Закон зеркального отражения. Принцип кратчайшего пути.

Как известно из школьного курса физики, основными законами геометрической оптики являются закон отражения лучей от зеркальной поверхности, закон преломления лучей при переходе из одной оптической среды в другую и закон дисперсии. Эти законы определяют возможность манипулирования светом. Самые сложные оптические приборы, состоящие из зеркал, линз и призм, действуют в соответствии с этими законами. Эти законы были открыты эмпирически (опытным путём). Они, в свою очередь, опираются на принцип прямолинейного распространения света, то есть декларирования, что в однородной оптической среде свет распространяется прямолинейно. В этом нас убеждает повседневный опыт, основанный на наблюдении теней, отбрасываемых предметами.

Геометрическое описание распространения света работает не только в однородной среде с постоянным показателем преломления, но и в случае среды с изменяющимся в пространстве показателем преломления. Пример: Gradient Index Lenses (GRIN или градиентные линзы). Примером градиентной линзы является хрусталик человеческого глаза. Современные, наиболее мощные компьютерные программы, предназначенные для расчета оптических систем, используют т.н. технику трассировки лучей, при которой прослеживается путь большого количества лучей, проходящих через изучаемую систему.

Возникает естественный вопрос: как соотносятся геометрическая/лучевая оптика с волновой оптикой? Основываясь на физической оптике, геометрическая оптика получается как приближение, получаемое при устремлении длины волны света к нулю: . В этом приближении лучи являются траекториями, перпендикулярными волновым фронтам. Таким образом, описание волны в геометрическом приближении можно заменить описанием совокупности лучей.

Изучение поведения лучей при отражении привело к формулировке чрезвычайно общего принципа, связанного с именем Герона Александрийского. Он постулирует, что свет, вышедший из одной точки и попавший в другую точку, движется по самой короткой траектории. Из этого принципа следует прямолинейный характер распространения света, поскольку прямая линия, соединяющая две точки, есть кратчайший путь между ними (рис.1). Этот же принцип позволяет «вывести» закон отражения луча от плоской зеркальной поверхности, выходящего из точки A и приходящего в точку B (рис.2). Если C – точка на зеркале, где происходит отражение луча, то в эту точку свет из точки A попадает, двигаясь по прямой линии. Из точки C в точку B луч опять должен идти по прямой линии. Неизменными являются высоты и .

рис.1

рис.2

Выражение для длины пути имеет вид:

Построим график этой функции. Пусть . Соответствующий график приведён на листинге программы. Как видим, действительно существует положение точки C, при котором получаем минимальную длину пути S. Однако, чтобы получить закон отражения, численных расчетов, очевидно, недостаточно. Используем аналитические возможности MathCAD для получения закона отражения. Координата места отражения луча минимизирует суммарную длину пути. Условие равенства нулю производной от функции даёт нам закон зеркального отражения (см. worksheet 1).

Дата добавления: 2015-08-09