Разложение сигнала по ортонормированным базисам

Запишем энергию суммы двух сигналов:

Последнее слагаемое буде представлять собой взаимную энергию.

- взаимная энергия

;

- скалярное произведение.

Два сигнала называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Предположим, то в некотором пространстве сигналов задана система ненулевых функций φ₀(x) … φ_n(x), причем выполняется на конечном отрезке [a,b] условия:

1) Функции должны быть ортогональными, то есть

, п≠т.

[a,b] – интервал ортогональности.

2) Функции должны иметь единичную норму:

При выполнении данных условий говорят, что система функций {φ_n(х)} ортонормированна.

Система нормированных функций, каждая из которых попарно ортогональна, называется ортонормированной.

Доказано, если в линейном пространстве сигналов существуют φ₁(t), φ₂(t) … φ_n(t) и эта система функций является нормируемой, то любую кусочно-непрерывную функцию f(x) можно разложить в ряд Фурье, если оно удовлетворяет условиям Дирихле:

- обобщенный ряд Фурье, где

- i-ый коэффициент ряда Фурье, так как необходимо.

, .

На геометрическом языке. С_i – ‘j проекция исследуемого сигнала на ортонормируемый базис.

.

Представление сигнала по ортогональному базису называется обобщенным рядом Фурье. Коэффициентами такого рода служат скалярные произведения разлагаемого сигнала и соответствующих базисных векторов.

Основные свойства ряда Фурье.

При заданной системе функций φ_n(х) и фиксированном числе слагаемых ряда, он обеспечивает наилучшую аппроксимацию исследуемого сигнала, то есть линейные значения среднеквадратичного отклонения.

,

.

Ортогональная система называется полной, если увеличение числа коэффициентов ряда позволяет среднюю квадратическую ошибку μ сколь угодно малой.

Все слагаемые, кроме i=j будут равны нулю, поэтому:

.

Энергия сигнала – сумма энергий всех компонент, из которых складывается ряд Фурье.

Дата добавления: 2015-08-05