Восстановление геополя по изолинейным данным

Одним из основных способов картографического изображения геополей является изолинейное представление. Однако решать задачи, связанные с анализом геополей на основе карт изолиний весьма затруднительно. Дело в том, что для анализа геополей должна быть возможность однозначного определения значения геополя в произвольной точке. По изолиниям этого сделать нельзя, поскольку известны значения геополя только на этих линиях.

Для решения задач анализа геополей чаще всего используют регулярное представление, полученное на основе изолиний. Поэтому задачу восстановления геополя сведем к восстановлению регулярной сети по изолиниям. По исходному множеству изолиний, каждой из которых сопоставлено определенное значение геополя, необходимо восстановить значение геополя в каждой точке. При этом необходимо выполнить следующие условия:

} значение геополя V (x, y) в вычисляемой точке (x, y) должно лежать в пределах значений поля на двух смежных изолиниях ,где

} полученное геополе должно быть гладким

Первое условие является обязательным, а второе – носит рекомендательный характер. Условие гладкости продиктовано практической целесообразностью. Эту задачу, как и задачу восстановления геополя по данным на нерегулярной сети точек, также считают некорректной.

Методы восстановления геополя по изолиниям

Существует два подхода к восстановлению геополя по изолиниям.

Первый подход реализуется в два этапа:

• Преобразование изолиний в сеть точек («сколка» точек)
• Восстановление геополя по полученной нерегулярной сети точек

Преобразование изолиний в нерегулярную сеть точек может выполняться несколькими способами:

◦ точки «скалываются» в узлах изолиний

◦ точки «скалываются» с определенным шагом по изолиниям

◦ на изолинии накладывается квадратная сетка с ячейками определенных размеров, «скалываются» точки пересечения границ ячеек с изолиниями

Далее независимо от того, как «скалываются» точки, на этапе 2 осуществляется расчет геополя на основе нерегулярной сети с использованием методов двумерной интерполяции.

Методы «сколки» точек с изолиний являются наиболее простыми в реализации, однако такой подход имеет серьезный недостаток. При «сколке» точек сразу теряется часть информации между точками, сколотыми с одной и той же изолинии (для того, чтобы этого избежать необходимо «сколоть» бесконечное число точек, а это невозможно). Такая потеря информации может привести к тому, что изолинии, построенные по восстановленному геополю, будут не совпадать с исходными изолиниями.

Второй подход предполагает расчет геополя непосредственно по изолиниям:

· Формирование триангуляционной сети

· Метод секущих

· Метод обратных взвешенных расстояний

· Метод плавающих секущих

Формирование триангуляционной сети. Этот способ хорошо подходит, когда геополе представляется большим объемом исходных данных. В отличие от восстановления геополя по нерегулярной сети точек, здесь триангуляционная сеть рассчитывается с ограничениями. В качестве ограничения используются сегменты изолиний, являющиеся для алгоритма триангуляции структурными линиями рельефа, которые включаются в модель. Таким образом, значение геополя между двумя соседними изолиниями вычисляется линейно, а геополе представляет собой многогранную поверхность, состоящую из треугольников.

Главными недостатками этого подхода являются, во-первых, отсутствие гладкости полученной поверхности и, во-вторых, появление плато в областях, где треугольники образованы изолиниями одинакового уровня. Первый недостаток можно преодолеть, используя сглаживание, например, с помощью метода Акима. Второй недостаток можно устранить только использованием при триангуляции точек локальных минимумов и максимумов.

Метод секущих . Этот метод также позволяет преобразовать изолинии в регулярную сеть. Суть метода заключается в построении секущей, проходящей через рассчитываемый узел. При этом сечение проводится параллельно координатной оси X или Y. Далее находятся две ближайшие точки пересечения сечения с изолиниями. С помощью линейной интерполяции вычисляется значение геополя в рассчитываемом узле. Существуют различные модификации этого метода.

Например, предлагается строить 4 сечения, проходящих через рассчитываемый узел – вертикальное, горизонтальное и два диагональных. Для каждого сечения выбираются две ближайших точки пересечений. Далее методом линейной интерполяции вычисляется значение геополя в рассчитываемом узле. Дополнительно рассчитывается величина уклона в этом же узле. Итоговым значением геополя считается значение, рассчитанное по тому сечению, где уклон наибольший. Недостатки у этого метода практически такие же, как и при использовании триангуляции – отсутствие гладкости полученной поверхности и появление плато в областях, ограниченных замкнутыми изолиниями. Предлагается преодолевать последний недостаток с помощью кубических сплайнов Эрмита.

Метод обратных взвешенных расстояний . В начале определяются две ближайшие изолинии при условии, что изолинии не должны иметь одинакового значения геополя и между направлениями на ближайшие изолинии угол должен составлять больше 90 (это значит, что обе изолинии лежат «по разные стороны» от точки). Значение геополя вычисляется как взвешенное значение между двумя ближайшими изолиниями с учетом расстояния до этих изолиний. При использовании метода обратных взвешенных расстояний поверхность получается гладкой. Однако такая поверхность будет иметь так называемые террасы – практически плоские участки, расположенные вдоль исходных изолиний, и области плато, возникающие внутри замкнутых изолиний, не имеющих внутри других изолиний (реально эти области должны содержать локальные минимумы и максимумы).

Метод плавающих секущих . Этот метод является развитием идей, касающихся метода сечений. Eго суть заключается в построении серии секущих, проходящих через точку, в которой необходимо восстановить значение геополя. Каждая такая секущая будет пересекаться с изолиниями. Далее на основе значений геополя в точках пересечений рассчитывается значение геополя для каждой секущей. Затем вычисляется общее значения поля по всем секущим.

Рассмотрим метод плавающих секущих подробнее. При его реализации возникают следующие вопросы:

} как построить первую секущую?

} сколько необходимо секущих?

} сколько точек пересечения с изолиниями использовать?

} какой метод интерполяции применить для восстановления значения геополя для каждой секущей?

} каким образом обобщить результаты интерполяции по всем секущим?

В качестве ответов на эти вопросы предлагаются следующие решения.

Направление первой секущей может быть определено двумя способами:

1. Секущая строится до ближайшей изолинии, т.е. должна образовывать кратчайшее расстояние до нее.

2. Секущая строится параллельно оси x или оси y.

Очевидно, что первый способ является более точным, так как учитывает пространственную ориентацию изолиний.

Число секущих влияет на точность восстановления геополя. Чем больше секущих, тем точнее должен быть результат. Однако при увеличении числа секущих также увеличивается (линейно) и время расчета.

Число точек пересечения с изолиниями также влияет на точность восстановления геополя. Чем больше точек, тем точнее должен быть результат. Кроме этого, время поиска точек линейно зависит от их числа. Учитывая, что влияние точек пересечения на результат уменьшается с увеличением расстояния до них, целесообразно находить только определенное число ближайших пересечений.

На выбор метода интерполяции влияют следующие факторы. Так как значения геополя на изолиниях известны точно, а в расчете используются точки, лежащие на изолиниях, то допустимо использование только точных интерполяторов. Также по условиям задачи восстанавливаемая поверхность должна быть гладкой. Поэтому интерполяционная кривая, построенная по точкам пересечения секущей и изолиний, должна:

} точно проходить через все точки;

} плавно вести себя между точками.

Таким образом, необходимо использовать точные интерполяторы.

Значение геополя в точке A вычисляется для каждого построенного сечения. Конечное значение геополя в точке A может вычисляться разными способами, например, усреднением. Однако, чем ближе точки пересечения к расчетной, тем больше их влияние на значение геополя. Поэтому для вычисления значения геополя необходимо использовать усреднение со взвешиванием. Рекомендуется вес каждого частного значения геополя брать обратно пропорционально расстоянию до ближайшего пересечения этой секущей с изолиниями:

13. Методы анализа геополей: уклоны и экспозиции, расчет расстояния и площади по рельефу, расчет зон видимости.

Дата добавления: 2015-09-05