Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной к линии в точке имеет вид . (2.3)

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линии в точке запишется так:

. (2.4)

Если в точке производная функции бесконечна, то есть , или не существует, то касательная в таком случае параллельна оси OY.

Угол между двумя пересекающимися кривыми и определяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересечения по формуле:

. (2.5)

Пример 2.3. Найти угловой коэффициент касательной кграфику функции в точке с абсциссой .

Решение. Угловой коэффициент касательной кграфику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции: .

Найдем значение производной в точке :

.

Ответ: 2.

Пример 2.4. Найти угол между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX.

Решение. Тангенс угла между касательной к графику функции в точке с абсциссой и осью OX это значение производной этой функции в данной точке. Найдем производную функции .

.

. Значит . Следовательно угол между касательной к графику функции и осью OX равен или .

Ответ: .

Пример 2.5. Записать уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:

.

.

Найдем значение заданной функции в точке :

.

По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:

.

Пример 2.6. Составить уравнение касательной и нормали к параболе в точке, где .

Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания , найдем ее ординату: .

Для определения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции и ее значение при .

.Подставляя найденные значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 2.7. Найти угол, под которым пересекаются прямая и парабола .

Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой:

. Подставляем найденные значения в систему: . Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках: .

Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:

;

.

Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных:

.

.

Согласно формуле (2.5) получим:

. .

. .

Ответ: , .

2.4. Правило Лопиталя – Бернулли.

При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой при стремятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает удобно воспользоваться следующим правилом:

Теорема. Если функции и дифференцируемы в окрестности точки , обе или обращаются в нуль в этой точке, или стремятся к бесконечности и существует предел отношения при , тогда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения производных.

.

Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции и не определены в точке , но или .

Замечание 2. Теорема верна и в случае , т.е. когда или

Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей типа и .

С помощью тождественных преобразований к основному виду и можно свести неопределенности других видов, таких как .

При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.

Пример 2.8. Найти .

Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

.

.

Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

[Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ] = –1.

Ответ: {–1}.

Пример 2.9. Найти .

Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при :

.

.

Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.

; [ Подставим в получившиеся в числителе и знаменателе функции , ]. Так как неопределенность сохранилась, и функции получившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз.

.

Ответ: {2}.

Пример 2.10. Вычислить .

Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в знаменателе обращаются в нуль при . Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли:

.

Ответ: .

Дата добавления: 2015-07-20