Параксиальное приближение

Это приближение сводится к предположению, что

1. лучи наклонены под небольшим углом к оптической оси. В этом случае абсолютные значения компонентов ортов лучей вдоль оси 0x значительно меньше единицы: .

2. нормаль к поверхности также имеет небольшой наклон к оптической оси. Как и в случае ортов лучей имеем соотношение .

3. в параксиальном приближении используются не точные, а приближенные значения компонент ортов лучей и нормалей к поверхностям. Эти приближенные значения получают разложением в ряд по степеням поперечных компонент соответствующих ортов с точностью до первых степеней и соответственно.

В теории рядов доказывается, что функции можно представить их степенным рядом. Например, и представимы рядами (см. worksheet 1 с использованием series).

Здесь самая высокая степень в разложении - x⁷, а порядок остаточного члена разложения равен 9. Ошибка разложения, таким образом, имеет порядок О(x⁹).

Получим выражение для компоненты орта преломлённого луча в параксиальном приближении. Если ограничиться приближенными выражениями для компонентов ортов с точностью до первых степеней и соответственно, то компоненты ортов вдоль оси 0z будут равны и, аналогично, .

Таким образом, в параксиальном приближении выражения для ортов лучей и нормали к поверхности раздела сред принимают вид:

Результат вычисления компоненты , полученный в MathCAD, имеет вид: .

Проверим правильность полученного результата «ручным» вычислением с использованием классической записи закона Снелла.

Воспользуемся тем фактом, что в параксиальном приближении в соответствии с разложением в ряд функции имеем:

Тогда в силу закона Снелла

Второе решение, полученное в MathCAD, очевидно, является лишним.

Дата добавления: 2015-08-09