Основы теории принятая статистических решений 1051 29 страница

Передатчик 1

Передача ^ч'- ч^ Ч^ ЧУ Чу Чу V/ Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу Чу

Приемник

-4- ^ 1N

Ч I / -11- f I >

Ошибка

Ошибка

в)

Рис. 6.7. Автоматический запрос повторной передачи (ARQ): а) запрос ARQ с остановками (полудуплексная связь); б) непрерывный запрос ARQ с возвратом (полнодуплексная связь); в) непрерывный запрос ARQ с выбо­рочным повторением (полнодуплексная связь)

Выбор конкретной процедуры ARQ является компромиссом между требованиями эффективности применения ресурсов связи и необходимостью полнодуплексной свя­зи. Полудуплексная связь (рис. 6.7, а) требует меньших затрат, нежели полнодуплекс­ная; в то же время она менее эффективна, что можно определить по количеству пус­тых временных интервалов. Более эффективная работа, показанная на рис. 6.7, б, тре­бует более дорогой полнодуплексной связи.

Главное преимущество схем ARQ перед схемами прямого исправления ошибок (forward error correction — FEC) заключается в том, что обнаружение ошибок требует более простого декодирующего оборудования и меньшей избыточности, чем коррек­ция ошибок. Кроме того, она гибче; информация передается повторно только при об­наружении ошибки. С другой стороны, метод FEC может оказаться более приемле­мым (или дополняющим) по какой-либо из следующих причин.

1. Обратный канал недоступен или задержка при использовании ARQ слишком велика.

2. Алгоритм повторной передачи нельзя реализовать удобным образом.

3. При ожидаемом количестве ошибок потребуется слишком много повторных передач.

6.3. Структурированные последовательности

В разделе 4.8 мы рассмотрели цифровую передачу данных посредством М = 2^к сигналов (М- арная передача сигнала), где каждый сигнал содержит к бит информации. Было показано, что при ортогональной М-арной передаче сигналов уменьшения вероятности ошибки Р_в можно добиться путем увеличения М (расширения полосы пропускания). В разделе 6.1 мы показали, что Р_в можно уменьшить за счет кодирования к двоичных битов в одно из М ор­тогональных кодовых слов. Одним из основных недостатков ортогонального кодирования является неэффективное использование полосы пропускания. При наборе ортогональных кодов, включающем М = 2^к сигналов, требуемая ширина полосы пропускания в М1к раз больше необходимой для передачи некодированного сигнала. В этом и последующих раз­делах мы отойдем от рассмотрения ортогональных или антиподных свойств сигналов и со­средоточим внимание на классе процедур кодирования, известных как коды с контролем четности (parity-check codes). Эти процедуры канального кодирования относятся к струк­турированным последовательностям, поскольку они представляют методы введения в ис­ходные данные структурированной избыточности таким образом, что это позволяет обна­руживать или исправлять ошибки. Как показано на рис. 6.1, структурированные последо­вательности делятся на три подкатегории; блочные, сверточные и турбокоды. Блочное коди­рование рассматривается в этой главе, а другие описываются в главах 7 и 8.

6.3.1. Модели каналов

6.3.1.1. Дискретный канал без памяти

Дискретный канал без памяти (discrete memoryless channel — DMC) характеризуется дис­кретным входным алфавитом, дискретным выходным алфавитом и набором условных вероятностей P(j | /) (1 < /<М, 1 < j<Q), где i представляет модулятор М-арного входного символа, j — демодулятор g-арного выходного символа, a P(j 10 — это вероятность приема символа j при переданном символе i. Каждый выходной символ канала зависит только от соответствующего входного символа, так что для данной входной последова­тельности U = и,, «₂, «з, ■ «т. ^un условную вероятность соответствующей выходной последовательности Z = ц, z₂, ■■■, z_m,..., z_N можно записать следующим образом:

N

P(Z\V) = Y[nz_m\u_m). (6.12)

m = 1

Если же канал имеет память (т.е. в пакете данных имеются помехи или канал подверга­ется воздействию замирания), условную вероятность последовательности Z нужно вы­ражать как совместную вероятность всех элементов последовательности. Уравне­

ние (6.12) — это условие отсутствия памяти у канала. Поскольку считается, что шум в канале без памяти влияет на каждый символ независимо от других, то в этом случае ус­ловная вероятность Z является произведением вероятностей независимых элементов.

6.3.1.2. Двоичный симметричный канал

Двоичный симметричный канал (binary symmetric channel — BSC) является частным слу­чаем дискретного канала без памяти, входной и выходной алфавиты которого состоят из двоичных элементов (0 и 1). Условные вероятности имеют симметричный вид:

/>(0|1) = />(1|0)=/>

(6.13)

Р(1|1) = Р(0|0)=1-/7.

Уравнение (6.13) выражает так называемые вероятности перехода. Иными словами, при передаче канального символа вероятность принятия его с ошибкой равна р (относительно значения энергии), а вероятность того, что он передан без ошибки, — (1 -р). Поскольку на выход демодулятора поступают дискретные элементы 0 или 1, говорят, что по отноше­нию к каждому символу демодулятор принимает жесткое решение (hard decision). Рассмот­рим наиболее распространенную схему кодирования — данные в формате BPSK плюс де­модуляция по принципу жесткого решения. Вероятность появления ошибки в канальном символе находится с использованием метода, обсуждавшегося в разделе 4.7.1, и дается уравнением (4.79):

Здесь E,JN₀ — отношение энергии канального символа к плотности шума, а функция Q(x) была определена в уравнении (3.43).

Если описанная схема жестких решений применяется в системах с бинарными ко­дировками, то с демодулятора на декодер поступают двоичные кодовые символы или биты канала. Поскольку декодер работает на основе жестких решений, определяемых демодулятором, декодирование в двоичном симметричном канале называется также жестким декодированием.

6.3.1.3. Гауссов канал

Определение двоичного симметричного канала можно использовать и для каналов с недискретным алфавитом. Пример — гауссов канал с дискретным входным алфави­том и непрерывным выходным алфавитом, лежащим в диапазоне (-°°, °°). Этот канал добавляет шум ко всем передаваемым символам. Поскольку шум — это гауссова слу­чайная переменная с нулевым средним и дисперсией о², результирующую функцию плотности вероятности принятой случайной величины z при условии передачи симво­ла и_к (правдоподобие и_к) можно записать следующим образом:

(6.14)

для всех z, где к = 1, 2,..., М.

В этом случае отсутствие памяти имеет то же значение, что и в разделе 6.3.1.1, а само уравнение (6.12) можно использовать при вычислении условной вероятности для последовательности Z.

Если на выходе демодулятора находится непрерывный алфавит или его квантовое приближение (с более чем двумя квантовыми уровнями), говорят, что демодулятор принимает мягкое решение (soft decision). Если в системе используется кодирование, демодулятор подает такие квантовые кодовые символы на декодер. Поскольку декодер работает на основе мягких решений, определяемых демодулятором, декодирование в гауссовом канале называется мягким.

В канале с жестким решением процесс детектирования можно описать через веро­ятность символьной ошибки. Но в канале с мягкими решениями выбор детектора нельзя однозначно отнести к верному или неверному. Таким образом, поскольку оп­ределенного решения не существует, не может быть и выражения для вероятности ошибки; детектор может только определять семейство условных вероятностей или функций правдоподобия разных типов символов.

В принципе, декодеры с мягкими решениями можно сделать, но для блочных ко­дов они будут значительно сложнее декодеров с жесткими решениями; поэтому, как правило, блочные коды реализуются в системах с декодерами, работающими по принципу жесткого решения. Для сверточных кодов реализация и жестких, и мягких решений одинаково популярна. В этой главе мы предполагаем, что каналы являются двоичными симметричными и, следовательно, декодеры используют жесткие реше­ния. В главе 7 мы перейдем к обсуждению жесткого и мягкого декодирования для сверточных кодов, а также продолжим обсуждение моделей канала.

6.3.2. Степень кодирования и избыточность

При использовании блочных кодов исходные данные делятся на блоки из к бит, кото­рые иногда называют информационными битами, или битами сообщения; каждый блок может представлять любое из 2* отдельных сообщений. В процессе кодирования каждый ^-битовый блок данных преобразуется в больший блок из п бит, который на­зывается кодовым битом, или канальным символом. К каждому блоку данных коди­рующее устройство прибавляет (п - к) бит, которые называются избыточными битами (redundant bits), битами четности (parity bits), или контрольными битами (check bits); новой информации они не несут. Для обозначения описанного кода используется за­пись (п, к). Отношение числа избыточных бит к числу информационных бит, (п - к)/к, называется избыточностью (redundancy) кода; отношение числа бит данных к общему числу бит, к/п, именуется степенью кодирования (code rate). Под степенью кодирова­ния подразумевается доля кода, которая приходится на полезную информацию. На­пример, в коде со степенью 1/2, каждый кодовый бит несет 1/2 бит информации.

В этой главе и в главах 7 и 8 мы рассмотрим методы кодирования, получающие избыточность за счет увеличения необходимой ширины полосы. Например, метод за­щиты от ошибок, использующий код со степенью 1/2 (100%-ная избыточность), будет требовать двойной, по сравнению с некодированной передачей, полосы пропускания. В то же время, если использовать код со степенью 3/4, то избыточность составит 33%, и увеличение полосы пропускания будет всего 4/3. В главе 9 мы рассмотрим методы модуляции/кодирования для узкополосных каналов, где защита от ошибок происхо­дит не за счет увеличения полосы пропускания, а за счет усложнения метода (и, как следствие, его аппаратной реализации).

6.3.2.1. Терминология в кодировании

Разные авторы по-разному называют элементы на выходе кодирующего устройства: ко­довые биты (code bits), канальные биты (channel bits), кодовые символы (code symbols), ка­
нальные символы (channel symbols), биты четности (parity bits), символы четности (parity symbols). Вообще, по смыслу эти термины очень похожи между собой. В этой книге для двоичных кодов термины “кодовые биты”, “канальные биты”, “кодовые символы” и “канальные символы” употребляются как синонимы. Следует уточнить, что названия “кодовые биты” и “канальные биты” подходят для описания только двоичных кодов. Та­кие общие названия, как “кодовые символы” и “канальные символы”, зачастую более предпочтительны, поскольку они могут означать как двоичное, так и любое другое кодиро­вание. Отметим, что эти понятия не следует путать с тем, что получается при группировке битов в передаваемые символы, о которых шла речь в предыдущей главе. Термины “биты четности” и “символы четности” применяются только к тем составляющим кода, которые представляют избыточные компоненты, прибавляемые к исходным данным.

6.3.3. Коды с контролем четности

6.3.3.1. Код с одним контрольным битом

Коды с контролем четности (parity-check code) для обнаружения или исправления оши­бок используют линейные суммы информационных битов, которые называются символами (parity symbols), или битами четности (parity bits). Код с одним контрольным битом — это прибавление к блоку информационных битов одного контрольного бита. Этот бит (бит четности) может быть равен нулю или единице, причем его значение выбирается так, что­бы сумма всех битов в кодовом слове была четной или нечетной. В операции суммирова­ния используется арифметика по модулю 2 (операция исключающего ИЛИ), описанная в разделе 2.9.3. Если бит четности выбран так, что результат четный, то говорят, что схема имеет положительную четность (even parity); если при добавлении бита четности результи­рующий блок данных является нечетным, то говорят, что он имеет отрицательную чет­ность (odd parity). На рис. 6.8, а показана последовательная передача данных (первым яв­ляется крайний справа бит). К каждому блоку добавляется один бит четности (крайний слева бит в каждом блоке), дающий положительную четность.

Бит четности   а)

В приемном оконечном устройстве производится декодирование, заключающееся в проверке, дают ли нуль суммы принятых битов кодового слова по модулю 2 (положительная четность). Если полученный результат равен 1, то кодовое слово заве­домо содержит ошибки. Степень кодирования такого кода можно записать как kl(k + 1). Как вы думаете, может ли декодер автоматически исправить цифру, получен­ную с ошибкой? Нет, это невозможно. Можно только обнаружить, что в кодовом символе присутствует нечетное количество ошибок. (Если ошибка была внесена в четное число битов, то проверка четности покажет отсутствие ошибок; данный случай — это пример необнаруженной ошибки.) Предполагая, что ошибки во всех раз­рядах равновероятны и появляются независимо, можно записать вероятность появле­ния j ошибок в блоке, состоящем из п символов:

P(M) = {^P^Ja-p)ⁿ~^J ■ (6.15)

Здесь р — вероятность получения канального символа с ошибкой, а через

и!

(6.16)

обозначается число различных способов выбора из п бит j ошибочных. Таким обра­зом, для кода с одним битом четности вероятность необнаруженной ошибки Р«1 В блоке из п бит вычисляется следующим образом:

п 12 (при п=четное)

(к-1)/2(при п = нечетное) / \

£ \"\P^2J(1-P)ⁿ~^2j ■ (6-17)

_J=i

Пример 6.1. Код положительной четности

Нужно создать код обнаружения ошибок (4, 3) положительной четности, причем символ четности должен располагаться на крайней левой позиции кодового слова. Какие ошибки может обнаружить код? Вычислите вероятность необнаруженной ошибки сообщения, пред­полагая, что все символьные ошибки являются независимыми событиями и вероятность ошибки в канальном символе равна р = 10~³.

Решение

Сообщение Четность Кодовое слово

ООО
		/	\
		Четность	Сообщение

Код может выявлять все комбинации с одной или тремя ошибками. Вероятность необнаруженной ошибки равна вероятности появления где-либо в кодовом слове двух или четырех ошибок.

Прямоугольный код (rectangular code), называемый также композиционным (product code), можно представить в виде параллельной структуры кода, изображенной на рис. 6.8, б. Код создается следующим образом. Вначале из битов сообщения строятся прямоугольники, со­стоящие из М строк и N столбцов; затем к каждой строке и каждому столбцу прибавляется бит четности, что в результате дает матрицу размером (М+ 1)х (N+ 1). Степень кодирова­ния прямоугольного кода, kin, может быть записана следующим образом;

k _ MN п ~ (M + l)(N + l) '

Насколько прямоугольный код мощнее кода, который имеет один контрольный бит и предоставляет только возможность обнаружить ошибку? Отметим, что любая от­дельная ошибка в разряде приведет к нарушению четности в одном столбце и в од­ной из строк матрицы. Следовательно, прямоугольный код может исправить любую единичную ошибку, поскольку расположение такой ошибки однозначно определя­ется пересечением строки и столбца, в которых была нарушена четность. В приме­ре, показанном на рис. 6.8, б, размеры матрицы равны М = N = 5; следовательно, на рисунке отображен код (36, 25), способный исправлять единичные ошибки, распо­ложенные в любом из 36 двоичных разрядов. Вычислим для такого блочного кода с коррекцией ошибок вероятность появления неисправленной ошибки, для чего уч­тем все способы появления ошибки сообщения. Исходя из вероятности наличия j ошибок в блоке из п символов, записанной в выражении (6.5), можно записать ве­роятность ошибки сообщения, называемой также блочной ошибкой или ошибочным словом, для кода, который может исправить модели ошибок, состоящие из t или ме­нее ошибочных битов:

(6.18)

Здесь р — вероятность получения ошибочного канального символа. В примере на рис. 6.8, б код может исправить все однобитовые ошибки (r= 1) в прямоугольном бло­ке, состоящем из я = 36 бит. Следовательно, суммирование в уравнении (6.18) начина­ется cj = 2:

При достаточно малом р, наибольший вклад дает первое слагаемое суммы. Следова­тельно, для примера с прямоугольным кодом (36,25) можно записать следующее:

n,-(³₂⁶)_P²(i-ri”.

Точная вероятность битовой ошибки Р_в зависит от конкретного кода и используемого декодера. Приближенные значения Р_в приводятся в разделе 6.5.3.

6.3.4. Зачем используется кодирование с коррекцией ошибок

Кодирование с коррекцией ошибок можно рассматривать как инструмент, реализую­щий различные компромиссы системы. На рис. 6.9 приведен сравнительный вид двух кривых, описывающих зависимость достоверности передачи от отношения EJN₀. Одна кривая соответствует обычной схеме модуляции без кодирования, а вторая представ­ляет такую же модуляцию, но уже с использованием кодирования. Ниже подробно рассмотрено четыре компромисса, имеющие место при канальном кодировании.

Рв   Рис. 6.9. Сравнение типичной досто­верности передачи при использовании схемы с кодированием и схемы без ко­дирования

6.3.4.1. Компромисс 1: достоверность или полоса пропускания

Представим себе, что разработана простая, недорогая система речевой связи, кото­рая была установлена у заказчика. Система не использует кодирование с коррекцией ошибок. Пусть рабочая точка системы совпадает с точкой А на рис. 6.9 (£y/V₀ = 8 дБ, Р_в = 1(Г²). После нескольких испытаний у заказчика появляются жалобы на качество связи; он полагает, что вероятность появления битовой ошибки должна быть не выше КГ⁴. Обычным способом удовлетворения требования заказчика является сдвиг рабо­чей точки из точки А, например, в точку В (рис. 6.9). В то же время допустим, что EfJN₀, равное 8 дБ, — это максимальное значение, возможное в данной системе. Из рис. 6.9 видим, что один из возможных выходов из ситуации (компромиссов) — это сдвиг рабочей точки из точки А в точку С. Иными словами, “съехав” по вертикали вниз в точку С на кривой, отвечающей кодированному случаю, можно предоставить заказчику более высокую достоверность передачи данных. Чего это будет стоить? По­мимо введения новых компонентов (кодера и декодера), это приведет к увеличению

необходимой полосы пропускания. Кодирование с коррекцией ошибок требует избы­точности. Если предположить, что связь будет происходить в реальном времени (так что сообщения не могут задерживаться), добавление избыточных битов потребует уве­личения скорости передачи и, конечно же, большей полосы пропускания.

6.3.4.2. Компромисс 2: мощность или полоса пропускания

Допустим, заказчику установлена система без кодирования с рабочей точкой, сов­падающей с точкой D на рис. 6.9 (E/JN₀ = 14 дБ, Р_в = КГ⁶). Заказчик не имеет претен­зий к качеству связи, но с помощью данного оборудования затруднительно получить требуемые E/JNq = 14 дБ. Иными словами, оборудование постоянно работает на грани отказа. Если снизить требования к Eb/N₀ или мощности, то проблем с надежностью оборудования можно избежать. В контексте рис. 6.9 данные меры выглядят как сдвиг рабочей точки из D в Е. Другими словами, требуемое значение EtJN₀ можно получить, если применить кодирование с коррекцией ошибок. Таким образом, при фиксиро­ванном качестве связи компромисс заключается в получении большей производитель­ности при снижении требований к мощности или Еь/Ng. Чем за это приходится пла­тить? Тем же, чем и в прошлый раз, — большей полосой пропускания.

Заметим, что в системах, где не используется связь в реальном времени, применение кодирования с коррекцией ошибок даст несколько отличные результаты. Повышение достоверности передачи или понижение потребляемой мощности (подобное описан­ным выше случаям 1 или 2) будет достигаться за счет увеличения времени задержки, а не за счет расширения полосы пропускания.

6.3.4.3. Эффективность кодирования

Пример компромиссных решений, рассмотренный в предыдущем разделе, позво­ляет понизить EJNo с 14 до 9 дБ при поддержании той же достоверности передачи. В контексте этого примера и с помощью рис. 6.9 мы можем ввести понятие эффек­тивность кодирования (coding gain). Итак, при данной вероятности битовой ошибки эффективность кодирования определяется как уменьшение EtJN₀, которое достигается при использовании кодирования. Эффективность кодирования G, как правило, выра­жается в децибелах:

(6.19)

Здесь (E/JNq)и и (Et/N₀)_c — требуемые некодированное и кодированное значения EJN₀.

6.3.4.4. Компромисс 3: скорость передачи данных или полоса пропускания

Пусть разработана система без кодирования с рабочей точкой, совпадающей с точкой D на рис. 6.9 (Еь/No - 14 дБ, Р_в = КГ⁶). Допустим, что с качеством данных нет никаких про­блем и нет особой нужды в снижении мощности. Однако у заказчика возросли требования к скорости передачи данных. Напомним в связи с этим уравнение (5.20,6):

Если в системе ничего не менять, кроме скорости передачи данных R, то из приве­денного выше выражения видно, что это приведет к уменьшению значения EJNo и

перемещению рабочей точки вверх, например из точки D в некоторую точку F. А те­перь представим, что она “съезжает” вниз по вертикали в точку Е на кривую, которая представляет кодированную модуляцию. Возрастание скорости передачи данных пло­хо отражается на качестве их передачи. В то же время применение кодирования с коррекцией ошибок восстанавливает утраченное качество, сохраняя при этом преж­ний уровень мощности (/y/V₀). Итак, значение E,JN₀ понижено, но код способствует получению той же вероятности ошибки при сниженном значении E,JN₀. Какова цена такого увеличения скорости передачи данных или увеличения емкости? Как и рань­ше, это увеличение полосы пропускания. '

6.3.4.5. Компромисс 4: пропускная способность или ширина полосы пропускания

Компромисс 4 сходен с компромиссом 3 в том, что оба дают возрастание пропуск­ной способности. Метод множественного доступа, именуемый множественным досту­пом с кодовым разделением каналов (code-division multiple access — CDMA), который описывается в главе 12, — это один из стандартов, используемых в сотовой связи. При CDMA, когда все клиенты совместно используют общий спектр частот, каждый клиент является источником помех для других пользователей в той же ячейке или со­седних. Поэтому пропускная способность (максимальное число клиентов) ячейки об­ратно пропорциональна значению EJN₀ (см. раздел 12.8). При этом снижение E,JN₀ дает в итоге увеличение пропускной способности; код позволяет снизить мощности, используемые каждым клиентом, что, в свою очередь, приводит к увеличению общего числа клиентов. И снова платой за это является увеличение полосы пропускания. Но в этом случае увеличение полосы сигнала, получаемое при переходе к кодированию с коррекцией ошибок, незначительно, по сравнению с существенным увеличением по­лосы пропускания, получаемым при расширении спектра сигнала; поэтому при пере­даче данных оно не оказывает влияния на полосу пропускания.

В каждом из упомянутых выше компромиссов предполагалось использование “традиционного” кода с избыточными битами и более быстрая передача сигналов (для систем связи реального времени); следовательно, в каждом случае платой было рас­ширение полосы передачи. В то же время существуют методы коррекции ошибок, на­зываемые решетчатым кодированием (trellis-coded modulation), которые не требуют увеличения скорости передачи сигналов или расширения полосы частот для систем связи реального времени. (Эти методы рассмотрены в разделе 9.10.)

Пример 6.2. Связь вероятности ошибки с использованием кодирования

Сравните вероятность ошибки в сообщении для двух каналов связи — обычного и исполь­зующего кодирование с коррекцией ошибок. Пусть некодированная передача имеет сле­дующие характеристики: модуляция BPSK, гауссов шум, PJNq = 43 776, скорость передачи данных R = 4800 бит/с. Для случая с кодированием предполагается использование кода с коррекцией ошибок (15, 11), предоставляющего возможность исправления любых однобито­вых моделей ошибок кода в блоке из 15 бит. Будем считать, что демодулятор принимает же­сткие решения и передает демодулированный код прямо на декодер, который, в свою оче­редь, определяет исходное сообщение.

Решение

Используем уравнение (4.79). Пусть р_и = Q^2E_b/N₀ и р_с = Q^2E_C/N₀ — вероятности символьных ошибок в канале без кодирования и в канале с кодированием, где Еь/No — от-

ношение энергии бита к спектральной плотности мощности шума, a EJNo — отношение энергии кодированного бита к спектральной плотности мощности шума.

Без кодирования

и

(6.20)

Для Q(x) используется следующее приближение, приведенное в уравнении (3.44):

/

Q(x) ~ —-т= ехр ---- для х > 3.

xy'lTi V 2,

Вероятность того, что некодированный блок сообщений Р^ будет принят с ошибкой, равна

1 минус произведение вероятностей того, что каждый бит будет детектирован правильно. Таким образом,

1-(1 -РиУ i-д-р.)"

С кодированием

Допустим, рассматриваемая система — это система связи реального времени, где задержки недопустимы, а скорость передачи канальных символов, или скорость передачи кодирован­ных битов, равна R_c= 15/11 скорости некодированной передачи.

и

Для каждого кодового бита значение EJNo меньше, чем в случае с некодированными битами данных Это объясняется тем, что скорость передачи канальных битов возросла, а мощность передатчика при этом не изменилась:

(6.22)

Сравнивая выражения (6 20) и (6 22), можно видеть, что вследствие внесения избыточности вероятность ошибки в канальном бите уменьшилась. За то же время и с теми же номиналь­ными мощностями нужно детектировать большее число бит, повышение производительно­сти в результате кодирования еще не очевидно Вычислим теперь с помощью уравнения (6.18)

частоту появления ошибок в кодированном сообщении Р'_м:

Суммирование начинается cj = 2, поскольку код позволяет исправлять все однобитовые ошибки в блоках из п = 15 бит. Достаточно хорошее приближение можно получить, используя только первый член суммы. Для р, используем значение, полученное из уравнения (6.22):

(6.23)

Сравнивая выражения (6.21) и (6.23), можно видеть, что вследствие применения кода с кор­рекцией ошибок вероятность ошибки сообщения была уменьшена примерно в 58 раз. Дан­ный пример иллюстрирует типичное поведение систем связи реального времени при ис­пользовании кодирования с коррекцией ошибок. Введение избыточности означает увеличе­ние скорости передачи сигналов, уменьшение энергии, приходящейся на канальный сим­вол, и увеличение числа ошибок вне демодулятора. Преимуществом такого подхода является то, что декодер (при разумном значении EJNq) позволяет с лихвой компенсировать слабую производительность демодулятора.

Дата добавления: 2015-10-28