Достаточные условия локальных экстремумов функции.

Определение. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если или , то точка называется критической точкой функции . Точка называется стационарной точкой функции , если .

Теорема. Все точки локального экстремума находятся во множестве её критических точек.

Доказательство. Пусть функция имеет в точке локальный экстремум. Тогда если , то по теореме Ферма . Следовательно, точка является критической точкой данной функции. Теорема доказана.

Обратное утверждение не верно. Действительно, например, для функции в точке , но точка не является точкой локального экстремума для данной функции.

Вспомним обозначения правой и левой проколотых окрестностей точки .

Теорема (1-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция непрерывна в некоторой окрестности точки (), дифференцируема в проколотой окрестности этой точки () и производная функции в и в сохраняет постоянный знак. Тогда если

а) , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

в) или , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Докажем пункт а). Пункты б) и в) доказываются аналогично.

Пусть . Тогда по условию теоремы , и по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда .

Пусть . Тогда по теореме Лагранжа . Так как , то , откуда . Таким образом мы получили, что , следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум. Теорема доказана.

Теорема (2-е достаточное условие локального экстремума функции). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки и , . Тогда если

1) и

а) , то функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то функция не имеет в точке локальный экстремум.

Доказательство. Так как , , то по формуле Тейлора в имеет место равенство

.

Запишем данное равенство в виде . Обозначим . Так как ,то по лемме о сохранении знака (функция имеет такой же знак, что и ). Тогда если

1) и

а) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный минимум;

б) , то в , т.е. , а, следовательно, функция имеет в точке строгий локальный максимум;

2) , то в и в , т.е. имеет разные знаки в и в , следовательно, функция не имеет в точке локальный экстремум. Теорема доказана.

Следствие. При получаем, что если , а , то функция имеет в точке строгий локальный минимум; если , а , то функция имеет в точке строгий локальный максимум.

Пример. Найдём экстремумы функции . Сначала найдём критические точки данной функции.

.

Критические точки .

.

Так как , то, пользуясь следствием второго достаточного условия локального экстремума, заключаем, что данная функция имеет в точке локальный минимум. Так как , то данная функция имеет в точке локальный максимум.

Дата добавления: 2015-07-20