Примеры гомеоморфных пространств и гомеоморфизмов

Пример 1. Задана числовая прямая с естественной топологией. Доказать, что любые два интервала (, b) и (c, d) гомеоморфные.

Действительно, гомеоморфизм между ними устанавливается, например, линейной функцией

у = (х – ) + с,

где

х Î (, b), а у Î (с, d).

Пример 2. Задано трехмерное евклидово пространство с топологией, порожденной метрикой. Доказать, что сфера гомеоморфна поверхности куба.

Для того, чтобы установить гомеоморфизм между ними, достаточно поместить их центры в одну точку и произвести из неё центральное проектирование.

Пример 3. Задана числовая прямая с естественной топологией. Доказать, что интервал и прямая гомеоморфные. Гомеоморфизм между ними можно установить следующей функцией:

у = tg

хÎ Х = (а, b),

у Î У = R.

Пример 4. Пусть U = {U / 0 £ U < 2 p}, S = S (0, 1) – окружность радиуса 1 с центром в начале координат. На U и на S рассматриваем топологии, индуцированные топологией плоскости. Рассмотрим отображение

: U ® S,

где

:

Является ли отображение – гомеоморфизмом?

Решение. Покажем, что – биекция. Действительно, – отображение.

В силу свойств тригонометрических функций, если u₁ ¹ u₂, то

(х₁, у₁) ¹ (х₂, у₂),

и, следовательно, – инъективное отображение.

Для любой точки М (х₀, у₀) Î S найдётся единственное значение u₀ из промежутка [0, 2p), что

но это означает, что – сюръективное отображение.

Итак, мы показали, что – биекция.

В силу непрерывности тригонометрических функций – непрерывное отображение, однако, отображение ^-1 – не является непрерывным в точке (1, 0). Действительно, если взять связную окрестность V точки (1,0) на окружности S, то ее образ ^-1 (V) при отображении ^-1 будет несвязным на множестве U.

Таким образом, не обязательно взаимно однозначное и непрерывное отображение топологического пространства Х на топологическое пространство У будет гомеоморфизмом, так как обратное отображение не обязано быть непрерывным. Однако, имеет место

Теорема 5. Пусть : Х ® У – непрерывное взаимно – однозначное отображение и (Х) = У. Тогда, если Х – компактно, а У – хаусдорфово пространство, то – гомеоморфизм.

Доказательство. Пусть F Ì X – замкнутое множество, а H –прообраз F в У относительно отображения

^-1: У ® Х

В силу теоремы 4 множество H = (F) – замкнутое множество, а согласно теореме 1 отображение ^-1 непрерывное, то есть – гомеоморфизм.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2015-08-13