Центральная предельная теорема (ЦПТ)

Если - независимые одинаково распределенные случайные величины, такие, что и , i = 1, 2,..., то для любого вещественного х

, (5.25)

Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что сумма случайных величин при надлежащем «центрировании» и «нормировании» и при увеличении числа слагаемых ( ®¥) ведет себя почти как стандартно распределенная случайная величина. (Напомним, что x называется стандартно распределенной, если .)

Например. Пусть – последовательность случайных величин, удовлетворяющая условиям предыдущего примера. В этом случае сумма есть число успехов в испытаниях Бернулли. Из ЦПТ следует, что

,

где – функция Лапласа.

Тогда вероятность того, что число успехов будет заключено между и равна

Этот результат называется интегральной теоремой Муавра–Лапласа и используется при npq<9. Если р£1 и npq £ 9, для биномиального распределения используют пуассоновское приближение , основанное на формуле Пуассона при р®0, n®¥, np®l.

Задача 1. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50%. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличаться от 100 не более, чем на 5?

Решение. Пусть x_n - случайное число деталей отличного качества в коробке, тогда при n=200, получим:

Задача 2. Используя условия предыдущей задачи, указать в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.

Решение. По таблицам при условии находим t_a и следовательно, S_n лежит в пределах , т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 ± 21.

Задача 3. Используя условия примера 1, определить, сколько деталей надо положить в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества в коробке не меньше 100.

Решение. Необходимо найти n из условия Р (S_n³ 100)³ 0,99. Используя нормальное приближение, получаем

,

и из таблиц получаем неравенство откуда, полагая , при имеем х²-2,3х-200³0, откуда получаем n³240.

Задача 4. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?

Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью р=0,005 «успеха», здесь npq<5. Применяя пуассоновское приближение с l = np = 5, получаем

и по таблицам находим: P(m₁₀₀₀ =3)» 0,14, Р(m₁₀₀₀<3)» 0,875.

Задача 5. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов, в час пик каждый абонент использует связь в среднем в течение 2 минут, т.е. мы считаем, что абонент с вероятностью использует связь. Какое наименьшее число линий необходимо, чтобы только один из 100 вызовов получал отказ?

Решение. Считая вызовы абонентов независимым, имеем 2000 испытаний Бернулли с вероятностью "успеха" р= . Надо найти число линий N из условия

Р(m₂₀₀₀³N) £0,01. Применяя приближение Пуассона с , по таблицам находим N»87. При использовании нормального приближения получается, что достаточно 86 линий.

Дата добавления: 2015-07-20