Основы теории принятая статистических решений 1051 20 страница

s(t) = -0,707 cos Oty + 0,707 sin Oty

4.6.3. Пример демодулятора D8PSK

В предыдущем разделе описание квадратурной реализации модулятора начиналось с умножения комплексной огибающей (низкочастотного сообщения) на е'“°' с после­дующей передачей действительной части произведения s(t), описанного в форму­ле (4.63). Демодулятор подобной схемы включает обратный процесс, т.е. умножение

принятого полосового сигнала на е^_‘“⁰' с целью восстановления низкочастотного сигнала. В левой части рис. 4.24 в упрощенном виде показан модулятор, изображен­ный на рис. 4.23, и сигнал s(t) = sin (ay - л/4), переданный в момент времени к = 2 (продолжаем использовать пример, описанный в предыдущем разделе). В правой час­ти рис. 4.24 показана квадратурная реализация демодулятора.

COS OJQt COS 6)0? -Sin coot “Sin CO of Puc. 4.24. Пример модулятора/демодулятора

Отметим тонкое отличие между членом -sin су в модуляторе и демодуляторе. В моду­ляторе знак “минус” появляется при определении действительной части комплексного сигнала (произведения комплексной огибающей и комплексной несущей). В демодуляторе член -sin су появляется при умножении полосового сигнала на сопряженное с^-'®⁰' несу­щей модулятора. Демодуляция является когерентной, если фаза восстанавливается. Для упрощения записи основных соотношений процесса мы пренебрегаем шумом. Итак, после синфазного умножения в демодуляторе на cos сад в точке А получаем следующий сигнал:

А = (-0,707 cos ay + 0,707 sin «у) cos ay = (4.67)

= -0,707 cos²ay + 0,707 sin ay cos ay.

Используя тригонометрические соотношения, приведенные в формулах (Г.7) и (Г.9), получаем следующее:

-О 707 0,707

А = ——(1-t cos2a)₀t)+—-—sm2fi)₀f. (4.68)

После фильтрации с использованием фильтра нижних частот (low-pass filter — LPF) в точке Л'восстанавливается идеальный отрицательный импульс

А '= -0,707 (с точностью до масштабного коэффициента). (4.69)

Подобным образом после квадратурного умножения в демодуляторе на -sin оу в точке В получаем сигнал

В = (-0,707 cos су + 0,707 sin ay) (-sin оу) = (4.70)

0,707. „ 0,707 „ _ч = —-—sm 2qj,/ —(1 - cos 2оу).

После прохождения сигналом фильтра нижних частот в точке В' восстанавливается идеальный отрицательный импульс

В '= -0,707 (с точностью до масштабного коэффициента). (4.71)

Таким образом, видим, что в точках А' и В' (идеальные) дифференциальные инфор­мационные импульсы для синфазного и квадратурного каналов равны -0,707. По­
скольку модулятор/демодулятор является дифференциальным, для нашего примера к = 2 получаем следующее:

Дфй -2 Ф* = 2 “ Ф*= 1-

Будем считать, что в предыдущий момент времени fc = 1 демодулятор правильно опре­делил, что фаза сигнала равна л. Тогда из формулы (4.72) можем получить следующее:

Дф* _{= 2} = 5я/4 - п = л/4.

Вернувшись к таблице модуляции на рис. 4.23, видим, что данной фазе соответствует информационная последовательность x₂y₂z₂ = 001, что совпадает с данными, послан­ными в момент времени к = 2.

4.7. Вероятность ошибки в бинарных системах

4.7.1. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном _/ детектировании сигнала BPSK

Важной мерой производительности, используемой для сравнения цифровых схем модуля­ции, является вероятность ошибки, Р_Е. Для коррелятора или согласованного фильтра вы­числение Р_Е можно представить геометрически (см. рис. 4.6). Расчет Р_Е включает нахожде­ние вероятности того, что при данном векторе переданного сигнала, скажем s,, вектор шу­ма п выведет сигнал из области 1. Вероятность принятия детектором неверного решения называется вероятностью символьной ошибки, Р_Е (когда М> 2). Несмотря на то что решения принимаются на символьном уровне, производительность системы часто удобнее задавать через вероятность битовой ошибки (Р_в). Связь Р_в и Р_Е рассмотрена в разделе 4.9.3 для ор­тогональной передачи сигналов и в разделе 4.9.4 для многофазной передачи сигналов.

Для удобства изложения в данном разделе мы ограничимся когерентным детекти­рованием сигналов BPSK. В этом случае вероятность символьной ошибки — это то же самое, что и вероятность битовой ошибки. Предположим, что сигналы равновероят­ны. Допустим также, что при передаче сигнала s,(t) (i = 1, 2) принятый сигнал г(г) ра­вен s,(t) + n(t), где n(t) — процесс AWGN; кроме того, мы пренебрегаем ухудшением качества вследствие внесенной каналом или схемой межсимвольной интерференции. Как показывалось в разделе 4.4.1, антиподные сигналы s_t(t) и s₂(t) можно описать в одномерном сигнальном пространстве, где

(4.74)

Детектор выбирает s,(t) с наибольшим выходом коррелятора z,(7); или, в нашем случае антиподных сигналов с равными энергиями, детектор, используя формулу (4.20), при­нимает решение следующего вида:

л (/), если z(T) > Yn = 0 и ¹ 'о. (4.75)

s₂(t) при других z(T)

Как видно из рис. 4.9, возможны ошибки двух типов: шум так искажает передан­ный сигнал si(t), что измерения в детекторе дают отрицательную величину z(T), и де­
тектор выбирает гипотезу Н₂> что был послан сигнал s₂(t). Возможна также обратная ситуация: шум искажает переданный сигнал s₂(t), измерения в детекторе дают поло­жительную величину z(T), и детектор выбирает гипотезу Я_ь соответствующую предпо­ложению о передаче сигнала s_t.

В разделе 3.2.1.1 была выведена формула (3.42), описывающая вероятность би­товой ошибки Р_в для детектора, работающего по принципу минимальной вероятно­сти ошибки:

		(4.76)

Здесь о₀ — среднеквадратическое отклонение шума вне коррелятора. Функция Q(x), называемая гауссовым интегралом ошибок, определяется следующим образом:

QtX):

Эта функция подробно описывается в разделах 3.2 и Б.3.2.

Для передачи антиподных сигналов с равными энергиями, таких как сигналы в формате BPSK, приведенные в выражении (4.74), на выход приемника поступают сле­дующие компоненты: а_х =, при переданном сигнале j_t(f), и а₂ =-,[Ёь, при пе­реданном сигнале s₂(0, где Е_ь — энергия сигнала, приходящаяся на двоичный сим­вол. Для процесса AWGN дисперсию шума а₀² вне коррелятора можно заменить No/2 (см. приложение В), так что формулу (4.76) можно переписать следующим образом:

			(4.78)

(4.79)

о /

Данный результат для полосовой передачи антиподных сигналов BPSK совпадает с полученными ранее формулами для детектирования антиподных сигналов с исполь­зованием согласованного фильтра (формула (3.70)) и детектирования низкочастот­ных антиподных сигналов с применением согласованного фильтра (формула (3.76)). Это является примером описанной ранее теоремы эквивалентности. Для линейных систем теорема эквивалентности утверждает, что на математическое описание про­цесса детектирования не влияет сдвиг частоты. Как следствие, использование согла­сованных фильтров или корреляторов для детектирования полосовых сигналов (рассмотренное в данной главе) дает те же соотношения, что были выведены ранее для сопоставимых низкочастотных сигналов.

Пример 4.4. Вероятность битовой ошибки при передаче сигналов BPSK

Найдите вероятность появления ошибочного бита в системе, использующей схему BPSK и

скорость 1 Мбит/с. Принятые сигналы s,(t) = A cos (ЛЫ и si(t) = -A cos (Ооt детектируются

когерентно с использованием согласованного фильтра. Величина А равна 10 мВ. Однопо­лосную спектральную плотность шума считать равной No = 10"^и Вт/Гц, а мощность сигнала и энергию на бит — нормированными на 1 Ом.

Решете

А= = icr²B Г = —=10“⁶с

V Т R

Следовательно,

Е_ь= — Г = 5х10^_11Дж и

Используя табл. Б.1 или формулу (3.44), получаем следующее:

/>* = 8x10'

4.7.2. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном

детектировании сигнала в дифференциальной модуляции BPSK

Сигналы в канале иногда инвертируются; например, при использовании когерентного опорного сигнала, генерируемого контуром ФАПЧ, фаза может быть неоднозначной. Если фаза несущей была инвертирована при использовании схемы DPSK, как это скажется на сообщении? Поскольку информация сообщения кодируется подобием или отличием соседних символов, единственным следствием может быть ошибка в бите, который инвертируется, или в бите, непосредственно следующим за инвертиро­ванным. Точность определения подобия или отличия символов не меняется при ин­вертировании несущей. Иногда сообщения (и кодирующие их сигналы) дифференци­ально кодируются и когерентно детектируются, чтобы просто избежать неопределен­ности в определении фазы.

Вероятность появления ошибочного бита при когерентном детектировании сигна­лов в дифференциальной модуляции PSK (DPSK) дается выражением [5]

	Рв =2(2				(4.80)

Это соотношение изображено на рис. 4.25. Отметим, что существует незначитель­ное ухудшение достоверности детектирования по сравнению с когерентным детекти­рованием сигналов в модуляции PSK. Это вызвано дифференциальным кодировани­ем, поскольку любая отдельная ошибка детектирования обычно приводит к принятию двух ошибочных решений. Подробно вероятность ошибки при использовании наибо­лее популярной схемы — когерентного детектирования сигналов в модуляции DPSK — рассмотрена в разделе 4.7.5.

Г подо Л Пглпглгпияо МППХ/ПЯ11ИЯ И пеМОЯУЛЯЦИЯ

Некогерентное детектирование сигналов в

ортогональной Когерентное FSK детектирование

сигналов в ортогональной FSK

4.7.3. Вероятность появления ошибочного бита при когерентном детектировании сигнала в бинарной ортогональной модуляции FSK

Формулы (4.78) и (4.79) описывают вероятность появления ошибочного бита для ко­герентного детектирования антиподных сигналов. Более общую трактовку для коге­рентного детектирования бинарных сигналов (не ограничивающихся антиподными сигналами) дает следующее выражение для Р_в [6]:

P_B=-j== ехр V2ji,----- 1

J(l-p)E_b/N₀

Из формулы (3.64,6) р = cos 0 — временной коэффициент взаимной корреляции между Ji(f) и s₂(t), где 0 — угол между векторами сигналов s, и s₂ (см. рис. 4.6). Для антипод­ных сигналов, таких как сигналы BPSK, 0 = л, поэтому р = -1.

Для ортогональных сигналов, таких как сигналы бинарной FSK (BFSK), 0 = я/2, поскольку векторы s_t и s₂ перпендикулярны; следовательно, р = 0, что можно доказать с помощью формулы (3.64,а), Лоэтому выражение (4.81) можно переписать следую­щим образом:

Здесь Q(x) — гауссов интеграл ошибок, подробно описанный в разделах 3.2 и Б.З.2. Зависимость (4.82) для когерентного детектирования ортогональных сигналов BFSK, показанная на рис. 4.25, аналогична зависимости, полученной для детектирования ор­тогональных сигналов с помощью согласованного фильтра (формула (3.71)) и низко­частотных ортогональных сигналов (униполярных импульсов) с использованием со­гласованного фильтра (формула (3.73)). В данной книге мы не рассматриваем ампли­тудную манипуляцию OOK (on-off keying), но соотношение (4.82) применимо к детектированию с помощью согласованного фильтра сигналов ООК, так же как и к когерентному детектированию любых ортогональных сигналов.

Справедливость соотношения (4.82) подтверждает и то, что разность энергий меж­ду ортогональными векторами сигналов s, и s₂ с амплитудой -J~E, как показано на рис. 3.10, б, равна квадрату расстояния между концами ортогональных векторов E_d = 2E_b. Подстановка этого результата в формулу (3.63) также дает формулу (4.82). Сравнивая формулы (4.82) и (4.79), видим, что, по сравнению со схемой BPSK, схема BFSK требует на 3 дБ большего отношения E,JN₀ для обеспечения аналогичной досто­верности передачи. Этот результат не должен быть неожиданным, поскольку при дан­ной мощности сигнала квадрат расстояния между ортогональными векторами вдвое (на 3 дБ) больше квадрата расстояния между антиподными векторами.

4.7.4. Вероятность появления ошибочного бита при некогерентном детектировании сигнала в бинарной ортогональной модуляции FSK

Рассмотрим бинарное ортогональное множество равновероятных сигналов FSK {j_t(r)h определенное формулой (4.8):

Фаза ф неизвестна и предполагается постоянной. Детектор описывается М = 2 канала­ми, состоящими, как показано на рис. 4.19, из полосовых фильтров и детекторов оги­бающей. На вход детектора поступает принятый сигнал r(i) = s,(t) + n(t), где n(t) — гаус­сов шум с двусторонней спектральной плотностью мощности NJ2. Предположим, что s,(f) и s₂(t) достаточно разнесены по частоте, чтобы их перекрытием можно было пре­небречь. Вычисление вероятности появления ошибочного бита для равновероятных сигналов si(t) и s₂(t) начнем, как и в случае низкочастотной передачи, с уравне­ния (3.38):

Р_в = \ПН₂ К) + iP(tf, | j₂) =

(4.83)

о о

Для бинарного случая тестовая статистика z(7) определена как zi(7) - z₂(7). Предположим, что полоса фильтра W_f равна 1/Г, так что огибающая сигнала FSK (приблизительно) сохра­
няется на выходе фильтра. При отсутствии шума в приемнике значение z(7) равно ^2Е/Т при передаче.?,(?) и - ^2Е/Т — при передаче s₂(t). Вследствие такой симметрии опти­мальный порог у₀ = 0. Плотность вероятности p(z|s_t) подобна плотности вероятности p(z\s₂):

P(z\si) = P(-z\^s2>- (4.84)

Таким образом, можем записать

^рв = |р(ф₂)

или

Рв = P(zi > z₂|.s₂), (4.86)

где z, и z₂ обозначают выходы z,(7) и z₂(T) детекторов огибающей, показанных на рис. 4.19. При передаче тона s₂(t) = cos oty, т.е. когда r(t) = s₂(t) + n(t), выход z,(7) состо­ит исключительно из случайной переменной гауссового шума; он не содержит сигналь­ного компонента. Распределение Гаусса в нелинейном детекторе огибающей дает рас­пределение Релея на выходе [6], так что

			(4.87)

где а₀² — шум на выходе фильтра. С другой стороны, z₂(T) имеет распределение Раиса, поскольку на вход нижнего детектора огибающей подается синусоида плюс шум [6]. Плотность вероятности p{z₂\s₂) записывается как

		(zl+A^2)
			Z;A
				z2 ^ 0 Zi <0
			(4.88)

где А = ^2Е/Т и, как и ранее, о₀² — ^ШУ^М на выходе фильтра. Функция /₀(х), извест­ная как модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка [7], оп­ределяется следующим образом:

2я

1₀(х) = — [ехр (хcos0) dQ. (4.89)

2л J

Ошибка при передаче s₂(t) происходит, если выборка огибающей z,(7), полученная из верхнего канала (по которому проходит шум), больше выборки огибающей z₂(T), полученной из нижнего канала (по которому проходит сигнал и шум). Таким образом, вероятность этой ошибки можно получить, проинтегрировав p(zi|s₂) по z, от z₂ до бес­конечности с последующим усреднением результата по всем возможным z₂:

Рв = P(z 1 > z₂| s₂) =

4.7. ВеООЯТНОСТЬ ошибки R биняпниу гмгтрмяу

Здесь A = iJlE/T, внутренний интеграл — условная вероятность ошибки при фикси­рованном значении z₂, если был передан сигнал s₂(t), а внешний интефал усредняет условную вероятность по всем возможным значениям z₂. Данный интефал можно вы­числить аналитически [8], и его значение равно следующему:

Рв = 2^ехр

С помощью формулы (1.19) шум на выходе фильтра можно выразить как

'N₀

d=2

где G_n(f) = Naf2, a W_f — ширина полосы фильтра. Таким образом, формула (4.92) при­обретает следующий вид:

Рв =|^ехР

Выражение (4.94) показывает, что вероятность ошибки зависит от ширины полосы полосового фильтра и Р_в уменьшается при снижении W_f. Результат справедлив только при пренебрежении межсимвольной интерференцией. Минимальная разрешенная W_f (т.е. не дающая межсимвольной интерференции) получается из уравнения (3.81) при коэффициенте сглаживания г = 0. Следовательно, W_f= R бит/с = 1/Г, и выраже­ние (4.94) можно переписать следующим образом:

^рв = Т£^ехР

о у

Здесь Е_ь= (1/2)А²Г — энергия одного бита. Если сравнить вероятность ошибки схем некогерентной и когерентной FSK (см. рис. 4.25), можно заметить, что при равных Р_в некогерентная FSK требует приблизительно на 1 дБ большего отношения EJN₀, чем когерентная FSK (для Р_в < 10^м). При этом некогерентный приемник легче реализует­ся, поскольку не требуется генерировать когерентные опорные сигналы. По этой при­чине практически все приемники FSK используют некогерентное детектирование. В следующем разделе будет показано, что при сравнении когерентной ортогональной схемы FSK с некогерентной схемой DPSK имеет место та же разница в 3 дБ, что и при сравнении когерентной ортогональной FSK и когерентной PSK.

Г папа А Ппппгпняа МПЛУЛаиИЯ И ЛвМОЛУЛЯЦИЯ

Как указывалось ранее, в данной книге не рассматривается амплитудная манипу­ляция ООК (on-off keying). Все же отметим, что вероятность появления ошибочного бита Р_в, выраженная в формуле (4.96), идентична Р_в для некогерентного детектирова­ния сигналов ООК.

4.7.5. Вероятность появления ошибочного бита для бинарной модуляции DPSK

Определим набор сигналов BPSK следующим образом:

(4.97)

Особенностью схемы DPSK является отсутствие в сигнальном пространстве четко оп­ределенных областей решений. В данном случае решение основывается на разности фаз между принятыми сигналами. Таким образом, при передаче сигналов DPSK каж­дый бит в действительности передается парой двоичных сигналов:

S[(f) = (Х[,Х[) или (х₂,х₂) 0<t<2T s₂(t) = (xi,x₂) или (x₂>*i) 0<t^2T

Здесь (x„xj) (i,j= 1, 2) обозначает сигнал x,(t), за которым следует сигнал xj(t). Первые Т секунд каждого сигнала — это в действительности последние Т секунд предыдущего. Отметим, что оба сигнала s,(f) и s₂(t) могут принимать любую из возможных форм и что x,(t) и x₂(t) — это антиподные сигналы. Таким образом, корреляцию между s,(t) и s₂(t) для любой комбинации сигналов можно записать следующим образом:

2Т

z(2T)= J-Tj (О (t)dt

о т

т

о

о

Следовательно, каждую пару сигналов DPSK можно представить как ортогональный сигнал длительностью 2Т секунд. Детектирование может соответствовать некогерент­ному детектированию огибающей с помощью четырех каналов, согласованных с каж­дым возможным выходом огибающей, как показано на рис. 4.26. Поскольку два де­тектора огибающей, представляющих каждый символ, обратны друг другу, выборки их огибающих будут совпадать. Значит, мы можем реализовать детектор как один канал для s,(f), согласовывающегося с (х_ь х,) или (дг₂, х₂), и один канал для s₂(t), согласовы­вающегося с (х„ х₂) или (х₂, х,), как показано на рис. 4.26. Следовательно, детектор DPSK сокращается до стандартного двухканального некогерентного детектора. В дей­ствительности фильтр может согласовываться с разностным сигналом; так что необхо­димым является всего один канал. На рис. 4.26 показаны фильтры, которые согласо­вываются с огибающими сигнала (в течение двух периодов передачи символа). Что это означает, если вспомнить, что DPSK — это схема передачи сигналов с постоянной

огибающей? Это означает, что нам требуется реализовать детектор энергии, подобный квадратурному приемнику на рис. 4.18, где каждый сигнал в течение период (О < г < 2Т) представляется синфазным и квадратурным опорными сигналами: синфазный опорный сигнал s,(f): ^2/Т cos <о, у]2/Т cos (0₀f; квадратурный опорный сигнал *](/):,j2IT sin (0₀г, ^jl/T sin (0₀f; синфазный опорный сигнал s₂(t): -J2IT cos(o₀t, - -J2/T cos co₀t; квадратурный опорный сигнал s₂(t): -^2/Г sin (0₀f, - д/2 IT sin (0_Qf.

Поскольку пары сигналов DPSK ортогональны, вероятность ошибки при подобном не­когерентном детектировании дается выражением (4.96). Впрочем, поскольку сигналы DPSK длятся 2Т секунд, энергия сигналов s/r), определенных в формуле (4.98), равна удвоенной энергии сигнала, определенного в течение одного периода передачи символа.

Фильтры, согласовывающиеся с огибающими сигнала

а)

Фильтры, согласовывающиеся с огибающими б) Рис. 4.26. Детектирование в схеме DPSK: а) че­тырехканальное дифференциально-когерентное детектирование сигналов в бинарной модуляции DPSK; б) эквивалентный двухканальный детек­тор сигналов в бинарной модуляции DPSK

---

Дата добавления: 2015-10-28