Аналитическое решение дифференциального уравнения

Прямые методы оценки качества системы автоматического управления основаны на получении тем или иным путём графика переходной характеристики системы с последующей оценкой качества переходного процесса по графику. Переходная характеристика может быть получена путем решения дифференциального уравнения системы автоматического управления или путем моделирования работы системы физическими методами.

Переходная характеристика системы при аналитическом решении получается путём дифференциального уравнения замкнутой системы. Дифференциальное уравнение решается при входном воздействии в виде единичной ступенчатой функции . Полученное решение при этом описывает переходную характеристику системы.

Замкнутая система автоматического управления описывается передаточной функцией замкнутой системы

.

Из выражения передаточной функции можно получить дифференциальное уравнение системы в операторной записи

.

При исследовании качества системы необходимо получить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии

,

в этом случае общее уравнение системы примет вид

Решение дифференциального уравнения в виде функции описывает переходную характеристику системы. Полное решение складывается из общего решения однородного уравнения без правой части

и частного (или вынужденного) решения, определяемого правой частью дифференциального уравнения,

.

Общее решение однородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка n имеет вид

,

где -корни характеристического уравнения ,
- постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

После получения решения строится по точкам график этой функции, который и будет графиком переходной характеристики системы. Показатели качества системы устанавливаются по виду графика . При этом используются рассмотренные выше оценки качества переходного процесса в системе.

Достаточно часто передаточная функция замкнутой системы имеет более простой вид

и дифференциальное уравнение переходной характеристики системы сводится к виду

.

В этом случае решение исходного дифференциального уравнения с правой частью может быть сведено к решению однородного уравнения без правой части введением новой переменной

,
при этом , …
и дифференциальное уравнение примет вид

.

Решение нового дифференциального уравнения

,

где - корни характеристического уравнения.

Соотношения между начальными условиями исходного и нового уравнений

, , …

Возвращение к исходной переменной осуществляется смещением решения на величину K.

Нахождение корней характеристического уравнения. При решении дифференциального уравнения приходится искать корни характеристического уравнения, которое может иметь высокую степень и не решаться в радикалах. В радикалах решаются уравнения не выше четвертой степени. Для более высоких степеней уравнения применяют приближенные методы решения.

Характеристическое уравнение степени n имеет вид

.
При приближенном решении его делением всех членов на коэффициент преобразуется к виду

.

Затем берутся три последние члена левой части и решается получившееся уравнение

.
Результат решения оценивается следующим образом.

Если корни вещественные, то определяют первый вещественный корень исходного характеристического уравнения. Для этого задаются первым приближением корня

и делят левую часть характеристического уравнения на разность до тех пор, пока не получится неделимый остаток вида .

Затем находят второе приближение корня и снова делят левую часть исходного характеристического уравнения на разность до получения двучлена .

Находят третье приближение корня .

Обычно достаточно трех приближений. При необходимости процесс уточнения корня можно продолжать.

После того как корень найден с достаточной точностью, степень характеристического уравнения понижается на единицу путем деления его левой части на и процедура повторяется для нахождения других корней.

Если корни комплексные, то определяют первую пару комплексных корней исходного характеристического уравнения. Для этого левая часть характеристического уравнения делится на трехчлен

до получения в остатке неделимого трехчлена вида ,

который преобразуется к виду .

Деление повторяется и находится следующее приближение

.

При необходимости более точного приближения деление повторяется до тех пор, пока не будет найдено удовлетворительное приближение вида

.

При этом определяются два корня исходного характеристического уравнения

и исходное характеристическое уравнение понижается на два порядка.

Аналогичным путем находят остальные корни характеристического уравнения.

Дата добавления: 2015-09-02