Дискретное время.

В дискретном времени модель гибкого акселератора описывается конечно-разностным уравнением: , (22)

или . (22.1)

Выпишем соответствующее соотношение между запасами капитала в нулевом и первом периодах: . (22.2)

С учетом (22.2) можно перейти от зависимости между капиталом во втором и первом периодах – к соотношению между фондами второго и нулевого временн интервалов: . (22.3)

Аналогично, соотношение между запасами капитала в третьем и нулевом периодах будет выглядеть так:

. (22.4)

Соответственно, зависимость объема основных фондов в момент t от исходного запаса капитала таково[27]:

(22.5)

Данное решение можно получить также, используя теорию уравнений в конечных разностях[28]:

; . (22.1)

Решим соответствующее однородное уравнение

. (2)

Распишем соотношение (2) для всех периодов, начиная с нулевого и кончая моментом t: ,

,

…

.

Перемножая почленно написанные равенства, после сокращения на произведение получим искомое решение однородного уравнения [ Ошибка! Источник ссылки не найден., с.292-294]

. (4)

Проварьируем величину K ₀:

. (5)

Уравнение (4) приобретает вид: . (10)

Подставляем (10) в исходное неоднородное уравнение (22.1):

, (11)

или . (12)

Суммируя в пределах от до , получаем

. (8)

Подставляя полученную таким образом неизвестную величину в общее решение (10) однородного уравнения (2), получаем общее решение неоднородного уравнения (22.1) . (9)

Определим константу : ; .

Таким образом, как и в теории дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного линейного разностного уравнения первого порядка представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения: .

При λ <0 и при λ >2 равновесие неустойчиво (при )

При 0<λ<2 равновесие устойчиво.

При λ =0 .

При λ =2 :

при t =2 n ; при t =2 n +1 .

Таким образом, траектория динамики инвестиций в дискретном времени будет следующей:

Поскольку оптимальный запас капитала зависит от реальной процентной ставки (12.4), инвестиции (17), (22) так же будут являться функцией ставки процента (рис.1,2).

Дата добавления: 2015-10-24