Промежутки монотонности функции. Экстремумы функции.

Условие монотонности функции:

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не возрастала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих ее производная была неположительна.

(36)

Для того, чтобы дифференцируемая на функция не убывала, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках, принадлежащих ее производная была неотрицательна.

(37)

Промежутки, на которых производная функции сохраняет определенный знак, называются промежутками монотонности функции

Пример 19

Найти промежутки монотонности функции .

Решение:

Найдем производную функции .

Найдем промежутки знакопостоянства полученной производной. Для этого

разложим полученный квадратный трехчлен на множители:

.

Исследуем знак полученного выражения, используя метод интервалов.

-1

знак

+

+

-

Таким образом, получаем согласно (36), (37),что заданная функция возрастает на и убывает на .

Ответ: Заданная функция возрастает на и убывает на .

Определение Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если существует такая окрестность точки , что для всех выполняется условие

().

Локальный минимум или максимум функции называется локальным экстремумом.

Необходимое условие существования экстремума.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если функция имеет в точке экстремум, то производная в точке либо равна нулю, либо не существует.

Точка называется критической точкой функции , если производная в точке либо равна нулю, либо не существует.

Достаточные условия наличия экстремума в критической точке .

Пусть точка является критической.

Первое достаточное условие экстремума:

Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки и дифференцируема в каждой точке .

Точка является точкой локального максимума, если при переходе через

производная функции меняет знак с плюса на минус.

Точка является локальным минимумом, если при переходе через

производная функции меняет знак с минуса на плюс.

---

Дата добавления: 2015-07-20