Уравнение провисания свободно подвешенного провода

Если проводе постоянной площадью сечения подвесить между дву­мя точками, расположенными на одном уровне, то под действием рав­номерно распределенной по его длине нагрузки от веса провод примет очертание цепной линии (рис. 78). Жесткость проводов и тросов ска­зывается только при небольших (порядка нескольких метров) рассто­яниях между точками их провеса. В больших пролетах жесткостью проводов и тросов пренебрегают и рассматривают их как идеальные гибкие нити.

Расстояние по горизонтали между точками подвеса А и В называ­ют пролетом и обозначают буквой l. Расстояние по вертикали в сере­дине пролета между проводом и прямой АВ, соединяющей точки под­веса, называют стрелой провеса и обозначают буквой \. Обе величины измеряют в метрах.

Усилие, действующее вдоль провода, называют натяжением и обозначают буквой Т. Натяжение в проводах, рассматриваемых как идеальные гибкие нити, которые не могут воспринимать изгибающие моменты, обусловлено только растяжением и направлено по касатель­ной и кривой провисания нити в рассматриваемой точке пролета. На­тяжение в низшей точке кривой провисания проводов будет направле­но горизонтально, его обычно обозначают буквой Н.

При расчетах гибких нитей с малыми стрелами провеса считают также, что вертикальная нагрузка распределена равномерно не по длине самой нити (рис. 78, о), а по горизонтальной проекции нити (рис. 78, б); нить с такой нагрузкой провисает по параболе. Такое до­пущение вызывает малые погрешности и в то же время дает возмож­ность значительно упростить расчет.

Натяжение провода Т изменяется в пролете от наименьшего значе­ния Т = Н в низшей точке провеса провода до наибольшего значения у опор, равного

Провода и тросы контактных сетей электрифицированных желез­ных дорог представляют собой гибкие нити, имеющие малые стрелы провеса по отношению к длине пролета. В таких нитях значение мак­симального натяжения Т мало отличается отнатяжения нити Н. Если,

-107-

например, f/l — 1/40, то разница в натяжении будет составлять всего 0,5 %. Поэтому при расчете нитей с малыми стрелами провеса (их еще иногда называют пологими нитями) часто считают, чти натяжение ни­ти постоянно и равно Н.

Силу, действующую на единицу площади сечения провода, назы­вают напряжением и обозначают буквой σ. Согласно определению σ = N/S (здесь S — площадь сечения провода).

Представим себе гибкую нить с опорами, расположенными на од­ном уровне, нагруженную произвольной вертикальной нагрузкой, рас­пределенной по длине горизонтальной проекции нити (рис. 79, а]. По­казанные на этом рисунке реакции определим на основании уравне­нии статики. Так, сумма проекций всех сил на горизонтальную ось Σ_х = Н_А+Н_в = 0, откуда следует Н_А = Н_в = Н.

Суммы моментов всех сил относительно опор В и А:

В случае определения реакций балки, показанной на рис. 79,6, нагруженной точно так же, кап нить, и имеющей такой же пролет, бы­ли бы получены такие же реакции, как по формулам (10),

Таким образом, вертикальные составляющие опорных реакций ни­ти равны опорным реакциям в простой балке ЛВ (см. рис. 79, 6), на­груженной точно так же, как заданная нить. Подобные реакции будем в дальнейшем называть балочными.

Рассмотрим некоторое сечение нити в точке С на расстоянии х от левой опоры. Ордината этого сечения равна у (см рис, 79, а). Посколь-

-108-

ку нить предполагается абсолютно гибкой, момент всех сил, действую­щих на нее по одну сторону от сечения, должен равняться нулю т. е,

Момент M_х представляет собой не что иное, как изгибающий мо­мент М^б_х в соответствующем сечении простои балки. Подобные момен­ты будем в дальнейшем называть балочными. Уравнение (11) может быть переписано в виде М_х — Н_у, откуда имеем

Формула (12) представляет уравнение провисания гибкой нит. С помощью Этого уравнения можно найти провес нити в любом ее се­чении. По формуле (12) можно также определить натяжение нити, ес­ли известен ее провес в каком-то сечении:

Рассмотрим одну из наиболее распространенных задач в теории гибких нитей — задачу об определении стрелы провеса и натяжения симметричной нити от нагрузки q, равномерно распределенной по все­му пролету (рис. 80, а). Для этого случая балочные реакции V _А и V_В равны (рис. 80, б), т. е. V _А = V_В =0,5 q.

Балочный изгибающий момент M_х, в сечении нити на расстоянии х от опоры А

Подставив это значение М_г в выражение (12)_, получим уравнение провисания (равновесия) свободно подвешенного провода

-109-

Длина провода в пролете мажет быть определена по формуле длины параболы. Длина отрезка одной ветви параболы от вершины О до точ­ки с координатами (х, у)

Для одной ветви параболы, изображенной на рис. 78, б, при х = - 0,5 и у =f получим

длина обеих ветвей параболы, т. е. длина провода в пролете

В некоторых случаях удобнее пользоваться формулой для опреде­ления длины провода, в которую входит не стрела f, а величины q и Н. Подставив в формулу (18) значение стрелы из выражения (15), по­лучим

Подставил в формулы (9) и (19) значение Я из формулы (16), полу­чим выражение для расчета натяжения свободно подвешенного прово­да у опор:

Дата добавления: 2015-09-03