Формулы, описывающие сферическую поверхность

Описание сферы с положительным радиусом и кривизной . Стрелка прогиба .

Уравнение для сферы (окружности) c центром в начале системы координат имеет вид: . Если перейти в систему координат , то уравнение окружности примет вид: . Поскольку , приходим к уравнению

В результате приходим к точному уравнению для сечения сферы плоскостью : .

Полученная формула хороша тем, что она применима для описания не только выпуклой, но и вогнутой сферической поверхности. Более того, это выражение представляет и плоскую поверхность: когда , для любого значения получаем .

Легко проверить, что как в случае с , так и с справедливо выражение для нормали к сферической поверхности в точке падения луча на эту поверхность

.

Условие малых углов наклона нормалей к сферической поверхности, соответствующее параксиальному приближению, обеспечивается при столь малых величинах стрелки прогиба , что выражение для орта нормали приобретает вид:

.

Действительно, если расстояние луча до оптической оси столь мало, что , то имеем , что приводит к приведённому выражению для орта нормали в параксиальном приближении.

Наконец, рассмотрим выражения для координат точки пересечения луча со сферической поверхностью в параксиальном приближении.

Пусть - поперечная координата луча в плоскости, касательной к сфере, а - поперечная координата луча в точке пересечения со сферой. Тогда точные выражения для и связаны с -поперечной координатой луча в плоскости, касательной к сфере и кривизной сферы соотношениями:

Если пытаться получить точное описание траектории луча, то следует пользоваться именно этими выражениями. Однако, возникает вопрос: можем ли мы пренебречь поперечным смещением луча при его распространении от касательной плоскости к сфере, то есть вместо координаты пользоваться координатой . Какова получаемая величина относительной ошибки. Ясно, что для пучка, идущего вдоль оптической оси () ошибка вообще исчезает. В противном случае

.
Поскольку и , то относительная ошибка оказывается величиной второго порядка малости и ею в параксиальном приближении можно пренебречь.

Выражения для нормали к поверхности изменят своё значение и, следовательно, луч преломится под другим углом. В параксиальном приближении, как отмечалось раньше, компоненты ортов вдоль оптической оси полагаем равными единице.

Поэтому .

Дата добавления: 2015-08-09