Числовые характеристики ДСВ и их свойства.

1) Математическое ожидание M (X)

По определению (5.8)

Математическое ожидание задает среднее значение случайной величины.

Пример 14.

X	– 2
p	0,2	0,7	0,1

M (X) = – 0,4 + 2,1 + 0,5 = 2,2

Математическое ожидание равно абсциссе центра тяжести многоугольника распределения.

Рисунок 6.

Свойства математического ожидания M(X)

1) M (C) = C

X	C	M(X) = C · 1 = C
p

2) Если случайные величины X, Y независимы, то M (X + Y) = M (X) + M (Y)

Доказательство:

X	x1	x2	.......	xk	.......	xn
p	p1	p2	.......	pk	.......	pn

Y	y1	y2	.......	yk	.......	yn
p	p1	p2	.......	pl	.......	pm

Возможные сочетания X + Y:

т.е.

P_kl – вероятность X + Y = x_k + y_l

Таким образом, Аналогично

3) M (XY) = M (X) M (Y). (5.9)

4) M (CX) = CM (X).

Доказательство:

Пример15.

Дисперсия D (X)

X	– 1							Y	– 10
p	0,5	0,5						p	0,5	0,5

X – M (X) – отклонение X.

Рисунок 7.

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения.

(5.10)

Дисперсия характеризует степень рассеивания значений случайной величины X от математического ожидания X.

Пример 20 Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин.

X							Y
p	0,1	0,15	0,45	0,25	0,05		p	0,05	0,15	0,6	0,5	0,05

	(– 2)2	(– 1)2
p	0,1	0,15	0,45	0,25	0,05

(Y – M(Y))2
p	0,05	0,15	0,6	0,15	0,05

Рисунок 8.

Свойства D(X)

1) D (C) = 0;

2) D (X + Y) = D (X) + D (Y), если X, Y независимы. (5.11)

3) D(CX) = C ² D (X)

Теорема.

Доказательство

Пример 16.

X	– 1
p	0,1	0,5	0,4

Решение:

Среднее квадратическое отклонение σ(X)

(5.12)

Случайная величина X ₀ называется нормированной, если её математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна 1.

(5.13)

Дата добавления: 2015-07-20