Линейное пространство сигналов

S₁(t)… S_n(t) М

Если они взаимосвязаны, то говорят о существовании пространства сигналов. Чтобы М было вещественно–линейным пространством необходимо выполнение ряда аксиом:

1. U M, то U принимает только вещественные значения.

2. U, V M существует сумма W=U+V₁ M

U≠V=V+U

(U+V)+x=(U+x)+V

3. S M, α

f=S ∙ α M

4. Ø M, U+Ø=U

Все эти аксиомы справедливы как для аналоговых, так и для цифровых сигналов. В любом линейном пространстве найдется подмножество Е={l₁…l_n}, которое выполняет роль координатных осей координатный базис.

, где с_i – число проекции измеряемого сигнала на координатный базис.

Норма сигнала – количественная оценка вектора.

║ S ║ - норма.

Линейное пространство М называют нормированным, если каждому S(t) M соответствует число ║ S ║ и выполняется следующая аксиома:

1. ║ S ║ >0

2. α ║ S ║∙ α= ║ S ∙ α ║

3. Если существует S(t), Р(t) M и их нормы, то выполняется неравенство треугольника.

║ S+р ║≤║ S ║+║ р ║

Энергия сигнала определяется как квадрат нормы сигнала. Важная характеристика, так как о величине сигнала часто судят по его энергетическому эффекту. С другой стороны энергетическая норма мало чувствительна к изменению формы сигнала.

.

Метрика. Характеризует расстояние между сигналами. Линейное пространство называется метрическим, если каждой паре элементов U, V M соответствует неотрицательное число β, характеризующее расстояние между ними и выполняются следующие аксиомы:

1. Рефлексивность β(U, V)= β(V, U)

2. β(U, U)=0

3. β(U, V)≤ β(U, W)+ β(W, V), M

Существует связь между нормой и метрикой:

β(U, U)= ║ U- V ║ - метрика это норма разности двух сигналов.

║ U ║= β(U, Ø) – норма сигнала U тождественна расстоянию межу U и нулевым элементом.

Дата добавления: 2015-08-05