Основы теории принятая статистических решений 1051 16 страница

б) Чему равен коэффициент сглаживания, если доступная полоса равна 1,375 МГц?

3.9. Сигнал речевого диапазона (300-3300 Гц) оцифровывается так, что квантовое искажение < ±0,1 % удвоенного максимального напряжения сигнала Предположим, что частота дис­кретизации равна 8000 выборок/с и используется 32-уровневая кодировка РАМ. Опреде­лите теоретическую минимальную ширину полосы, при которой еще не возникает меж- символьная интерференция.

3.10. Двоичные данные передаются со скоростью 9600 бит/с с использованием 8-уровневой модуляции РАМ и фильтра с характеристикой типа приподнятого косинуса. Частотный отклик системы не превышает 2,4 кГц.

а) Чему равна скорость передачи символов?

б) Чему равен коэффициент сглаживания характеристики фильтра?

3.11. Сигнал речевого диапазона (300-3300 Гц) дискретизируется с частотой'8000 выбо­рок/с. Выборки можно передавать сразу в виде импульсов РАМ или каждую выборку вначале можно преобразовать в формат РСМ и использовать для передачи двоичные (РСМ) сигналы.

а) Чему равна минимальная ширина полосы системы, необходимая для детектирования импульсов РАМ без межсимвольной интерференции и с параметром сглаживания фильтра г = 1?

б) Используя ту же характеристику выравнивания, что и в предыдущем пункте, опре­делите минимальную ширину полосы, необходимую для детектирования двоичных сигналов (кодировка РСМ), если выборки квантовались с использованием восьми уровней.

в) Повторите п. б для 128 уровней.

3.12. PCM-кодированный аналоговый сигнал передается с использованием двоичных сигналов через канал с полосой 100 кГц. Предполагается, что используются 32 уровня квантования и что полная эквивалентная передаточная функция — приподнятый косинус с выравни­ванием г = 0,6.

а) Найдите максимальную скорость передачи битов, которую может поддерживать сис­тема без межсимвольной интерференции.

б) Найдите максимальную ширину исходного аналогового сигнала, возможную при при­веденных параметрах.

в) Повторите пп. а и б для 8-уровневой кодировки РАМ.

3.13. Равновероятные двоичные импульсы в кодировке RZ когерентно детектируются в гауссо­вом канале с N₀ = 10"⁸ Вт/Гц. Предполагается, что синхронизация идеальна, амплитуда принятых импульсов равна 100 мВ и вероятность ошибки Р_в — 10"³; найдите наибольшую скорость передачи данных, возможную в описанной системе.

3.14. Двоичные импульсы в кодировке NRZ передаются по кабелю, ослабляющему сигнал на

3 дБ (на пути от передатчика к приемнику). Эти импульсы когерентно детектируются приемником, а скорость передачи данных равна 56 Кбит/с. Шум считать гауссовым с N₀ = 10"⁶ Вт/Гц. Чему равна минимальная мощность, необходимая для передачи с вероят­ностью ошибки Р_в = 10“³?

3.15. Покажите, что минимальная ширина полосы по Найквисту для случайной двоичной по­следовательности с биполярными импульсами идеальной формы равна ширине полосы шумового эквивалента. Подсказка: спектральная плотность мощности случайной последо­вательности биполярных импульсов определяется формулой (1.38), а ширина полосы шу­мового эквивалента дана в разделе 1.7.2.

3.16. Дана четырехуровневая последовательность символов сообщений в кодировке РАМ: {+1, +1, —1, +3, +1, +3}, где элементами алфавита являются числа {+1, ±3}. Импульсы формируются фильт­ром с характеристикой типа корня из приподнятого косинуса; время поддержки каждого фильтрованного импульса составляет 6 периодов передачи символа, передаваемая последова­тельность — аналоговый сигнал, показанный на рис. 3.23, а. Отметим, что сигналы “размываются” вследствие межсимвольной интерференции, вносимой фильтром. Покажите, как можно реализовать набор N корреляторов для выполнения демодуляции принятой после­довательности импульсов fit) на согласованном фильтре, если число символов, переданных в течение длительности импульса, также равно N. (Подсказка: для набора корреляторов исполь­зуйте опорные сигналы вида S|(/-kT), где к = 0,..., 5, а Г — время передачи символа.)

3.17. Желательным импульсным откликом системы является идеальный отклик h(t) = 8(t), где 8(t) — импульсная функция. Предполагается, что канал так вводит межсимвольную ин­терференцию, что общий импульсный отклик становится равным h(t) = 8(t) + осб(/ - Т), где ос < 1, а Т — длительность передачи символа. Выведите выражения для импульсного отклика фильтра, который реализует метод обращения в нуль незначащих коэффициентов и уменьшает последствия межсимвольной интерференции. Покажите, что этот фильтр по­давляет межсимвольную интерференцию. Если полученное подавление окажется недоста­точным, как можно будет модифицировать фильтр для более сильного подавления меж­символьной интерференции?

3.18. Результатом передачи одного импульса является принятая последовательность выборок (импульсный отклик) со значениями 0,1; 0,3; -0,2; 1,0; 0,4; -0,1; 0,1, где наиболее ран­ней является крайняя слева выборка. Значение 1,0 соответствует основному лепестку им­пульса, а другие — соседним выборкам. Спроектируйте трехотводный трансверсальный эквалайзер, подавляющий межсимвольную интерференцию в точках дискретизации по обе стороны основного лепестка. Вычислите значения выровненных импульсов в моменты времени к = 0, ±1,..., ±3. Чему после выравнивания равен вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

3.19. Повторите задачу 3.18, если импульсный отклик канала описывается следующими приня­тыми выборками: 0,01; 0,02; -0,03; 0,1; 1,0; 0,2: -0,1; 0,05; 0,02. С помощью компьютера найдите весовые коэффициенты девятиотводного трансверсального эквалайзера, удовле­творяющие критерию минимальности среднеквадратической ошибки. Вычислите значения импульсов на выходе эквалайзера в моменты времени к = 0, ±1,..., ±8. Чему после вырав­нивания равен вклад наибольшей амплитуды в межсимвольную интерференцию и чему равна сумма амплитуд всех вкладов?

3.20. В данной главе отмечалось, что устройства обработки сигналов, такие как блоки пере­множения и интегрирования, обычно работают с сигналами, имеющими размерность вольт. Таким образом, передаточная функция таких устройств должна выражаться в этих же единицах. Нарисуйте блочную диаграмму интегратора произведений, показывающую единицы сигналов в каждом проводнике и передаточную функцию устройства в каждом блоке. (Подсказка: см. раздел 3.2.5.1.)

Вопросы для самопроверки

3.1. При низкочастотной передаче принятые сигналы уже имеют вид импульсов. Почему для восстановления импульсного сигнала требуется демодулятор (см. начало главы 3)?

3.2. Почему отношение EJNo является естественным критерием качества систем цифровой связи (см. раздел 3.1.5)?

3.3. При представлении упорядоченных во времени событий какая дилемма может легко при­вести к путанице между самым старшим битом и самым младшим (см. раздел 3.2.3.1)?

3.4. Термин согласованный фильтр часто используется как синоним термина коррелятор. Как такое возможно при совершенно разных математических операциях, описывающих их ра­боту (см. раздел 3.2.3.1)?

3.5. Опишите два точных способа сравнения различных кривых, описывающих зависимость вероятности появления ошибочного бита от отношения EJNo (см. раздел 3.2.5.3).

3.6. Существуют ли функции фильтров формирования импульсов (отличные от приподнятого косинуса), дающие нулевую межсимвольную интерференцию (см. раздел 3.3)?

3.7. До какой степени можно сжать полосу, не подвергаясь при этом межсимвольной интер­ференции (см. раздел 3.3.1.1)?

3.8. Ухудшение качества сигнала определяется двумя основными факторами: снижением отно­шения сигнал/шум и искажением, приводящим к не поддающейся улучшению вероятно­сти возникновения ошибки. Чем отличаются эти факторы (см. раздел 3.3.2)?

3.9. Иногда увеличение отношения E_h/No не предотвращает ухудшение качества, вызванное межсимвольной интерференцией. Когда это происходит (см. раздел 3.3.2)?

3.10. Чем отличается эквалайзер, реализовывающий метод обращения в нуль незначащих коэффи­циентов, от эквалайзера, реализовывающего решение с минимальной среднеквадратической ошибкой (см. раздел 3.4.3.1)?

ГЛАВА 4

Полосовая модуляция и демодуляция

Символы сообщений

От других источников

4.1. Зачем нужна модуляция

Цифровая модуляция — это процесс преобразования цифровых символов в сигналы, со­вместимые с характеристиками канала. При низкочастотной модуляции (baseband modula­tion) эти сигналы обычно имеют вид импульсов заданной формы. В случае полосовой моду­ляции (bandpass modulation) импульсы заданной формы модулируют синусоиду, называе­мую несущей водной (earner wave), или просто несущей (carrier); для радиопередачи на нужное расстояние несущая преобразуется в электромагнитное поле. Может возникнуть вопрос: зачем для радиопередачи низкочастотных сигналов нужна несущая? Ответ звучит следующим образом. Передача электромагнитного поля через пространство выполняется с помощью антенн. Размер антенны зависит от длины волны К и текущей задачи. Для пере­носных телефонов размер антенны обычно равен Х/4, а длина волны с//, где с — скорость света, 3 х 10⁸ м/с. Рассмотрим передачу низкочастотного сигнала (скажем, имеющего час­тоту/=3000 Гц), поступающего прямо в антенну без использования несущей. Какая ан­тенна нам понадобится? Возьмем стандарт телефонной промышленности, Х/4. Получаем, что для сигнала 3000 Гц Х/4 = 2,5 х 10⁴м = 25 км. Итак, для передачи через пространство сигнала с частотой 3000 Гц без модулирования несущей требуется антенна размером 25 км. При этом, если низкочастотная информация модулируется несущей более высокой часто­ты, например 900 МГц, размер антенны будет составлять порядка 8 см. Приведенные вы­числения показывают, что модулирование несущей частоты, или полосовая модуляция, — это этап, необходимый для всех систем, использующих радиопередачу.

Полосовая модуляция имеет и другие важные преимущества при передаче сигна­лов. При использовании одного канала более чем одним сигналом, модуляция может применяться для разделения различных сигналов. Подобный мётод, известный как уплотнение с частотным разделением (frequency-division multiplexing — FDM), рассмат­ривается в главе 11. Модуляция может использоваться и для минимизации последст­вий интерференции. Класс схем модуляции, известный как модуляция расширенным спектром, требует полосы, значительно превышающей минимальную полосу, необхо­димую для передачи сообщения. В главе 12 рассмотрены компромиссы, связанные с выбором полосы, снижающим интерференцию. Кроме того, модуляция может ис­пользоваться для перемещения сигнала в диапазон частот, в котором легко удовлетво­ряются специфические конструктивные требования, например, относящиеся к фильт­рации и усилению. Примером такого применения модуляции является преобразова­ние в приемнике радиочастотных сигналов в сигналы промежуточной частоты.

4.2. Методы цифровой полосовой модуляции

Полосовая модуляция (аналоговая или цифровая) — это процесс преобразования ин­формационного сигнала в синусоидальный сигнал; при цифровой модуляции сину­соида на интервале Т называется цифровым символом. Синусоиды могут отличаться по амплитуде, частоте и фазе. Таким образом, полосовую модуляцию можно опреде­лить как процесс варьирования амплитуды, частоты или фазы (или их комбинаций) радиочастотной несущей согласно передаваемой информации. В общем виде несущая записывается следующим образом;

s(t) = A(t) cos 0(0- (4.1)

Здесь A(t) — переменная во времени амплитуда, а, в(г) — переменный во времени угол. Угол удобно записывать в виде

0(0 = ov + ф(0, (4.2)

так что

s(t) = A(t) cos [city + ф(/)], (4.3)

где со — угловая частота несущей, а ф(г) — ее фаза. Частота может записываться как переменная / или как переменная со. В первом случае частота измеряется в герцах (Гц), во втором — в радианах в секунду (рад/с). Эти параметры связаны следующим соотношением со = 2я/.

Основные типы полосовой модуляции/демодуляции перечислены на рис. 4.1. Если для де­тектирования сигналов приемник использует информацию о фазе несущей, процесс назы­вается когерентным детектированием (coherent detection); если подобная информация не используется, процесс именуется некогерентным детектированием (noncoherent detection). Вообще, в цифровой связи термины “демодуляция” (demodulation) и “детектирование” (detection) часто используются как синонимы, хотя демодуляция делает акцент на восста­новлении сигнала, а детектирование — на принятии решения относительно символьного значения принятого сигнала. При идеальном когерентном детектировании приемник со­держит прототипы каждого возможного сигнала. Эти сигналы-прототипы дублируют алфа­вит переданных сигналов по всем параметрам, даже по радиочастотной фазе. В этом слу­чае говорят, что приемник автоматически подстраивается под фазу входного сигнала. В процессе демодуляции приемник перемножает и интегрирует входной сигнал с каждым прототипом (определяет корреляцию). На рис. 4.1 под общим заголовком когерентной мо­дуляции/демодуляции перечислены: фазовая манипуляция (phase shift keying — PSK), час­тотная манипуляция (frequency shift keying — FSK), амплитудная манипуляция (amplitude shift keying — ASK), модуляция без разрыва фазы (continuous phase modulation — СРМ) и смешанные комбинации этих модуляций. Основные форматы полосовой модуляции рас­смотрены в данной главе. Некоторые специализированные форматы, такие как квадратур­ная фазовая манипуляция со сдвигом (offset quadrature PSK — OQPSK), манипуляция с минимальным сдвигом (minimum shift keying — MSK), принадлежащие к классу модуля­ций СРМ, и квадратурная амплитудная модуляция (quadrature amplitude modulation — QAM), рассмотрены в главе 9.

Некогерентная демодуляция относится к системам, использующим демодуляторы, спроектированные для работы без знания абсолютной величины фазы входного сиг­нала; следовательно, определение фазы в этом случае не требуется. Таким образом, преимуществом некогерентных систем перед когерентными является простота, а не­достатком — большая вероятность ошибки (Р_Е). На рис. 4.1 под заголовком некоге­рентной передачи сигналов перечислены модуляции, подобные используемым при когерентной передаче: DPSK, FSK, ASK, СРМ и смешанные их комбинации. Подра­зумевается, что для некогерентного приема информация о фазе не используется; так почему же под заголовком “некогерентная передача” указана одна из форм фазовой манипуляции? Это вызвано тем, что одну из важных форм PSK можно отнести к не­когерентной (или дифференциально когерентной), поскольку она не требует согласо­вания по фазе с принятой несущей. При использовании этой “псевдо-PSK”, назы­ваемой дифференциальной фазовой манипуляцией (differential PSK — DPSK), в процес­се детектирования текущего символа в качестве опорной фазы применяется фаза предыдущего символа. Подробно этот вопрос рассмотрен в разделах 4.5.1 и 4.5.2.

Знаковое кодирование Дискретизация Квантование Импульсно-кодовая модуляция (РСМ)	Кодирование с предсказанием Блочное кодирование Кодирование переменной длины Синтетическое/ аналитическое кодирование Сжатие без потерь Сжатие с потерями	Сигналы РСМ (коды канала) Без возврата к нулю (NRZ) С возвратом к нулю (RZ) Фазовое кодирование Многоуровневое бинарное кодирование М-арная импульсная модуляция РАМ, PPM, PDM	Оценка последовательности с максимальным правдоподобием (MLSE) Выравнивание с помощью фильтров Трансверсальные эквалайзеры или эквалайзеры с обратной связью по решению Заданное или адаптивное выравнивание Символьное или фракционное разделение

Полосовая передача

Канальное кодирование

		Кодирование формой сигнала		Структурированные последовательности
	Когерентные схемы		Некогерентные схемы

фазовая манипуляция (PSK) Частотная манипуляция (FSK) Амплитудная манипуляция (ASK) Модуляция без разрыва фазы (СРМ)

Смешанные комбинации

Дифференциальная фазовая манипуляция (DPSK)

Частотная манипуляция (FSK) Амплитудная манипуляция (ASK) Модуляция без разрыва фазы (СРМ)

Смешанные комбинации

М-арная передача сигнала Антиподные сигналы Ортогональные сигналы Решетчатое кодирование

Блочные коды Сверточные коды Турбокоды

		Уплотнение/Множественный доступ		Расширение спектра		Шифрование
	Синхронизация

Частотная синхронизация фазовая синхронизация Символьная синхронизация Кадровая синхронизация Сетевая синхронизация

Частотное разделение (FDM/FDMA) Временное разделение (ТОМДЭМА) Кодовое разделение (CDM/CDMA) Пространственное разделение (SDMA) Поляризационное разделение (PDMA)

Метод прямой последо вательности Метод скачкообразной перестройки частоты Метод переключения временных интервалов Смешанные комбинации

Блочное Шифрование потока данных

Рис. 4.1. Основные преобразования цифровой связи

4.2.1. Векторное представление синусоиды

Используя известное тригонометрическое равенство, называемое теоремой Эйлера, введем комплексную запись синусоидальной несущей:

е'^<0°' = cos со₀t + i sin со₀/.

Возможно, кто-то чувствует себя уютнее при использовании более простой, привычной записи cos city или sin city. Возникает естественный вопрос: что нам дает комплексная за­пись? Далее будет показано (раздел 4.6), что такая форма записи облегчает описание ре­альных модуляторов и демодуляторов. Здесь же мы рассмотрим общие преимущества представления несущей в комплексной форме, приведенной в формуле (4.4).

Во-первых, при комплексной записи в компактной форме, е^к0°', указаны два важных компонента любой синусоидальной несущей волны, называемые взаимно ортогональными синфазной (действительной) и квадратурной (мнимой) составляющими. Во-вторых, как показано на рис. 4.2, немодулированная несущая удобно представляется в полярной сис­теме координат в виде единичного вектора, вращающегося против часовой стрелки с по­стоянной скоростью ось рад/с. При увеличении / (от /₀ до /,) мы можем изобразить пере­менные во времени проекции вращающегося вектора на синфазной (/) и квадратурной (Q) осях. Эти декартовы оси обычно называются синфазным (/ channel) и квадратурным кана­лом (Q channel), а их проекции представляют взаимно ортогональные составляющие сиг­нала, связанные с этими каналами. В-третьих, процесс модуляции несущей можно рас­сматривать как систематическое возмущение вращающегося вектора (и его проекций).

Мнимая часть (квадратурный компонент) e'^Mo't

Действительная часть (синфазный компонент)

		Рис. 4.2. Векторное представление синусоиды
	Рассмотрим, например, несущую, амплитудно-модулированную синусоидой с единичной амплитудой и частотой сот, где со^ «с% Переданный сигнал имеет следующий вид:
		(4.5)

где Re{jr} — действительная часть комплексной величины {*}. На рис. 4.3 показано, что вращающийся вектор е'“⁰', представленный на рис. 4.2, возмущается двумя боко­выми членами —, вращающимся против часовой стрелки, и, вращающим­ся по часовой стрелке. Боковые векторы вращаются намного медленнее, чем вектор несущей волны. В результате модулированный вращающийся вектор несущей волны растет и уменьшается согласно указаниям боковых полос, но частота его вращения остается постоянной; отсюда и название “амплитудная модуляция”.

Квадратурный

компонент

Синфазный

компонент

Еще один пример, иллюстрирующий полезность векторного представления, — это частотная модуляция (frequency modulation — FM) несущей синусоидой с частотой вращения рад/с. Аналитическое представление узкополосной частотной модуляции (narrowband FM — NFM) подобно представлению амплитудной модуляции и описы­вается выражением

(4.6)

где (3 — коэффициент модуляции [1]. На рис. 4.4 показано, что, как и в предыдущем случае, вектор несущей волны возмущается двумя боковыми векторами. Но поскольку один из них, как указано в формуле (4.6), имеет знак “минус”, симметрия боковых векторов, вращающихся по часовой стрелке и против нее, отличается от имеющейся в случае амплитудной модуляции. При амплитудной модуляции симметрия приводит к увеличению и уменьшению вектора несущей волны со временем. В случае узкополос­ной частотной модуляции симметрия боковых векторов (на 90° отличающаяся от симметрии амплитудной модуляции) приводит к ускорению и замедлению вращения вектора согласно указаниям боковых полос, при этом амплитуда остается неизменной; отсюда название “частотная модуляция”.

	Квадратурный КОМПОНЕНТ
		Синфазный компонент
		Рис. 4.4. Узкополосная частотная модуляция

На рис. 4.5 изображены наиболее распространенные форматы цифровой модуля­ции: PSK, FSK, ASK и смешанная комбинация ASK и PSK (обозначаемая как ASK/PSK, или АРК). В первом столбце указаны аналитические выражения, во втором — временная диаграмма, а в третьем — векторная диаграмма. В общем случае М-арной передачи сигналов устройство обработки получает к исходных битов (или канальных битов, если используется кодирование) в каждый момент времени и ука­зывает модулятору произвести один из М = 2^к возможных сигналов. Частным случаем М-уровневой модуляции является бинарная с к = 1.

На рис. 4.2 несущая волна представлялась как вектор, вращающийся на плоскости со скоростью, равной частоте несущей, ось рад/с. На рис. 4.5 векторная схема каждой циф­ровой модуляции представляет совокупность информационных сигналов (векторов или

точек пространства сигналов) без указания времени. Другими словами, на рис. 4.5 не отображено вращение немодулированного сигнала с постоянной скоростью, а представлено только взаимное расположение векторов-носителей информации. Стоит обратить внимание, что в примерах на рис. 4.5 значения размера множества М отличаются.

Аналитическое представление Сигнал Вектор a) PSK б) FSK

М = 3 f-	S2 --- 71 / 1 н j.
У	.У s 1

V2<0

V3<t)

Vi(f)

в) ASK

		M = 2
		Vi(0
		Г—I

M= 8

42 (0

r) ASK/PSK (APK)

S,{t) = у f~cos [a0t + Ф,{t)]

Vi(t)

/'=1,2..... M 0<t<T

Puc. 4.5. Виды цифровых модуляций: a) PSK; 6) FSK; в) ASK; г) ASK/PSK (APK)

4.2.2. Фазовая манипуляция

Фазовая манипуляция (phase shift keying — PSK) была разработана в начале развития про­граммы исследования дальнего космоса; сейчас схема PSK широко используется в ком­мерческих и военных системах связи. Фазо-манипулированный сигнал имеет следующий вид:

cos [w₀/ + Ф, (01 О S t < Т

/= 1,...,М.

Здесь фазовый член ф,(г) может принимать М дискретных значений, обычно опреде­ляемых следующим образом:

Ф,(0 = — ' = 1 М.

М

На рис. 4.5, а приведен пример двоичной (М = 2) фазовой манипуляции (binary PSK — BPSK). Параметр Е — это энергия символа, Т — время передачи символа, 0 < г < Г. Работа схемы модуляции заключается в смещении фазы модулируемого сигнала s,(t) на одно из двух значений, нуль или п (180°). Типичный вид BPSK-модулированного сигнала приведен на рис. 4.5, а, где явно видны характерные резкие изменения фазы при переходе между символами; если модулируемый поток данных состоит из чере­дующихся нулей и единиц, такие резкие изменения будут происходить при каждом переходе. Модулированный сигнал можно представить как вектор на графике в по­лярной системе координат; длина вектора соответствует амплитуде сигнала, а его ори­ентация в общем М-арном случае — фазе сигнала относительно других М- 1 сигналов набора. При модуляции BPSK векторное представление дает два противофазных (180°) вектора. Наборы сигналов, которые могут быть представлены подобными про­тивофазными векторами, называются антиподными.

Дата добавления: 2015-10-28