Волновое уравнение. Потенциал скорости

АКУСТИКА МОРСКОЙ СРЕДЫ

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЗВУКОВОГО ПОЛЯ.

ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТИ

Жидкие среды, рассматриваемые в гидроакустике, считаются сплошными. Физически это означает, что длина волны, распространяющейся в такой среде, намного превышает размер молекул, а период колебаний — время их свободного пробега между столкновениями. Обычно жидкую среду считают идеаль­ной, пренебрегая её вязкостью и теплопроводностью (движение идеальной жидкости рассматривается как адиабатическое). Од­нако при изучении поглощения и затухания волн в жидкой среде учитываются её вязкость (внутреннее трение) и теплопроводность.

В идеальной жидкой среде существует только продольная зву­ковая волна, причём частицы такой среды при плоском её фронте смещаются вдоль направления распространения волны. Со сме­щением частиц связаны изменения давления (нормального на­пряжения) р и плотности среды ρ, которые переносятся волной. Звуковая волна (или звуковое поле) в идеальной жидкости ха­рактеризуется пятью параметрами:

давлением р,

плотностью ρ

и тремя составляющими скорости (v_x, v_y, v_z).

Давление p скла­дывается из гидростатического давления р₀ и звукового давле­ния р₁

р = р_о+р₁ (2.1)

Предполагается, что р_о постоянно. Тогда дифференциал dp давления р равен дифференциалу звукового давления, т. е. dp = dp₁.

Аналогично имеем для плотности

ρ = ρ_o + ρ₁; dρ = dρ ₁ (2.2)

где ρ_о — плотность невозмущенной среды;

ρ₁ — плотность, обусловленная звуковой волной.

Первым соотношением, связывающим давление и плотность, является нелинейное адиабатическое уравнение состояния

P = f(ρ). (2.3)

Поскольку изменение давления и плотности малы, то, поль­зуясь формулой разложения в ряд Тейлора, данное уравнение можно записать в виде

, (2.4)

где df/dρ — производная по ρ при ρ = ρ_о, или р = р_о, для которой мы ввели следующее обозначение:

df/dρ = с². (2.5)

Пренебрегая степенями выше первой и интегрируя уравне­ние (2.4) в предположении с² = const, получаем линеаризованное уравнение состояния

p = c²ρ + const. (2.6)

Константа исключается при дифференцировании последнего выражения по времени:

(2.7)

Величина есть скорость звука. Уравнение (2.7) имеет место лишь тогда, когда можно пренебречь внутренним тре­нием и когда акустические скорости частиц малы по сравнению со скоростями молекул среды.

Объём жидкости (τ) должен иметь постоянную массу М, т. е. М = ρτ = const, откуда

Следовательно,

Модуль объёмного сжатия К определяется соотношением

К = ‒ τ

Таким образом, получаем для скорости звука следующее вы­ражение:

(2.8)

Второе соотношение между величинами v, ρ и р можно найти, если в жидкости выделить бесконечно малый элементарный объём, который в течение рассматриваемого отрезка времени состоит из одних и тех же молекул и движется вместе с жидкостью. Пред­положим, что этот элементарный объём движется так, как если бы он был заморожен; тогда к нему можно применить закон Нью­тона F = m dv/dt. Получающееся при этом уравнение известно как уравнение Эйлера.

Рис. 2.1. Элементарный объём dx dy dz, используемый при выводе уравнения Эйлера

Для вывода уравне-ния Эйлера в случае трёх-мерного движения рас-смотрим элементарный объём dxdydz, имею-щий форму куба (рис. 2.1). Введём обозначения: x₁=x; х₂ = у; х_з = z; v₁ = v_x; ν₂ = v_v; v₃ = v_z. Тогда можно записать

(i,j =1,2,3), (2.9)

где подразумевается суммирование по индексам i и j (правило Эйнштейна). Тогда уравнение Эйлера можно записать в сле­дующем виде:

(2.10)

Первый член в правой части (2.10) представляет собой локаль­ное ускорение в некоторой точке х₁, х₂, х_з жидкости; например, если движение нестационарно, то скорость в фиксированной точке будет изменяться во времени. Второй член в правой части (2.10) представляет собой конвективное ускорение, т. е. ускорение, которое приобретают частицы жидкости вследствие их пере­мещения в области с другими значениями скорости. В силу ма­лости колебательной скорости ν в звуковой волне конвективным ускорением, равным произведению скорости на производную от скорости по координате, можно пренебречь по сравнению с ло­кальным ускорением. Тогда с учётом того, что ρ₀ ρ₁ уравнение Эйлера примет простой вид

или — grad p = ρ₀ (2.11)

Третье соотношение между v, ρ и р — уравнение непрерывно­сти — выражает закон сохранения вещества в гидродинамике: разность между массами жидкости, втекающей за данный проме­жуток времени в некоторый объём и вытекающей из него, дол­жна быть равна приращению массы жидкости внутри данного объёма.

Будем считать, что через грань, перпендикулярную оси X (см. рис. 2.1), за время dt втекает некоторая масса жидкости т_х. За этот же промежуток времени dt через противоположную грань вытекает масса жидкости, отличная от т_х, а именно . Разность между указанными массами жидкости будет равна

Так как m_x = ρν dy dz dt, то

Разность между массами жидкости, втекающей и вытекающей через грани, перпендикулярные осям y и z, соответственно равна

Для общей разности массы втекающей и вытекающей жидкости получим

(2.12)

С другой стороны, приращение массы жидкости внутри объёма за время dt равно

где m_t — масса жидкости внутри выделенного объёма в начальный момент времени.

Очевидно, m_t = ρ dx dy dz, при этом ρ является переменной величиной. Тогда

(2.13)

Приравнивая между собой (2.12) и (2.13), получим

(2.14)

или в векторной форме

(2.15)

Выражения (2.14) и (2.15) называются уравнениями непрерывности.

Для малых смещений и малых изменений плотности, характеризующих звуковую волну, уравнение (2.15) можно упростить. Введём в это уравнение величину уплотнения s, определяемого выражением

или ρ = ρ₀ (1 + s).

Подставляя ρ = ρ₀ (1 + s) в (2.15), получим

или

(2.16)

Пренебрегая в (2.16) величинами второго порядка малости и используя (2.2), имеем

(2.17)

или с учётом адиабатического уравнения состояния (2.7)

(2.18)

Отметим, что все три уравнения, характеризующие звуковое поле:

адиабатическое уравнение состояния (2.6),

уравнение дви­жения (Эйлера) (2.11)

и уравнение непрерывности (2.17) или (2.18),

— являются линеаризованными вариантами соответствующих уравнений гидродинамики.

Из уравнений состояния, Эйлера и непрерывности можно по­лучить волновые уравнения для всех пяти параметров [ р, ρ, (ν₁, ν₂, ν₃)], характеризующих звуковую волну.

Применяя к уравнению Эйлера (2.11) операцию div и дифференцируя уравнение непрерывности по времени, а затем, вычитая один результат из другого, получаем волновое уравнение для давления

(2.19)

где

(2.20)

Волновое уравнение для скорости частиц можно получить, заменив операцию grad к уравнению непрерывности и продифференцировав уравнение Эйлера по времени. Поскольку

grad div = div grad + rot rot = Δ + rot rot,

уравнение для скорости частиц принимает вид

(2.21)

В соответствии с теоремой Гельмгольца любой вектор можно представить в виде разности градиента скалярного потенциала Ф и ротора векторной функции :

(2.22)

В силу того, что звуковое поле в идеальной жидкости является безвихревым (rot 0),

(2.23)

и с учётом векторного тождества rot grad 0 волновое уравнение (2.21) для колебательной скорости частиц принимает вид

(2.24)

Введённая нами скалярная функция Ф носит название потенциала скорости. Подставляя = — grad Ф в уравнение Эйлера (2.11), получаем связь между звуковым давлением р₁ и потен­циалом скорости:

‒ grad p₁ =

или

(2.25)

В гармонической звуковой волне частотой ω звуковое давле­ние p₁ отличается от потенциала скорости Ф постоянным множи­телем:

р₁ = — i ω ρ_о Ф, (2.26)

где i — мнимая единица.

Подставляя (2.25) в волновое уравнение для давления и ин­тегрируя его по времени, получаем для потенциала скорости ана­логичное уравнение

(2.27)

---

Дата добавления: 2015-09-05