Оценка функции распределения и построение ее графика.

Функцией распределения F(x) случайной величины X называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции x[См. 2]:

F(x) = p{X < x}. (1.9)

Функция распределения используется при рассмотрении как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Свойства функции распределения:

1. F(–∞) = 0.

2. F(+∞) = 1.

3. F(x1) ≤ F(x2), при x1 < x2.

Иначе говоря, функция задает для каждого значения х относительную частоту события Х ≤ х. F(x) задается аналитически с.о.

(1.10)

Свойство статистической устойчивости частоты, обоснованное теоремой Бернулли, оправдывает целесообразность использования функции F(x) при больших n в качестве приближенного значения неизвестной функции F(x).

Количество вариантов m_x, значения которых меньше x, называется накопленной частотой, т.е.

m_x= (1.11)

Тогда число m_x/n является частостью наблюдаемых в выборке значений величины X, меньших либо равных х, т. е. частостью появления события Х≤х. При изменении х в общем случае будет изменяться и величина m_x/n. Это означает, что относительная частота m_x/n является функцией аргумента х. А так как эта функция находится по выборочным данным, полученным в результате опытов, то ее называют выборочной или эмпирической. Отношение накопленной частоты к общему числу наблюдений n обычно называют накопленной частостью:

ω_x= = (1.12)

Тогда эмпирическую функцию распределения можно определить с.о

(1.13)

Итак, найдем относительные и накопленные частоты. Начало первого интервала равно -0,09396, число наблюдений меньших либо равных -0,09396

равно 0, значит, m_x= 0 и ω_x= 0. Далее x = -0,07001, число наблюдений меньших либо равных -0,07001 равно 2, значит m_x= 2 и ω_x= 2/34 = 0,058824и т.д. Результаты вычислений запишем в виде таблицы 11.

Таблица 11 Относительные и накопленные частоты

Далее построим функцию распределения. Очевидно, что для всех x∈(- ∞; -0,09396) функция распределения равна 0, так как известно, что нет наблюдений меньших либо равных -0,09396. Пусть теперь x∈[ -0,09396; -0,07001) в этом случае значение выборочной функции распределения не определено, так как не известно, сколько выборочных значений случайной вели чины, принадлежащих этому интервалу, меньше х. Если х=-0,07001, то F(x) =ω_x= 2/34. Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значения функции F(x) можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала [0,07368;∞). Определяем теперь значение функции F(x) в указанных точках и запишем в виде таблицы 12.

Таблица 12 Значения функции распределения

Так как эта таблица определяет функцию F(x) не полностью, то при графическом изображении данной функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой (Рис. 6). В результате график функции F(x) будет представлять собой непрерывную линию.

Рисунок 6 Функция распределения

Полученная функция распределения соответствует нормальному закону распределения, поэтому логично предположить, что финансовые индексы валютной пары евро/рубль распределены нормально.

Дата добавления: 2015-10-16