Метод кусочной аппроксимации

Сущность этого метода состоит в следующем. Пусть требуется получить случайную величину с функцией плотности . Предположим, что область возможных значений величины ограничена интервалом (неограниченное распределение можно приближенно заменить ограниченным). Разобьем интервал на достаточно малых интервалов , так, чтобы распределение заданнойслучайной величины в пределах этих интервалов можно было довольно точно аппроксимировать каким-нибудь простым распределением, например равномерным, трапецеидальным и т. д. В дальнейшем рассмотрим кусочную аппроксимацию равномерным распределением (рис. 1.3).

Пусть — вероятность попадания случайной величины в каждый из интервалов . Получать реализации величины с кусочно-равномерным распределением можно, очевидно, в соответствии со следующей схемой преобразования случайных чисел: 1) случайным образом с вероятностью выбирается интервал ; 2) формируется реализация случайной величины, равномерно распределенной в интервале ; 3) искомая реализация получается по формуле

.

Случайный выбор интервала с вероятностью означает, по существу, моделированиедискретной случайной величины, принимающей значений , с вероятностью каждое, что можно сделать достаточно просто [11]. Интервал разбивается на интервалов длиной каждый. Из датчика случайных равномерно распределенных в интервале (0, 1) чисел выбирается некоторая реализация . Путем последовательного сравнения с определяется тот интервал , в котором оказывается .

Рис. 1.3.

В основу этого процесса положен очевидный факт: вероятность попадания равномерно распределенной в интервале случайной величины в некоторый подинтервал равна длине этого подинтервала. Рассмотренный выше процесс представляет интерес не только как составной элемент метода кусочной аппроксимации, он широко используется в качестве алгоритма для моделирования дискретных случайных величин и случайных событий [10, 11].

Для моделирования случайных величин методом кусочной аппроксимации наиболее удобно при машинной реализации выбирать вероятности попадания во все интервалы одинаковыми , а число таким, что , где — целое число, меньше или равное количеству двоичных разрядов чисел, вырабатываемых датчиком случайных чисел [10, 11]. В этом случае величины должны быть выбраны такими, чтобы

.

При равенстве вероятностей для случайного выбора индекса можно использовать первые разрядов числа, извлекаемого из датчика равномерно распределенных случайных чисел.

Используя рассмотренный прием, приходим к следующему способу преобразования равномерно распределенных случайных чисел в случайные числа с заданным законом распределения.

Из датчика равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел извлекается пара реализаций . Первые разрядов числа используются для нахождения адресов ячеек, в которых хранятся величины и , а затем по формуле

получается реализация случайной величины с заданным законом распределения. Такой алгоритм является довольно экономичным по количеству требуемых операций, которое не зависит от числа , т. е. не зависит от точности кусочной аппроксимации. Однако с увеличением точности аппроксимации возрастает количество ячеек памяти, требуемое для хранения величин , , что является недостатком рассмотренного метода, в особенности при больших .

Дата добавления: 2015-07-26