Дифференциал функции.

Пусть функция , определенная в некотором промежутке имеет производную в точке x.

.

Тогда можно записать , где при

Следовательно:

, где – бесконечно малая высшего порядка по сравнению с .

Определение: Дифференциалом функции в точке называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента. или .

Вычислим: . Следовательно

(2.1)

Пример 2.1. Найти дифференциал данной функции:

a) ,

b)

Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

a) ;

b)

.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение .

Действительно на рисунке PN это приращение функции, а PT это приращение по касательной, или дифференциал.

Отметим, что может быть ,или – это зависит от направления выпуклости функции. тогда когда , т.е функция равна постоянной.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

Дата добавления: 2015-07-20