Цифровая обработка сигналов

Связь спектра дискретной последовательности x(nT) обозначается как:

, где

- частота дискретизации;

x_а – спектр аналогового сигнала.

Из формулы видно, что спектр последовательности x(nT) равен с точностью до множителя 1/Т сумме спектров соответствующего аналогового сигнала x_а(T), смещенного по оси частот на все возможные значения ω, кратные частоте дискретизации .

z – преобразование последовательностей x(nT) определяется рядом:

(*)

z – комплексная переменная, которая может быть представлена в виде реальной или мнимой части:

.

Если x(nT), то считаем x(k).

Если отсчеты x(k) есть значения непрерывной функции x(Т) в точках Т=k∙ Δ (Δ – шаг дискретизации), то любому сигналу x(Т) можно сопоставить его z – преобразование при выбранном шаге дискретизации.

Для сходимости ряда (*) достаточно выполнение этого условия:

.

Область сходимости определяется окружностью, минимальным радиусом R в z – плоскости. Вне радиуса ряд сходится.

Обратное z – преобразование.

Позволяет оценить минимальный отсчет, зная z – изображение сигнала.

.

Аналогия между оператором Лапласа и дискретным преобразованием.

р – комплексная частота: р=α+jω

Преобразование Лапласа для дискретного сигнала:

e^{-p∙ Δ} = z .

Все свойства выполняются и для дискретного преобразования и для преобразования Лапласа.

Свойства z – преобразования:

1. свойство линейности

x1(nT)	→ х1(z)
х2(nT)	→ х2(z)

Если соответствует, то:

2. z – преобразование смещенного сигнала

x(nT) соответствует x(z), причем

x(nT)=0 при п<0

y(nT)=x(nT-mT) соответствовать будет

, где z^-m – оператор сдвига на т – интервалов в z – плоскости.

3. z – изображение свертки сигналов

x1(nT)	→ х1(z)
х2(nT)	→ х2(z)

.

Дата добавления: 2015-08-05