Задание 2. Множественная линейная регрессия

Студент выбирает свой вариант (из приведенных ниже таблиц 3, 4 и 5) и делает расчет показателей.

Объем предложения блага фирмы y, цена – x₁, заработная плата сотрудников – х₂.

1. Оценить тесноту связи между признаками x и y.

2. Оцените коэффициенты уравнения парной линейной регрессии по методу наименьших квадратов. Оцените на сколько единиц в среднем изменится переменная y, если переменная x вырастет на 1 единицу.

3. Проверьте статистическую значимость оценок b₀, b₁ и b₂ теоретических коэффициентов β₀, β₁ и β₂ при уровнях значимости α=0,05.

4. Сделайте вывод о качестве подобранного уравнения. Рассчитайте коэффициент детерминации. Рассчитайте t-статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

Таблица 3

Объем предложения блага фирмы (y)

ВАРИАНТЫ
1 объем
2 объем
3 объем
4 объем
5 объем
6 объем
7 объем
8 объем
9 объем
10 объем

ВАРИАНТЫ
1 объем
2 объем
3 объем
4 объем
5 объем
6 объем
7 объем
8 объем
9 объем
10 объем

ВАРИАНТЫ
1 объем
2 объем
3 объем
4 объем
5 объем
6 объем
7 объем
8 объем
9 объем
10 объем

Таблица 4

Цена блага (ден. дд.)

ВАРИАНТЫ
1 цена
2 цена
3 цена
4 цена
5 цена
6 цена
7 цена
8 цена
9 цена
10 цена

ВАРИАНТЫ
1 цена
2 цена
3 цена
4 цена
5 цена
6 цена
7 цена
8 цена
9 цена
10 цена

ВАРИАНТЫ
1 цена
2 цена
3 цена
4 цена
5 цена
6 цена
7 цена
8 цена
9 цена
10 цена

Таблица 5

Заработная плата сотрудников (ден.ед)

ВАРИАНТЫ
1 зарплата
2 зарплата
3 зарплата
4 зарплата
5 зарплата
6 зарплата
7 зарплата
8 зарплата
9 зарплата
10 зарплата

ВАРИАНТЫ
1 зарплата
2 зарплата
3 зарплата
4 зарплата
5 зарплата
6 зарплата
7 зарплата
8 зарплата
9 зарплата
10 зарплата

ВАРИАНТЫ
1 зарплата
2 зарплата
3 зарплата
4 зарплата
5 зарплата
6 зарплата
7 зарплата
8 зарплата
9 зарплата
10 зарплата

Для расчетов показателей необходимо заполнить вспомогательную таблицу 6

Таблица 6.

Вспомогательная таблица для расчетов

	Объем блага	Цена	Зарплата
n	y	x1	x2	y^2	x1^2	x2^2	x1y	x2y	x1x2
Σ

1. Для оценки тесноты связи между признаками x₁ x₂ и y необходимо выполнить следующее:

1.1. рассчитать линейные коэффициенты корреляции

1.2. Написать выводы по величине R по шкале Чэддока. Если =0 – связь отсутствует, если <0,3 – связь несущественная, если 0,3< <0,5 – связь слабая, если 0,5< <0,7 – связь средняя (умеренная), если 0,7< <1 – связь сильная (тесная), если =1 – связь функциональная. Если R<0 – связь обратная, если R>0 – связь прямая.

1.3. Рассчитать коэффициенты алиенации

1.4. Рассчитать ошибки коэффициентов корреляции

1.5. Рассчитать значимость коэффициентов корреляции по t -критерию Стьюдента

1.6. Сравнить полученное значение с табличным при уровне значимости α=0,05 (доверительной вероятности 0,95) и числе степеней свободы ν=n-2. Если t_R > t_табл, то коэффициент корреляции признается значимым и делается вывод о том, что между объемом потребления домохозяйства и изменением располагаемого дохода есть тесная статистическая взаимосвязь.

2. Для оценки коэффициентов уравнения парной линейной регрессии по методу наименьших квадратов необходимо:

2.1. Рассчитать средние значения у и х₁, x₂

2.2. Рассчитать остаточную дисперсию

где – функция взаимосвязи между факторными признаками x₁ x₂ и результативным признаком y,

2.3. Рассчитать общую и факторные дисперсии

2.4. Рассчитать параметры линейного уравнения регрессии

2.5. Сделать вывод о том, что коэффициент регрессии b₁ показывает, что с увеличением цены на 1 ден. ед. объемом потребления домохозяйства возрастает (уменьшается) на ____ ден. ед., а коэффициент регрессии b₁ показывает, что с увеличением располагаемого дохода на 1 ден. ед. объемом потребления домохозяйства возрастает (уменьшается) на ____ ден. ед.,

2.6. Рассчитать коэффициенты эластичности факторов

Сравнение коэффициентов эластичности позволяет сделать вывод, что с увеличением фактора х₁ (цена) или х₂ (заработная плата) на 1% результативный фактор увеличивается на …%. Главным фактором изменения результативного показателя является фактор …, вторым по силе влияния – фактор …

2.7. Рассчитать значения

где – функция взаимосвязи между факторными признаками x₁ и x₂ и результативным признаком y, b₀ и b₁ – параметры линейного уравнения регрессии.

2.8. Подставляя в полученное уравнение регрессии значения x₁ и x₂, можно определить условные (расчетные, теоретические) значения .

2.9. Проверить точность расчета: Σ y ≈ Σ .

2.10. Рассчитать коэффициент множественной корреляции

2.11. Рассчитать β-коэффициенты и Δ-коэфициенты

Сравнение значений β-коэффициентов позволяет сделать вывод, что с учетом уровня колеблемости факторов наибольшие резервы в изменении результативного показателя заложены в увеличении факторов … Сопоставление Δ-коэффициентов позволяет сделать вывод, что наибольшую долю влияния имеет фактор …, роль этого фактора в вариации результативного показателя составляет …% общего влияния двух факторов на результативный показатель.

3. Для проверки статистической значимости оценок b₀, b₁ b₂ теоретических коэффициентов β₀, β₁ β₂ при уровнях значимости α =0,05 необходимо:

3.1. Рассчитать выборочные дисперсии эмпирических коэффициентов регрессии по формулам:

3.2. Рассмотреть проверку статистической значимости коэффициентов парной линейной регрессии. При проверке гипотезы H₀:α_j=0 против альтернативной гипотезы H₁:α_j≠0, для коэффициентов b₀ и b₁ и b₂ рассчитываются абсолютные величины t-статистик коэффициентов:

.

3.3. При выполнении исходных предпосылок модели эти дроби имеют распределение Стьюдента с числом степеней свободы ν= n-m-1 (n — объем выборки, m — количество объясняющих переменных в модели). Рассчитанное значение t -статистики сравнивается с критической точкой распределения Стьюдента, где α - требуемый уровень значимости. В данном случае рассматривается двухсторонняя критическая область. Коэффициент полагается статистически значимым, если абсолютная величина его t -статистики превосходит .

3.4. Если , то коэффициент b_j считается статистически значимым. В противном случае коэффициент b_j считается статистически незначимым (статистически близким к нулю). Это означает, что фактор x_j линейно не связан с зависимой переменной y. Его наличие среди объясняющих переменных не оправдано со статистической точки зрения. Если коэффициент b_j статистически незначим, рекомендуется исключить из уравнения регрессии переменную x_J. Это не приведет к существенной потере качества модели, но сделает ее более конкретной.

3.5. После определения точечных оценок b_j коэффициентов β_iтеоретического уравнения регрессии могут быть рассчитаны интервальные оценки указанных коэффициентов. Доверительный интервал, накрывающий с надежностью 1-α неизвестное значение параметра β_j, определяется неравенством

,

где - критическая точка распределения Стьюдента с числом степеней свободы ν= n-m-1( – объем выборки, – количество объясняющих переменных в модели) и уровнем доверия .

Фактически доверительный интервал определяет значения теоретических коэффициентов регрессии β_0, β₁ и β₂, которые будут приемлемыми с надежностью 1-α при найденных оценках b_0, b₁ и b₂.

4. Для проверки качества подобранного уравнения проверить значимость коэффициента детерминации:

4.1. Общее качество уравнения регрессии оценивается по тому, как хорошо эмпирическое уравнение регрессии согласуется со статистическими данными. Для принятия гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов линейной регрессии коэффициент детерминации R² не должен существенно отличаться от нуля. Поэтому для анализа значимости всех коэффициентов регрессии исследуют значимость коэффициента детерминации. Таким образом, коэффициент детерминации R² является суммарной мерой общего качества уравнения регрессии, он рассчитывается по формуле:

4.2. Коэффициент детерминации определяет долю разброса зависимой переменной, объяснимую регрессией y на x. В общем случае справедливо соотношение . Чем теснее линейная связь между y и x, тем ближе коэффициент детерминации R² к единице. Чем слабее такая связь, тем R² ближе к нулю. С помощью коэффициента детерминации R² и сделать вывод о том, на сколько процентов изменение объема предложения блага фирмы объясняется изменением цены x₁ и заработной платы x₂.

4.3. Рассматривают также скорректированный (исправленный) коэффициент детерминации:

,

где n - количество наблюдений, m- число объясняющих переменных.

С ростом значения mскорректированный коэффициент детерминации растет медленнее, чем (обычный) коэффициент детерминации. Доказано, что увеличивается при добавлении новой объясняющей переменной тогда и только тогда, когда t-статистика для этой переменной по модулю больше единицы. Поэтому добавление в модель новых объясняющих переменных осуществляется до тех пор, пока растет скорректированный коэффициент детерминации. Коэффициент детерминации рассматривается лишь как один из ряда показателей, который нужно проанализировать, чтобы уточнить строящуюся модель.

4.4. Проверить гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R²: H₀: R²=0 против альтернативной гипотезы H₁: R²>0. Для проверки данной гипотезы часто используется следующая F-статистика:

,

где n - число наблюдений, m - число объясняющих переменных (т.е. 1). В случае парной линейной регрессии . Величина F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H₀ имеет распределение Фишера. Показатели F и R² равны или не равны нулю одновременно. Для проверки нулевой гипотезы H₀: F=0, R²=0 при заданном уровне значимости α по таблицам критических точек распределения Фишера находится критическое значение . Нулевая гипотеза отклоняется, если . Это равносильно тому, что R²>0, т.е. R² статистически значим. Это означает, что объясненная дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если , то нет оснований для отклонения H₀. Значит, что объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, следовательно, общее качество модели невысоко.

---

Дата добавления: 2015-08-20