­ра по-прежнему выбирается с частотой 1/Г, но поскольку весовые коэффициенты отводов разделены промежутками Г'(входной сигнал эквалайзера выбирается с частотой l/Т), вы­равнивание принятого сигнала происходит до наложения его частотных компонентов. Мо­делирование эквалайзеров в телефонных линиях с Т'= Т/2 показывает, что эквалайзеры с фракционным разделением превосходят эквалайзеры с символьным разделением [14].

Л R LmODUMDOUI/IQ

3.5. Резюме

В данной главе описаны два этапа процесса детектирования двоичных сигналов в га­уссовом шуме. Первый этап — это сжатие принятого сигнала до одного числа z(T), а второй — принятие решения относительно первоначального значения принятого сиг­нала, для чего z(T) сравнивается с определенным порогом. В главе рассказывается, как выбрать оптимальный порог. Также показано, что линейный фильтр, известный как согласованный фильтр или коррелятор, — это оптимальный выбор для максимизации выходного отношения сигнал/шум, а значит, для минимизации вероятности ошибки.

Здесь дано определение межсимвольной интерференции и объясняется значение работ Найквиста по установлению теоретической минимальной ширины полосы для детектирования символов без межсимвольной интерференции. Факторы роста вероят­ности ошибки были разбиты на две основные категории. Первая — это простое сни­жение отношения сигнал/шум. Вторая, проистекающая из искажения, — это выход зависимости вероятности ошибки от E,JN₀ за область, представляющую практический интерес. В заключение описываются методы выравнивания, позволяющие уменьшить последствия межсимвольной интерференции.

Литература

1. Nyquist Н. Thermal Agitation of Electric Charge in Conductors. Phys. Rev., vol. 32, July 1928, pp. 110-113.

2. Van Trees H. L. Detection, Estimation and Modulation Theory. Part 1, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1968.

3. Arthurs E. and Dym H. On the Optimum Detection of Digital Signals in the Presence of White Gaussian Noise — A Geometric Interpretation of Three Basic Data Transmission Systems. IRE Trans. Commun. Syst., December, 1962.

4. Wozencraft J. M. and Jacobs I. M. Principles of Communication Engineering. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1965.

5. Borjesson P. O. and Sundberg С. E. Simple Approximations of the Error Function Q(x) for Communications Applications. IEEE Trans. Commun., vol. COM27, March, 1979, pp. 639-642.

6. Nyquist H. Certain Topics of Telegraph Transmission Theory. Trans. Am. Inst. Electr. Eng., vol. 47, April, 1928, pp. 617-644.

7. Hanzo L. and Stefanov J. The AN-European Digital Cellular Mobile Radio System — Known as GSM. Mobile Radio Communications, edited by R. Steele, Chapter 8, Pentech Press, London, 1992.

8. Qureshi S. U. H. Adaptive EquUization. Proc. IEEE, vol. 73, n. 9, September, 1985, pp. 1340-1387.

9. Lucky R. W., Salz J. and Weldon E. J., Jr. Principles of Data Communications. Mc-Graw Hill Book Co., New York, 1968.

10. Harris F. and Adams B. Digital Signal Processing to Equalize the Pulse response of Non Synchronous Systems Such as Encountered in Sonar and Radar. Proc. of the Twenty-Fourth Annual ASILOMAR Conference on Signals, Systems, and Computers, Pacific Grove, California, November, 5-7, 1990.

11. Proakis J. G. Digital Communications. McGraw-Hill Book Company, New York, 1983.

12. Feuer A. and Weinstein E. Convergence Analysis of LMS Filters with Uncorrelated Gaussian Data. IEEE Trans, on ASSP, vol. V-33, pp. 220-230, 1985.

13. Macchi O. Adaptive Processing: Least Mean Square Approach With Applications in Transmission. John Wiley & Sons, New York, 1995.

14. Benedetto S., Biglieri E. and Castellani V. Digital Transmission. Theory. Prentice Hall, 1987.

Задачи

3.1. Определите, являются ли сигналы Si(t) и s₂(0 ортогональными на интервале (-1,57’₂< t< 1,5Тз), где 5i(0 = cos (2лfit + фО, s₂(t) = cos (2лf₂t + фО./г = ИТ₂, в следующих случаях.

а) f\ =/г и ф! = ф₂

б) /, = 1/3<fl и ф, = ф₂

в) /i = 2/₂ и ф, = ф₂

г) /1 = л/2 и ф, = ф₂

Д) /1 =/з и ф1 = фг + л/2 е) /1 =/₂ и ф1 = ф₂ + Л

3.2. а) Покажите, что три функции, приведенные на рис. 33.1, попарно ортогональны на

интервале (-2, 2).

V2(0

;тРЪ':±е=^

-2-10 1 2 Рис. 3J.7

Определите значение константы А, преобразующей набор функций из п. а в набор ортонормированных функций.

Выразите сигнал x(t) через ортонормированные функции, полученные при выполне­нии п. б.

для 0 < t < 2

0 для остальных t

3.3. Даны следующие функции:

Y'i(') = ехр(—|f|) и y₂(t) = 1 - Л ехр(-2|/|).

Определите константу А, при которой функции v/i(/) и у₂(/) ортогональны на интер­вале (—“>, “).

3.4. Предположим, что используется некоторая система цифровой связи; сигнальные компо­ненты вне приемника-коррелятора с равной вероятностью принимают значения а,(Т) = + 1 или -1 В. Определите вероятность появления ошибочного бита, если гауссов шум на вы­ходе коррелятора имеет единичную дисперсию.

3.5. Биполярный двоичный сигнал s,(f) — это импульс +1 или —1 В на интервале (0, 7). К сигналу добавляется аддитивный белый гауссов шум с двусторонней спектральной плотностью мощности 10~³ Вт/Гц. Если детектирование принятого сигнала производится с помощью согласованного фильтра, определите максимальную скорость передачи битов, которую можно поддерживать при вероятности появления ошибочного бита Р_в < 10^_3.

3.6. Биполярные импульсные сигналы s,(t) (/= 1, 2) амплитуды ±1 В принимаются при шуме AWGN с дисперсией 0,1 В². Определите оптимальный (дающий минимальную вероят­ность ошибки) порог Уо для детектирования с использованием согласованного фильтра при следующих априорных вероятностях: (a) P(s,) = 0,5; (б) P(s,) = 0,7; (в) P(s 1) = 0,2. Объясните влияние априорных вероятностей на значение уо- (Подсказка: используйте формулы (Б. 10)—(Б. 12).)

x(t) =

3.7. Двоичная система связи передает сигналы s,(t) (i = 1, 2). Тестовая статистика приемника z(T) = а, + п₀, где компонент сигнала а, равен a_t = +1 или сь = -1, а компонент шума п₀ имеет равномерное распределение. Плотности условного распределения p(z\s_t) даются вы­ражениями

для - 0,2 < z S 1,8

0 для других z

P(A^si) = \l

10 для других z

Определите вероятность появления ошибки Р_в для равновероятной передачи сигналов и использования оптимального порога принятия решения.

3.8. а) Чему равна минимальная ширина полосы, необходимая для передачи без межсим­

вольной интерференции сигнала с использованием 16-уровневой кодировки РАМ на скорости 10 Мбит/с?

---

Дата добавления: 2015-10-28