Точки перегиба функции.

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точки (). Напомним, что уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид .

Определение. Функция называется выпуклой вверх (вогнутой) в точке , если

. (1)

Неравенство (1) можно записать в виде . Таким образом, функция выпукла вверх (вогнута) в точке , если график функции расположен ниже касательной в точке .

Примеры. Функции выпуклы вверх в любой точке своей области определения.

Определение. Функция называется выпуклой вниз (выпуклой) в точке , если

. (2)

Неравенство (2) можно записать в виде . Таким образом, функция выпукла вниз (выпукла) в точке , если график функции расположен выше касательной в точке .

Примеры. Функции выпуклы вниз в любой точке числовой оси.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (вниз) на промежутке, если она выпукла вверх (вниз) в любой точке этого промежутка.

Определение. Пусть функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки (). Точка называется точкой перегиба функции , если на множестве функция выпукла вверх, а на множестве функция выпукла вниз, или, наоборот, если на множестве функция выпукла вниз, а на множестве функция выпукла вверх (т.е. при переходе через точку перегиба функции меняется направление выпуклости графика).

Дата добавления: 2015-07-20