Основные правила дифференцирования.

Для того чтобы дифференцировать функции, обычно встречающиеся на практике, пользуются рядом простых и важных формул, которые обязательно знать наизусть.

Правила дифференцирования:

Пусть и – дифференцируемые функции. Тогда верны следующие формулы:

1. , если c – постоянная величина (константа).

2. (1.1)

Пример 1.2. Найти производную .

Решение: Пользуясь таблицей производных и правилом (1.1) находим:

3. (1.2)

Пример 1.3. Найти производную функции .

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать: .

Продифференцируем выражения, стоящие в скобках, пользуясь таблицей производных.

,

,

, так как 6 – константа,

,

.

В итоге получим:

.

.

Пример 1.4. Найти производную функции .

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать:

.

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, для удобства записав функции в виде степени с дробным показателем.

.

.

.

.

В итоге получим:

.

4. (1.3)

Пример 1.5. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом (1.3) для дифференцирования произведения двух функций.

.

.

5. (1.4)

Пример 1.6. Найти производную функции .

Решение. Воспользуемся правилом (1.4) для дифференцирования частного двух функций.

.

В итоге:

.

6. Если , а то функция называется сложной функцией и, если обе функции дифференцируемы, то дифференцируема и сложная функция, а ее производную можно найти по формуле:
(1.5)

Таким образом, производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной. Коротко можно сказать так: производная сложной функции равна произведению производных всех ее составляющих.

Пример 1.7. Найти производную функции .

Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции и квадратичной . Тогда по правилу (1.5) производная сложной функции находится следующим образом:

.

Вспомним, что функция – промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение: .

.

В дальнейшем промежуточная функция явно вводиться в решение не будет, но надо иметь в виду, что мысленно мы ее обязательно обозначаем.

Пример 1.8. Найти производную функции .

Решение: Для того, чтобы найти производную данной функции надо воспользоваться правилом (1.5), так как эта функция является сложной.

Промежуточной функцией в данном примере будет функция

.

.

Пример 1.9. Найти производную функции .

Решение: В данном случае промежуточная функция – степенная, применяя таблицу производных, получаем:

.

.

Пример 1.10. Найти производную функции .

Решение: И в данной сложной функции промежуточная функция тоже степенная:

.

.

Пример 1.11. Найти производную функции .

Решение: Данная сложная функция состоит из двух промежуточных функций. Дифференцируем, применяя правило (1.5).

.

.

1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции.

Для того, чтобы найти производную показательно – степенной функции , где f (x) и g (x) – дифференцируемые функции от х, ее удобно предварительно прологарифмировать.

, тогда . [воспользуемся свойствами логарифма и запишем] . [теперь найдем производные от обеих частей равенства.]

.[для нахождения производной правой части воспользуемся правилом (1.3), а для левой части – правилом дифференцирования сложной функции (1.5)].

. [выразим из данного равенства ]

.

Запоминать такую громоздкую формулу нет необходимости, так как правильнее, при необходимости найти производную показательно – степенной функции, каждый раз применять данный прием.

Пример 1.12. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

. [воспользуемся свойствами логарифма]

. [найдем производные от обеих частей равенства]

. [выразим из данного равенства ]

Пример 1.13. Найти производную функции .

Решение. Прологарифмируем обе части равенства:

.

. [найдем производные от обеих частей равенства]

.

.

.

1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций,
заданных параметрически.

Если зависимость между x и y задана в форме уравнения F (x, y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производных и следует продифференцировать уравнение F (x, y)=0 по x, считая y функцией от x, или по y, считая x функцией от y и выразить из полученного уравнения производную или .

Пример 1.3. Найдите производную функции, заданной неявно .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x. Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).

. [выразим из данного равенства ]

.

.

.

Пример 1.14. Найдите производную заданной неявно функции .

Решение. Продифференцируем исходное уравнение, считая y функцией от x. Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является сложной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.

.

В итоге получаем:

. [раскрываем скобки и группируем слагаемые, содержащие производную ]

. [выражаем из получившегося уравнения ]

.

.

Дата добавления: 2015-07-20