Закон Снелла. Принцип наименьшего времени

Сформулированный принцип наикратчайшего пути не объяснял факт преломления лучей на поверхности раздела двух прозрачных сред. Однако, небольшая модификация этого принципа позволяет объяснить и закономерности, возникающие переходе света из одной среды в другую.

На самом деле требования наикратчайшего пути и наименьшего времени распространения из одной точки в другую точку эквивалентны для однородной среды. Обобщение принципа Герона для лучей в различных средах было сформулировано Пьером Ферма. Если принять этот принцип Ферма, то легко получить закон преломления Снелла:

Итак, из точечного источника A, находящегося в среде с показателем преломления n₁, исходят лучи, которые после преломления, распространяются во второй среде с показателем преломления n₂. Какой из лучей попадёт в произвольно выбранную точку ? Если распространение света происходит в соответствии с принцип минимума времени, то на его основании можно получить закон Снелла. Вычисления будут мало отличаться от тех, что проводились для зеркального отражения света. Напомним, что показатель преломления среды показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше, чем в вакууме. Поэтому, скорости света в первой и второй средах

Тогда суммарное время распространения света из A в B через точку C равно:

Условие равенства нулю производной от функции даёт нам закон Снелла (см. worksheet 1).

Закон Снелла можно представить в виде, удобном для «трассировка лучей» через оптические системы. Пусть нормаль к поверхности в точке падения луча задаётся ортом , направления распространения падающего и преломлённого лучей задаётся ортами и , орт, лежащий в плоскости падения и касательный к поверхности раздела сред - .   Тогда закон Снелла можно записать так:

Задача: проверить это утверждение.

Вычислим выражение для орта преломлённого луча , если задан орт падающего на поверхность луча , орт нормали к поверхности раздела сред в точке падения . Плоскость падения – плоскость . Поскольку в последней записи закона Снелла фигурирует орт касательной к поверхности в точке падения, то вычисляем его компоненты, используя тот факт, что
.
Поскольку является ортом, достаточно найти лишь поперечную компоненту этого орта.

Как видно из полученного выражения, даже этот простой случай трассировки луча даёт чрезвычайно громоздкое выражение для искомой величины. Очевидно, что точное решение только усложнится, если луч будет пересекать несколько поверхностей. Именно поэтому при проведении подобных расчетов используют различные степени приближения, самой грубой из которых является параксиальное приближение. Прежде чем продолжать рассмотрение численного моделирования прохождения лучей, условимся о т.н. «правиле знаков», которого мы будем в дальнейшем придерживаться.

Дата добавления: 2015-08-09