Формула тонкой линзы

Воспользуемся приведёнными выражениями параксиального приближения для получения формулы тонкой линзы. Пусть первая (передняя) сферическая поверхность имеет кривизну и радиус кривизны . Вторая (задняя) сферическая поверхность имеет кривизну и радиус кривизны . Выражение для нормали к поверхности в точке падения луча в параксиальном приближении принимает вид

Как мы выяснили ранее, орт касательной выражается через компоненты орта нормали следующим образом:

При расчетах будем пользоваться записью закона Снелла в форме

Сначала, используя закон Снелла, находим компоненту преломлённого луча после прохождения первой поверхности:

Затем, ту же процедуру осуществляем, чтобы вычислить результат прохождения луча через вторую поверхность. Для величины MathCAD даёт следующее значение:

Полученное выражение позволяет получить формулу тонкой линзы. Нам следует направить на линзу совокупность лучей параллельных оптической оси и вычислить то расстояние от линзы, на котором они пересекаются с осью. Это расстояние и определяется, как фокусное расстояние линзы . Величина является значением синуса угла наклона (углом наклона) пучка по отношению к оптической оси по прохождении линзы. Поэтому, при положительном значении точка пересечения будет перед линзой, тогда как при отрицательном значении точка пересечения будет после линзы. Становится понятно, что в соответствии с правилом знаков следует при нахождении места пересечения любым лучом оптической оси воспользоваться выражением

.

Итак, пусть слева на линзу падает луч, идущий параллельно оптической оси на малом расстоянии от неё. Полагаем и находим для этого луча компоненту орта . Предыдущая формула даёт выражение, не зависящее от величины , то есть справедливое для любого исходного параксиального луча, распространяющегося параллельно оптической оси, что и является свойством фокуса. В результате (см. Worksheet 2) приходим к известному выражению для фокуса тонкой линзы:

Возникает естественный вопрос: существует ли такая же точка, где собираются все исходно параллельные лучи, которые распространяются под некоторым углом Q к оптической оси? Найдём координаты этой точки. Поскольку

,

то после подстановки величин получаем выражение для наклона луча, прошедшего тонкую линзу, в зависимости от координаты :

.

Отметим, что для луча, проходящего через центр линзы наклон луча не изменился . Для собирающей линзы наклон лучей с возрастает, а для лучей с - уменьшается. На расстоянии от линзы расстояние луча до оптической оси

.

Очевидно, все лучи соберутся в одну точку там, где у всех лучей будет одна и та же координата , не зависящая от . Это произойдёт на расстоянии от линзы, при этом расстояние от оптической оси до точки фокусировки равно . Плоскость, проходящая через фокус линзы перпендикулярно оптической оси, называется фокальной плоскостью.

Поскольку , то место фокусировки удалено от оси на расстояние .

Дата добавления: 2015-08-09