Читайте также:
|
|
Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
. Если
или
, то точка
называется критической точкой функции
. Точка
называется стационарной точкой функции
, если
.
Теорема. Все точки локального экстремума находятся во множестве её критических точек.
Доказательство. Пусть функция имеет в точке
локальный экстремум. Тогда если
, то по теореме Ферма
. Следовательно, точка
является критической точкой данной функции. Теорема доказана.
Обратное утверждение не верно. Действительно, например, для функции в точке
, но точка
не является точкой локального экстремума для данной функции.
Вспомним обозначения правой и
левой проколотых окрестностей точки
.
Теорема (1-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки
(
), дифференцируема в проколотой окрестности этой точки (
) и производная функции
в
и в
сохраняет постоянный знак. Тогда если
а) , а
, то функция
имеет в точке
строгий локальный минимум;
б) , а
, то функция
имеет в точке
строгий локальный максимум;
в) или
, то функция
не имеет в точке
локальный экстремум.
Доказательство. Докажем пункт а). Пункты б) и в) доказываются аналогично.
Пусть . Тогда по условию теоремы
,
и по теореме Лагранжа
. Так как
, то
, откуда
.
Пусть . Тогда по теореме Лагранжа
. Так как
, то
, откуда
. Таким образом мы получили, что
, следовательно, функция
имеет в точке
строгий локальный минимум. Теорема доказана.
Теорема (2-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки
и
,
. Тогда если
1) и
а) , то функция
имеет в точке
строгий локальный минимум;
б) , то функция
имеет в точке
строгий локальный максимум;
2) , то функция
не имеет в точке
локальный экстремум.
Доказательство. Так как
,
, то по формуле Тейлора в
имеет место равенство
.
Запишем данное равенство в виде . Обозначим
. Так как
,то по лемме о сохранении знака
(функция
имеет такой же знак, что и
). Тогда если
1) и
а) , то в
, т.е.
, а, следовательно, функция
имеет в точке
строгий локальный минимум;
б) , то в
, т.е.
, а, следовательно, функция
имеет в точке
строгий локальный максимум;
2) , то
в
и
в
, т.е.
имеет разные знаки в
и в
, следовательно, функция
не имеет в точке
локальный экстремум. Теорема доказана.
Следствие. При получаем, что если
, а
, то функция
имеет в точке
строгий локальный минимум; если
, а
, то функция
имеет в точке
строгий локальный максимум.
Пример. Найдём экстремумы функции . Сначала найдём критические точки данной функции.
.
Критические точки .
.
Так как , то, пользуясь следствием второго достаточного условия локального экстремума, заключаем, что данная функция имеет в точке
локальный минимум. Так как
, то данная функция имеет в точке
локальный максимум.
Дата добавления: 2015-07-20; просмотров: 91 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Для функции прямые являются вертикальными асимптотами, так как , . | | | Точки перегиба функции. |