Приклади розв’язування типових задач з механіки

2.4.1. Хлопчик кинув з поверхні Землі м’яч під кутом до горизонту з початковою швидкістю . Через м’яч впав на горизонтальний дах будинку. Визначити висоту будинку та відстань, яку пролетів м’яч по горизонталі, вважати, що .

Дано:

Аналіз

Оберемо систему відліку, тілом відліку якої є Земля. Початок системи координат знаходиться в точці , з якої здійснимо кидок. За початок відліку часу візьмемо момент часу, коли тіло кинуто. Оскільки на тіло діє лише сила тяжіння (опором повітря нехтуємо), то координата тіла з часом змінюється так само, як і для прямолінійного рівномірного руху:

Оскільки і то

Координата змінюється так само, як і для прямолінійного рівноприскореного руху:

Оскільки, , , то .

Отже, , a

Обчислення:

,

Відповідь: висоту будинку рівна , а відстань, яку пролетів м’яч по горизонталі – .

2.4.2. Відстань між двома населеними пунктами автомобіль проїхав із середньою швидкістю за час . Розгін і гальмування тривали , а решту шляху автомобіль рухався рівномірно. Яку швидкість мав автомобіль під час рівномірного руху.

Дано:	СІ
–?

Аналіз

Зобразимо графік залежності швидкості автомобіля від часу. Ділянка відповідає розгону автомобіля, ділянка – рівномірному руху, ділянка – його гальмуванню. Шлях, що пройшов автомобіль чисельно рівний площі трапеції, яка утворена графіком швидкості: або .

З іншого боку, із означення середньої швидкості: . Отже,

.

Обчислення:

.

Відповідь: швидкість, яку мав автомобіль під час рівномірного руху рівна

2.4.3. До вантажу масою , що знаходиться на похилій площині з кутом нахилу прив’язана нитка, яка перекинута через блок. Визначте за яких значень маси вантажу, що підвішений до другого кінця нитки система перебуватиме в рівновазі. Коефіцієнт тертя по похилій нитці. Коефіцієнт тертя по похилій площині дорівнює ?

Дано:

Аналіз

Система може перебувати в русі у двох напрямах:

1) вантаж масою рухається вниз, а вантаж масою вгору по похилій площині;

2) вантаж масою рухається вверх, а вантаж масою вниз по похилій площині.

Розглянемо перший випадок. Визначимо максимальне значення маси , за якої система перебуватиме у рівновазі. За цієї умови сила тертя направлена вниз по похилій площині.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного з тіл зображених на рисунку.

;

Оскільки, розглядає граничний випадок (початок руху), то вважатимемо Тоді в проекціях на вісі , маємо:

Враховуючи, що , a , то .

Розв’язуючи перші два рівняння, маємо: звідки .

Розглянемо другий випадок. Визначимо мінімальне значення маси , за якої система перебуватиме в рівновазі. Сила тертя між вантажем масою і похилою площиною буде направлена вгору по похилій площині.

Запишемо другий закон Ньютона для кожного з тіл: ;

У проекціях на вісі , маємо:

Оскільки, , а , то , звідси

.

Отже, система тіл перебуватиме в рівновазі за умови:

.

Обчислення:

Відповідь: за таких значень маси вантажу, що підвішений до другого кінця нитки система перебуватиме в рівновазі: .

2.4.4. Кулька масою , підвішена на нитці завдовжки , рухається по колу в горизонтальній площині рівномірно. Визначити кутову швидкість обертання кульки і силу натягу нитки, якщо нитка утворює з вертикаллю кут

Дано:	СІ

Аналіз

Вважаючи нитку невагомою і нерозтяжною, запишемо другий закон Ньютона у векторній формі:

У проекціях на вісі , маємо:

(1)

(2)

де – доцентрове прискорення.

З другого рівняння: .

З першого рівняння: => . Оскільки

де , маємо => .

Обчислення:

.

.

Відповідь: кутову швидкість обертання кульки рівна , а сила натягу нитки –

2.4.5. На балку, що лежить на двох опорах і , треба покласти вантаж масою . Довжина балки . На якій відстані від опори треба розмістити вантаж, щоб він тиснув на неї із силою ? Вважаючи масу балки не враховувати.

Дано:

Аналіз

Нехай вісь обертання балки проходить через точку . Звичайно, можна обрати іншу точку, наприклад або . з умови рівноваги балки випливає рівність для сил:

звідси або .

З умови рівноваги балки маємо рівність для моментів сил відносно точки : звідси .

Обчислення:

Відповідь: на відстані від опори треба розмістити вантаж, щоб він тиснув на неї із силою .

2.4.6. Під яким мінімальним кутом до горизонту можна приставити до гладенької вертикальної стіни однорідну драбину, щоб вона не впала? Коефіцієнт тертя між драбиною і горизонтальною підлогою .

Дано:

–?

Аналіз

На малюнку показані сили, що діють на драбину. Запишемо умову рівноваги драбини в разі відсутності поступального руху:

. Якщо довжина драбини , то умова рівноваги драбини в разі відсутності обертального руху відносно осі, що проходить через точку має вигляд:

=>

Для визначення кута нам достатньо таких рівнянь:

=>

Обчислення:

Відповідь: під кутом до горизонту можна приставити до гладенької вертикальної стіни однорідну драбину, щоб вона не впала.

2.4.7. У нерухомому човні на відстані один від одного сидять рибалки. Маса човна , маса першого рибалки , другого – . На яку відстань зміститься човен, якщо рибалки поміняються місцями?

Дано:

–?

Аналіз

Нехай рибалки у човні переміщуються по черзі. Записуємо закон збереження імпульсу для переміщення рибалки масою : , (1)

де – швидкість рибалки масою відносно дна (або берега), – швидкість човна з другим рибалкою відносно берега. Нехай рибалка масою пересувається відносно човна зі швидкістю . Тоді відповідно до закону додавання швидкостей . (2)

Підставляючи (2) в (1), маємо: .

У проекції на вісь .

Враховуючи, що , , де – час переміщення рибалки по човну, дістанемо: .

Аналогічно, для рибалки масою , що рухається, знайдемо

Тому: .

Обчислення:

За умови, що загальне переміщення човна .

2.4.8. Визначити амплітуду, частоту і період гармонічних коливань матеріальної точки, якщо її максимальна швидкість під час коливань дорівнює , а максимальне прискорення – . Вважаючи початкову фазу нульовою, а коливан­ня такими, що відбуваються за законом косинуса, записати рівняння коливань і побудувати його графік.

Дано:

–? –? –?

Аналіз

Максимальна швидкість , (1)

а максимальне прискорення (2)

де – амплітуда; – циклічна частота коливань. Розділивши рівняння (2) на рівняння (1), одержимо

.

Частота коливань .

Амплітуду коливань знаходимо з рівняння (1): .

Обчислення:

.

.

Підставляючи у рівняння коливань числові значення амплітуди і циклічної частоти, дістаємо

Графік коливання, виражений формулою (3) показано на рисунку.

Дата добавления: 2015-08-21