Формула полной вероятности. Априорная и апостериорная вероятности, теорема Байеса.

Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности Р_В1(А), Р_В2(А), …, Р_Вn(А) события А. Как найти вероятность события А? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема: Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В₁, В₂, …, В_n, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:

Р(А) = Р(В₁)Р_В1(А) + Р(В₂)Р_В2(А) + …+ Р(В_n)Р_Вn(А).

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Теорема Байеса – одна из основных теорем элементарной теории вероятностей, которая определяет вероятность наступления события в условиях, когда на основе наблюдений известна лишь некоторая частичная информация о событиях. Формула Байеса позволяет переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А. Теорема: Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события. Формула Байеса:

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действия «причин», в данном случае обычно называют гипотезами, т.к. они – предполагаемые события, повлекшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную – с учетом факта произошедшего события – апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учетом данных о событии).

Дата добавления: 2015-08-21