Формула Тейлора.

Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.

Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность , которая может быть сделана сколь угодно малой.

Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.

Теорема Тейлора. Функция , дифференцируемая раз в некотором интервале, содержащем точку , может быть представлена в виде суммы многочлена n -ой степени и остаточного члена , а именно:

, где – остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая величина по сравнению с .

Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:

;

;

;

0!=1

Если , то формула принимает вид:

и называется формулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при (например:Ф ).

Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.

Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.

Пример 2.10. Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение. Вычислим значение данной функции и ее производных при :

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.

Список литературы

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

Содержание

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.. 3

1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 3

1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 5

1.3. Основные правила дифференцирования. 6

1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции. 11

1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 12

1.6. Производные высших порядков. 13

2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ.. 15

2.1. Дифференциал функции. 15

2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 16

2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 17

2.4. Правило Лопиталя – Бернулли. 20

2.5. Формула Тейлора. 22

Список литературы.. 25

Редактор И. Г. Скачек

__________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 60´84 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»

197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5

Дата добавления: 2015-07-20