Предел функции

Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при стремлении аргумента х к некоторому пределу а или к бесконечности.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки а или в некоторых точках этой окрестности. Функция стремится к пределу при х, стремящемся к , если для каждого положительного числа , как бы мало оно ни было, можно указать такое положительное число , что для всех х, отличных от и удовлетворяющих неравенству , имеет место неравенство

.

Если есть предел функции f(x) при , то пишут: или f (x) при .

Если при , то на графике функции , т.к. из неравенства следует неравенство , то это значит, что для всех точек х, отстоящих от точки не далее чем на , точки М графика функции лежат внутри полосы шириной , ограниченной прямыми и (рис. 2).

Рис. 2

Рассмотрим переменную величину у = f (х). При этом считать, как и всюду в дальнейшем, что из двух значений функции последующим является то значение, которое соответствует последующему значению аргумента. Если определенная так переменная величина у при стремится к некоторому пределу , то будем писать

и говорить, что функция у = f (х) стремится к пределу b при .

Легко доказать, что оба определения предела функции эквива­лентны. Замечание.

Если f ( x ) стремится к пределу b ₁ при х, стре­мящемся к некоторому числу так, что x принимает только значения, меньшие , то пишут и называют b ₁ пределом функ­ции f ( x ) в точке слева. Если х при­нимает только значения большие, чем , то пишут и называют b ₂, пределом функции в точке справа.

Можно доказать, что если, предел справа и предел слева существуют и равны, т. е. , то b и будет пределом в смысле данного выше оп­ределения предела в точке . И об­ратно, еслт предел функции b в точке , то существуют пределы функции в точке справа и слева и они равны.

Замечание.

Для существования предела функции при не требуется, чтобы функция была определена в точке . При нахождении предела рассматриваются значения функции в окрестности точки , отличные от ; это положение наглядно иллю­стрируется следующим примером.

Пример. Докажем, что . Здесь функция не определена при х = 2.

Нужно доказать, что при произвольном найдется такое , что будет выполняться неравенство

, (1)

если | х — 2 | < . Но при х 2 неравенство (1) эквивалентно неравенству

(2)

или .

Таким образом, при произвольном неравенство (1) будет выполняться, если будет выполняться неравенство (2) (здесь ). А это и значит, что данная функция при имеет пределом число 4.

Рассмотрим некоторые случаи изменения функции при . Определение 2. Функция f(x) стремится к пределу , если для каждого произвольно малого положительного числа можно указать такое положитель­ное число N, что для всех значении х, удовлетворяющих неравенст­ву , будет выполняться неравенство .

Зная смысл символов: очевидным является и смысл выражений:

стремится к b при и

стремится к b при ,

которые символически записываются так:

,

30)(бесконечно большая функция). Функция называется бесконечно большой при x ® a или в точке a, если для любого положительного числа e найдется такое положительное d(e), что для всех x№ a и удовлетворяющих условию |x-a|<d будет выполнено неравенство |f(x)|>e.

Аналогично можно дать определение бесконечно большой при x® Ґ. Приведем его в символической записи:

lim _x ® Ґ f (x) = Ґ Ы " e>0 $ d(e)>0 " x:|x|> d |f (x) |> e.

Предложение 1. a(x) бесконечно малая функция при x ® a Ы 1 / a(x) — бесконечно большая при x ® a

Пример 11. y = x² – бесконечно малая функция при x ® 0, а y = 1/x² – бесконечно большая при x ® 0.

1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.20)

2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

. (4.21)

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел , есть величина бесконечно большая:

(4.22)

Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины

Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

Пусть и , тогда и .

Символически можно записать:

и

Примеры:

1) ;

2) ;

3) .

31) (бесконечно малая функция). Функция называется бесконечно малой в точке a или при x ® a, если

lim _x ® af (x) = 0

Пример 10.
f (x) = 1 /x, x ® ¥
f (x) = x 2, x ® 0
f (x) = 1-cos x, x ® 0

Заметим, что если функция f(x) имеет предел в точке a, равный A, то функция a(x) = f(x)-A является бесконечно малой в точке a. То есть, если функция f(x) имеет предел A в точке a, то f(x) = A+a, где lim_{x® a}a (x) = 0.

Отметим некоторые свойства бесконечно малых функций.

Дата добавления: 2015-08-27