Сложные проценты. Спрос на заемные средства. Равновесие на рынке заемных средств.

Рассмотрим вначале вопрос о начислении сложных процентов и дисконтировании денежных потоков в непрерывном времени. В процессе дисконтирования используется экспоненциальная функция, причем показателем экспоненты является произведение времени на непрерывную ставку, или интенсивность, процента (e^rt). Эта функция возникает из механизма начисления сложных процентов. При ежегодной выплате первоначальный вклад возрастает через t лет в (1+ r) ^t раз. Если проценты начисляются n раз в год, то рост первоначального вклада за t лет составит раз. При непрерывной выплате процентов, когда число n выплат устремляется к бесконечности, в пределе возникает экспонента

, (6.7)

где r – процентный доход за единицу времени.

К получению множителя e^rt можно подойти и по-другому. При непрерывном начислении процентов приращение денежной суммы на банковском счете за бесконечно малую единицу времени составляет, как и в дискретном случае, произведение предшествующего количества денег на ставку процента:

, или ,

где r – процентный доход за единицу времени .

Устремляя шаг времени к нулю, в пределе

получаем дифференциальное уравнение

. (6.8)

Его решением будет , где C ₀ – некоторая константа. Пусть в первоначальный момент времени на счет было положено количество денег в размере M ₀ (M (0)= M ₀). Тогда C ₀= M ₀, и зависимость денежной суммы от времени имеет следующий вид [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.597-598][9]:

. (6.9)

Если непрерывный темп прироста величины M равен r (6.9), то ее дискретный темп роста равен e^r . (6.11)

При малых r этот темп роста близок (1+ r) [ Ошибка! Источник ссылки не найден., с.198].

Отметим, что при решение уравнения (6.8) будет иметь вид[10]

. (6.9)

Процедура дисконтирования обратна механизму начисления сложных процентов (6.9) . (6.12)

Допустим, что инвестиционный проект приносит непрерывный во времени поток чистых доходов R (t) начиная с некоторого момента t = T вплоть до периода t = K. Тогда капитализированная стоимость проекта, то есть его дисконтированный кумулятивный поток чистых доходов в момент времени T составит

, (6.13)

где r – непрерывно начисляемая ставка процента [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188].

В частности, в нулевой момент времени (T =0)

. (6.14)

Допустим далее, что непрерывная ставка процента меняется во времени (r (t)≠const). Тогда средняя ее величина за период, равный t, составит

, (6.15)

где τ – переменная интегрирования.

С учетом данной средней ставки процента первоначальная сумма денег M (0) в момент времени t составит

. (6.16)

Обратная, по отношению к начислению непрерывных сложных процентов (6.16), процедура дисконтирования даст

. (6.17)

С учетом переменной во времени ставки процента процедура капитализации потока доходов R (t) во временнóм интервале T ≤ t ≤ K на момент начала проекта t = T усложняется [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188]:

. (6.18)

При постоянной во времени ставке процента (r (t)= r =const) приходим к полученной выше формуле (6.13):

.

Рассмотрим вначале вопрос о начислении сложных процентов и дисконтировании денежных потоков в непрерывном времени. В процессе дисконтирования используется экспоненциальная функция, причем показателем экспоненты является произведение времени на непрерывную ставку, или интенсивность, процента (e^rt). Эта функция возникает из механизма начисления сложных процентов. При ежегодной выплате первоначальный вклад возрастает через t лет в (1+ r) ^t раз. Если проценты начисляются n раз в год, то рост первоначального вклада за t лет составит раз. При непрерывной выплате процентов, когда число n выплат устремляется к бесконечности, в пределе возникает экспонента

, (6.7)

где r – процентный доход за единицу времени.

К получению множителя e^rt можно подойти и по-другому. При непрерывном начислении процентов приращение денежной суммы на банковском счете за бесконечно малую единицу времени составляет, как и в дискретном случае, произведение предшествующего количества денег на ставку процента:

, или ,

где r – процентный доход за единицу времени .

Устремляя шаг времени к нулю, в пределе

получаем дифференциальное уравнение

. (6.8)

Его решением будет , где C ₀ – некоторая константа. Пусть в первоначальный момент времени на счет было положено количество денег в размере M ₀ (M (0)= M ₀). Тогда C ₀= M ₀, и зависимость денежной суммы от времени имеет следующий вид [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.597-598][11]:

. (6.9)

Если непрерывный темп прироста величины M равен r (6.9), то ее дискретный темп роста равен e^r . (6.11)

При малых r этот темп роста близок (1+ r) [ Ошибка! Источник ссылки не найден., с.198].

Отметим, что при решение уравнения (6.8) будет иметь вид[12]

. (6.9)

Процедура дисконтирования обратна механизму начисления сложных процентов (6.9) . (6.12)

Допустим, что инвестиционный проект приносит непрерывный во времени поток чистых доходов R (t) начиная с некоторого момента t = T вплоть до периода t = K. Тогда капитализированная стоимость проекта, то есть его дисконтированный кумулятивный поток чистых доходов в момент времени T составит

, (6.13)

где r – непрерывно начисляемая ставка процента [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188].

В частности, в нулевой момент времени (T =0)

. (6.14)

Допустим далее, что непрерывная ставка процента меняется во времени (r (t)≠const). Тогда средняя ее величина за период, равный t, составит

, (6.15)

где τ – переменная интегрирования.

С учетом данной средней ставки процента первоначальная сумма денег M (0) в момент времени t составит

. (6.16)

Обратная, по отношению к начислению непрерывных сложных процентов (6.16), процедура дисконтирования даст

. (6.17)

С учетом переменной во времени ставки процента процедура капитализации потока доходов R (t) во временнóм интервале T ≤ t ≤ K на момент начала проекта t = T усложняется [ Ошибка! Источник ссылки не найден., т.1,с.161-188]:

. (6.18)

При постоянной во времени ставке процента (r (t)= r =const) приходим к полученной выше формуле (6.13):

.

Рыночная ставка ссудного процента понимается как усредненное значение процентных ставок соответствующих различным типам займов. Отдельные производители воспринимают равновесную рыночную ставку как величину экзогенно заданную.

S

S2

S1

D2

D1 D

рынок фирма

В нашей работе под инвестициями (в строгом выражении) мы понимаем инновационное авансирование капитала. Таким образом, данное определение позволяет отличить понятие инвестиции от понятия капитала и авансирования капитала. Смысл инвестирования состоит в получении чистого дохода; превышении доходов инвестиционного проекта над издержками привлечения капитала. Оставляя в стороне вопрос конкретной формы финансирования, стоимость привлечения финансовых ресурсов для инвестирования напрямую связана с равновесной процентной ставкой. Мы полагаем, что предельная доходность капитала является убывающей функцией от объемов инвестирования. Инвестиционные проекты, имеющие предельную эффективность капитала выше процентной ставки или среднерыночной нормы доходности, редки и должны обладать особыми характеристиками, а именно их реализация должна быть связана с эффективными инновациями. При этом временной фактор (разрыв между непосредственным инвестированием и получением доходов) учитывается через норму приведения, зависящую от процентной ставки. Здесь можно проследить взаимосвязь наших рассуждений с теорией Викселя об эффективной эксплуатации актива, в которой говорится, что предельные альтернативные издержки вложения средств в проект, которые представляют собой ставку процента, должны сравняться с предельной доходностью инвестирования в виде темпа прироста стоимости актива: . Ожидаемая дисконтированная стоимость потока доходов от актива будет зависеть от того, когда начнется его коммерческое применение P=P(t). Решение о старте данного проекта принимается в момент времени t=0. Дисконтированная стоимость актива на исходный момент принятия решения о его перспективах составит

.

Будем искать такой стартовый момент t, при котором P0 будет максимальной. Для этого рассчитаем производную P0 по t и приравняем ее к нулю.

.

Большинство инвестиционных теории утверждают, что спрос на средства производства связан с несовпадением фактического, или текущего объема основных фондов (К) с оптимальных, тем который хотели иметь производители (). Разняться они по ответам два основных вопроса, вытекающих их базового определения инвестиций как авансирования капитала с целью достижения его оптимального значения.

Во-первых, какие факторы определяют оптимальный объем капитала?

Во-вторых, от каких факторов зависит скорость его достижения, или скорость «настройки» на определенный объем капитала?

Пусть чистые основные фонды в конце предыдущего периода составляли , а оптимальный (желаемый) объем - . Скорость настройки обозначим как . Тогда чистые инвестиции в t-ом периоде будут равны [13].

Если ввести допущение об экспоненциальном износе, согласного которому амортизационные отчисления можно представить в виде , тогда валовые инвестиции могут быть представлены следующими выражением [14].

В непрерывном времени инвестиции в реальном выражении, как категория потока материальных ресурсов длительного пользования, представляют собой приращение запаса капитала за единицу времени: (1)

Базовая модель акселерации инвестициями выпуска предполагает пропорциональность между запасом капитала и объемом производства: K=BY (2),

где B=const – коэффициент фондоемкости. При этом предельный продукт капитала (предельная фондоотдача), так же является постоянной величиной

Объединяя соотношения (1) и (2), получаем что инвестиции оказываются пропорциональными выпуску продукции:

Базовая модель акселерации инвестициями выпуска предполагает пропорцио- нальность между запасом капитала и объемом производства:

Это так называемая система с запаздыванием. В ней скорость изменения переменной зависит от ее отставания по отношению к своему оптимальному значению. Здесь - это коэффициент ускорения или акселерации: =-

Учитывая, что согласно простейшей версии акселераторной модели, оптимальный объем основных фондов связан прямой пропорциональной зависимостью с выпуском, т. е ., где -постноянная величина, равная отношению капитала к выпуску, мы получаем или . Если последнее уравнение записать для различных периодов времени (t-1, t-2, t-3 и т.д.), то мы получим форму распределенных лагов с геометрически убывающими весами:

+...]. или

В последнем уравнении изменения величины капитала, т.е. чистые инвестиции зависит от текущего и предшествующих (лагированных) изменений выпусков, т. е. мы можем сказать что инвестиции представляют собой функцию от текущего и логированного выпуска. Инвестиционные намерения, прежде чем они превратятся в расходы, должны пройти различные стадии (планирование, заключение контрактов, заказы), оказываясь под влиянием лагов в поставках и задержек в окончательном оформлении проекта, поэтому использование членов лагирования выпуска позволяет отразить реакцию инвестиций на изменения в конечном спросе.

Дата добавления: 2015-10-24