Аналоговая фильтрация детерминированных сигналов.

Основная цель оптимальной фильтрации заключается в максимизировано возможном превышении амплитуды полезного сигнала над помехами.

Оптимальная фильтрация – это частотно-избирательная обрабатывающая смесь полезного и шумового сигналов наилучшим образом. Оптимальное соотношение амплитуд является утроенная амплитуда (А_С=3∙А_Ш).

Пусть система является линейно стационарным фильтром с импульсной характеристикой h(t).

Подберем t₀ и h(t₀) такие, чтобы модуль отклика х_вых(t₀) принимал максимально возможные значения. Если функция h(t₀), то отвечающий линейный фильтр называется согласованным по данному входному сигналу.

- выходной отклик, подлежащий оптимизации по модулю.

На основании равенства Коши – Буняковского:

Если h(t₀-τ)=k∙x_вх(τ), то будет равенство модулей.

Произведем замену: t=t₀-τ, тогда h_согл(t)=k∙x_вх(t₀-τ).

Импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой масштабную копию зеркального изображения x_вх смещенного на отрезок t₀.

Вывод: необходимое условие физической реализуемости согласованного фильтра гласит: промежуток времени t₀ между началом импульса на входе и моментом возникновения максимальной выходной реакции должен быть не меньше длительности входного импульса, τ_и, то есть фильтр должен провести обработку всего сигнала.

Предположим, что фильтр согласован:

z_вх≠ х_вх

.

.

Взаимная корреляционная функция двух сигналов z_вх и х_вх описывает различия как в их форме, так и взаимное расположение относительно оси времени t.

.

При t=t₀

.

При z_вх(t)= х_вх(t)

, где R_xx – автокорреляционная функция сигнала х.

х_вых – отклик системы для случая, когда максимальное значение выходного сигнала достигается в момент окончания х_вх.

- функция, комплексно сопряженная х_вх(ω).

Из формулы видно, что частотный коэффициент передачи согласованного фильтра выражается через спектральную плотность полезного сигнала. Множитель k соответствует усилению, вносимому фильтром.

Множитель влияет на фазовую характеристику фильтра и описывает смещение отклика фильтра по оси времени на t₀.

Гребенчатый фильтр:

Максимальное значение выходного сигнала:

.

Спектр выходного сигнала определяет максимальное значение сигнала на выходе в момент времени t₀, когда все составляющие спектра х_вх(ω) складываются когерентно, имея одни и те же фазовые сдвиги.

Дата добавления: 2015-08-05