Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АрхитектураБиологияГеографияДругоеИностранные языки
ИнформатикаИсторияКультураЛитератураМатематика
МедицинаМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогика
ПолитикаПравоПрограммированиеПсихологияРелигия
СоциологияСпортСтроительствоФизикаФилософия
ФинансыХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника

Первое правило Лопиталя

Что необходимо знать и уметь на данный момент? | Что в пределах функций ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью и НЕ ЯВЛЯЕТСЯ неопределённостью | Порядок роста функции | Сравнение бесконечно больших функций | Сравниваем старшие степени: , следовательно, числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, и сразу можно сказать, что предел будет равен бесконечности. | Метод замены переменной в пределе | Бесконечно малые функции. Сравнение бесконечно малых | Может ли функция быть бесконечно малой на бесконечности? | Сравнение бесконечно малых функций | Что принципиально важно во всех рассмотренных примерах? |


Читайте также:
  1. А теперь первое упражнение
  2. А1. ПРАВИЛО ОБОСНОВАННОСТИ АРГУМЕНТОВ. Аргумент в диалоге должен быть высказыванием, обоснованным вне данного диалога и независимо от его тезиса.
  3. Билет №46.Стимулирующая и сдерживающая денежно-кредитная политика. Монетарное правило М.Фридмена (автоматическая денежно-кредитная политика).
  4. Виды дисперсий и правило их сложения
  5. Второе правило бойцовского клуба: ?ты не говоришь о бойцовском клубе?.
  6. Второе правило Лопиталя
  7. Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Рассмотрим функции , которые бесконечно малЫ в некоторой точке . Если существует предел их отношений , то в целях устранения неопределённости можно взять две производные – от числителя и от знаменателя. При этом: , то есть при дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Примечание: предел тоже должен существовать, в противном случае правило не применимо.

Что следует из вышесказанного?

Во-первых, необходимо уметь находить производные функций, и чем лучше – тем лучше =)

Во-вторых, производные берутся ОТДЕЛЬНО от числителя и ОТДЕЛЬНО от знаменателя. Пожалуйста, не путайте с правилом дифференцирования частного !!!

И, в-третьих, «икс» может стремиться куда угодно, в том числе, к бесконечности – лишь бы была неопределённость .

Вернёмся к Примеру 5 первой статьи о пределах, в котором был получен следующий результат:

К неопределённости 0:0 применим первое правило Лопиталя:

Как видите, дифференцирование числителя и знаменателя привело нас к ответу с пол оборота: нашли две простые производные, подставили в них «двойку», и оказалось, что неопределённость бесследно исчезла!

Не редкость, когда правила Лопиталя приходится применять последовательно два или бОльшее количество раз (это относится и ко второму правилу). Вытащим на ретро-вечер Пример 2 урока о замечательных пределах:

На двухъярусной кровати снова прохлаждаются два бублика. Применим правило Лопиталя:

Обратите внимание, что на первом шаге в знаменателе берётся производная сложной функции. После этого проводим ряд промежуточных упрощений, в частности, избавляемся от косинуса, указывая, что он стремится к единице. Неопределённость не устранена, поэтому применяем правило Лопиталя ещё раз (вторая строчка).

Я специально подобрал не самый простой пример, чтобы вы провели небольшое самотестирование. Если не совсем понятно, как найдены производные, следует усилить свою технику дифференцирования, если не понятен фокус с косинусом, пожалуйста, вернитесь к замечательным пределам. Не вижу особого смысла в пошаговых комментариях, так как о производных и пределах я уже рассказал достаточно подробно. Новизна статьи состоит в самих правилах и некоторых технических приёмах решения.

Как уже отмечалось, в большинстве случаев правила Лопиталя использовать не нужно, но их зачастую целесообразно применять для черновой проверки решения. Зачастую, но далеко не всегда. Так, например, только что рассмотренный пример значительно выгоднее проверить через замечательные эквивалентности.


Дата добавления: 2015-07-25; просмотров: 110 | Нарушение авторских прав


<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Замечательные эквивалентности в пределах| Второе правило Лопиталя

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.005 сек.)