Элементы математической статистики

5.7.1. Задачи математической статистики. Выборка. Способы отбора.

5.7.2. Полигон частот. Гистограмма частот.

5.7.3. Эмпирическая функция распределения.

5.7.1. Задачи математической статистики. Выборка. Способы отбора.

Совокупность всех рассматриваемых объектов называется генеральной совокупностью.

Выборной или выборочной совокупностью называется совокупность отобранных из генеральной совокупности объектов.

Количество объектов выборки называется ее объемом. Задача математической статистики заключается в том, чтобы обосновать свойства генеральной совокупности на основании свойств выборки.

Выборка должна быть репрезентативной, т.е. каждый объект выборки должен быть отобран случайно и все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Элементы выборки x ₁, x ₂,..., x_n – отличные друг от друга называются вариантами. Варианты, расположенные в порядке возрастания называются вариационным рядом.

Число появлений x_i в выборке называется частотой n_i.

– относительная частота варианты x_i.

Статистический ряд распределения частот.

xi	x1	x2	.......	xk
ni	n 1	n 2	.......	nk

Статистический ряд распределения относительных частот.

xi	.......
ωi	.......

Для непрерывной случайной величины составляют интервальный ряд

	(x1; x2)	(x2; x3)	.......	(xk-1; xk)
Ni или ωi	n1	n2	.......	nk

(x_i; x_{i +1}) – классы

5.7.2. Полигон частот. Гистограмма частот.

Полигон распределения – это ломаная, которая соединяет точки x_i и n_i.

Рисунок 22

Рисунок 23.

Пример 20.

Свойства f ^*(x)

График f ^*(x) – гистограмма относительных частот

5.7.3. Эмпирическая функция распределения.

Обозначим n_x – частота появления значений X < x

F ^*(x) – эмпирическая функция распределения.

Свойства F*(x)

Пример 21. Был измерен рост выбранных людей (32 человека) с точностью до 0,1. Найти F ^*(x).

181,3;	183,4;	175,0;	174,4;
171,3;	184,6;	164,8;	176,1;
177,3;	167,2;	168,9;	166,2;
180,9;	170,9;	173,6;	170,1;
173,4;	171,6;	188,8;	176,8;
170,7;	175,6;	167,2;	176,8;
176,1;	176,8;	170,6;	173,3;
170,3;	182,7;	175,4;	167,7

(xi, xi +1)	ni
164,8 – 167,2
167,2 – 169,6		168,4
169,6 – 172		170,8
172 – 174,4		173,2
174,4 – 176,8		175,6
176,8 – 179,2		178,0
179,2 – 181,6		180,4
181,6 – 184,0		182,8
184,0 – 186,4		185,2
186,4 – 188,8		187,6

Если выборка записана дискретным случайным рядом, то графически он изображается полигоном распределения.

5.8. Статистические оценки параметров распределения

5.8.1. Точечные оценки.

5.8.2. Интервальные оценки.

5.8.1. Точечная оценки параметров распределения

θ – параметр генеральной совокупности;

θ _в – выборочное значение;

θ _в – оценка θ.

Если оценка задается одним числом, то она называется точечной.

Оценка называется несмещенной, если ее математическое ожидание равно оцениваемому параметру.

Рисунок 24.

Оценка называется эффективной, если она имеет наименьшую из возможных дисперсий.

Оценка называется состоятельной, если она стремится по вероятности к оцениваемому параметру.

1. Выборочная средняя

Утверждение. - несмещенная состоятельная оценка M (X). Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону, то оценка является эффективной.

2. Выборочная дисперсия

Выборочная дисперсия – смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.

S ² – несмещенная оценка D (X)

S ² – исправленная выборочная дисперсия.

при n > 30 S ² ≈ D _в

3. Выборочное среднее квадратическое отклонение

Условные варианты

xi	x 1	.......	xk
ni	n 1	.......	nk

Утверждение.

Доказательство:

Пример.

Вычислить выборочные характеристики случайной величины X, заданной рядом.

xi	10,2	10,4	10,6	10,8		11,2	11,4	11,6	11,8
ni											n = 100

xi	ni	ui	ui · ni	ui2 · ni	ni · (ui + 1)^2
10,2		– 4	– 8
10,4		– 3	– 9
10,6		– 2	– 16
10,8		– 1	– 13
11,0			S – = – 46
11,2
11,4
11,6
11,8
12,0
			S+ = 103
∑

Контроль

5.8.2. Интервальная оценка параметров распределения

Интервальной называется оценка, если задается двумя числами – концами интервалов.

Пусть θ _в – выборочная оценка некоторого параметра θ генеральной совокупности.

Доверительной вероятностью или надежностью γ называется вероятность того, что оценка θ _в имеет точность δ.

Рисунок 25.

Доверительным интервалом оценки θ _в называется интервал,

который показывает оцениваемый параметр θ с заданной надежностью γ.

Пусть случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами a и σ.

Интервальные оценки математического ожидания a.

1) σ известна:

Пример24. Пусть

Решение:

2) σ неизвестна:

Интервальная оценка σ.

Дата добавления: 2015-07-20